線性代數知識點總結

.

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線性代數知識點總結

第一章行列式

1.n階行列式????

12

12

12

11121

21222

12

12

1????L

L

L

L

L

MMOM

L

n

n

n

n

tppp

n

ppnp

ppp

nnnn

aaa

aaa

Daaa

aaa

2.特殊行列式

????

11121

12

222

11221122

0

1

00

n

tn

n

nnnn

nn

aaa

aa

Daaaaaa

a

????L

L

L

LL

MMOM

L

1

2

12n

n

?

?

???

?

?L

O

，????

1

1

2

2

12

1

nn

n

n

?

?

???

?

?

??L

N

3.行列式的性質

定義記11121

21222

12

n

n

nnnn

aaa

aaa

D

aaa

?

L

L

MMOM

，11211

12222

12

n

n

T

nnnn

aaa

aaa

D

aaa

?

L

L

MMOM

L

，行列式TD稱為行列式

D的轉置行列式。

性質1行列式與它的轉置行列式相等。

性質2互換行列式的兩行???

ij

rr或列???

ij

cc，行列式變號。

推論如果行列式有兩行（列）完全相同（成比例），則此行列式為零。

性質3行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一數

()?

j

krk

，等于用數k乘此行列式；

推論1D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;

推論2D中某一行（列）所有元素為零，則=0D。

性質4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和，則

1112111

2122222

12

()

()

()

iin

iin

nnnininn

aaaaa

aaaaa

D

aaaaa

?

?

?

?

?

?

?

LL

LL

MMMM

LL

1

2

1212

inin

inin

nnninnnnninn

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

?

?

??

?

LLLL

LLLL

LLLLLLLLLL

LLLL

性質6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去，

.

..頁腳.

行列式的值不變。

計算行列式常用方法：①利用定義；②利用運算

?

ij

rkr

把行列式化為上三角形行列式，從

而算得行列式的值。

4.行列式按行（列）展開

余子式在

n

階行列式中，把元素

ij

a所在的第i行和第j列劃去后，留下來的1n?階行列

式叫做元素

ij

a的余子式，記作

ij

M。

代數余子式??1ij

ijij

AM???記，叫做元素

ij

a的代數余子式。

引理一個

n

階行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(,)ij元外

ij

a都為零，那么這

行列式等于

ij

a與它的代數余子式的乘積，即

ijij

DaA?。

（高階行列式計算首先把行列上的元素盡可能多的化成0，保留一個非零元素，降階）

定理

n

階行列式

11121

21222

12

?

L

L

MMOM

L

n

n

nnnn

aaa

aaa

D

aaa

等于它的任意一行（列）的各元素與其對應

的代數余子式的乘積之和，即

1122iiiiinin

DaAaAaA????L，

(1,2,,)in?L

1122jjjjnjnj

DaAaAaA????L或，(1,2,,)jn?L。

第二章矩陣

1.矩陣

11121

21222

11

n

n

mmmn

aaa

aaa

A

aaa

??

??

??

?

??

??

??

L

L

LLLL

L

行列式是數值，矩陣是數表，各個元素組成

方陣：行數與列數都等于n的矩陣A。記作：A

n。

行(列)矩陣：只有一行(列)的矩陣。也稱行(列)向量。

同型矩陣：兩矩陣的行數相等，列數也相等。

相等矩陣：AB同型,且對應元素相等。記作：A＝B

零矩陣：元素都是零的矩陣（不同型的零矩陣不同）

對角陣：不在主對角線上的元素都是零。

單位陣：主對角線上元素都是1，其它元素都是0，記作：E

注意矩陣與行列式有本質的區別，行列式是一個算式，一個數字行列式經過計算可求得

.

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其值，而矩陣僅僅是一個數表，它的行數和列數可以不同。

2.矩陣的運算

矩陣的加法

1111121211

2121222222

1122

nn

nn

mmmmmnmn

ababab

ababab

AB

ababab

???

??

??

???

??

??

??

??

???

??

L

L

LLLL

L

說明只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算。

矩陣加法的運算規律

??1ABBA???；??????2ABCABC?????

????

11121

21222

11

3,()

n

n

ijijmn

mn

mmmn

aaa

aaa

AaAa

aaa

?

?

???

??

??

???

??

?????

??

??

???

??

L

L

LLLL

L

設矩陣記，A?稱為矩陣A

的負矩陣

??????40,AAABAB???????。

數與矩陣相乘

11121

21222

11

,

n

n

mmmn

aaa

aaa

AAAAA

aaa

???

???

?????

???

??

??

??

??

??

??

??

L

L

LLLL

L

數與矩陣的乘積記作或規定為

數乘矩陣的運算規律（設AB、為

mn?

矩陣，,??為數）

??????1AA?????；????2AAA???????；????3ABAB??????。

矩陣相加與數乘矩陣統稱為矩陣的線性運算。

矩陣與矩陣相乘設(b)

ij

B?是一個

ms?

矩陣，(b)

ij

B?是一個

sn?

矩陣，那么規定矩陣

A與矩陣B的乘積是一個

mn?

矩陣(c)

ij

C?，其中

??

1

2

121122

j

j

iiisijijissj

sj

b

b

aaaababab

b

??

??

??

????

??

??

??

??

LL

M1

s

ikkj

k

ab

?

??，??1,2,;1,2,,imjn??LL，

并把此乘積記作CAB?

注意

.

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1。A與B能相乘的條件是：A的列數＝B的行數。

2。矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況下，ABBA?，而且兩個非零矩陣的

乘積可能是零矩陣。

3。對于n階方陣A和B，若AB=BA，則稱A與B是可交換的。

矩陣乘法的運算規律

??????1ABCABC?；????????2ABABAB?????

????3ABCABAC???，??BCABACA?????4

mnnnmmmnmn

AEEAA

?????

??

??5若A是n階方陣，則稱Ak為A的k次冪，即k

k

AAAA?L

14243

個

，并且mkmkAAA??，

??k

mmkAA???,mk為正整數。規定：A0＝E（只有方陣才有冪運算）

注意矩陣不滿足交換律，即ABBA?，??k

kkABAB?（但也有例外）

轉置矩陣把矩陣A的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做A的轉置矩陣，記作A?，

????1T

TAA?；????2T

TTABAB???；????3T

TAA???；????4T

TTABBA?。

方陣的行列式由

n

階方陣A的元素所構成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作A

注意矩陣與行列式是兩個不同的概念，n階矩陣是n2個數按一定方式排成的數表，而n

階行列式則是這些數按一定的運算法則所確定的一個數。

??1TAA?；??2nAA???；(3)ABABBABA???

對稱陣設A為n階方陣，如果滿足A=AT，那么A稱為對稱陣。

伴隨矩陣行列式A的各個元素的代數余子式

ij

A所構成的如下矩陣

11211

12222

12

n

n

nnnn

AAA

AAA

A

AAA

?

??

??

??

?

??

??

??

L

L

LLLL

L

稱為矩陣A的伴隨矩陣。

性質AAAAAE????（易忘知識點）

總結

（1）只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算。

（2）只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘,且矩

陣相乘不滿足交換律。

（3）矩陣的數乘運算與行列式的數乘運算不同。

逆矩陣：AB＝BA＝E，則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。1AB??即。

說明

.

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1A，B互為逆陣，A=B-1

2只對方陣定義逆陣。（只有方陣才有逆矩陣）

3.若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。

定理1矩陣A可逆的充分必要條件是0A?，并且當A可逆時，有1*

1

AA

A

??（重要）

奇異矩陣與非奇異矩陣當0A?時，A稱為奇異矩陣，當0A?時，A稱為非奇異矩

陣。即0AAA???可逆為非奇異矩陣。

求逆矩陣方法*

*1

(1)||||0

2

1

(3)

||

AA

A

AA

A

?

?

?

先求并判斷當時逆陣存在；

（）求；

求。

初等變換的應用：求逆矩陣：??1(|)|AEEA??????初等行變換。

逆矩陣的運算性質

????1

111,,AAAA?

???若可逆則亦可逆且

????1

1

1

2,0,,AAAA???

?

?

???若可逆數則可逆且。

??1113,,,ABABABBA????若為同階方陣且均可逆則亦可逆且()。

??????1

14,,T

TTAAAA?

??若可逆則亦可逆且。

??1

15,AAA?

??若可逆則有。

3.矩陣的初等變換

初等行（列）變換

??1()

ij

rr?對調兩行，記作。

??20()

i

krk??以數乘以某一行的所有元素，記作。

.

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??3()

ij

krkr?把某一行所有元素的倍加到另一行對應的元素上去，記作。

初等列變換：把初等行變換中的行變為列，即為初等列變換，所用記號是把“r”換成“c”。

矩陣等價ABAB如果矩陣經有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與等價。

行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零，每個臺階只有一行，臺階數即是非零

行的行數階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也是非零行

的第一個非零元。（非零行數及矩陣的秩）

.

00000

34000

52130

23012

的秩求矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?B

R(B)=3

行最簡形矩陣：行階梯矩陣中非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元

素都為0.

標準型：對行最簡形矩陣再施以初等列變換，可以變換為形如r

mn

EO

F

OO

?

??

?

??

??

的矩陣，稱

為標準型。標準形矩陣是所有與矩陣A等價的矩陣中形狀最簡單的矩陣。

初等變換的應用

求逆矩陣：??1(|)|AEEA??????初等行變換或

1

AE

EA?

????

?????

????

????

初等列變換。

4.矩陣的秩

矩陣的秩任何矩陣

mn

A

?

，總可以經過有限次初等變換把它變為行階梯形，行階梯形矩

陣中非零行的行數是唯一確定的。（非零行的行數即為矩陣的秩）

說明

1.矩陣A

m×n

，則R(A)≤min{m,n};

2.R(A)=R(AT);

3.R(A)≥r的充分必要條件是至少有一個r階子式不為零;

4.R(A)≤r的充分必要條件是所有r+1階子式都為零.

滿秩和滿秩矩陣矩陣??ij

mn

Aa

?

?，若()RAm?，稱A為行滿秩矩陣；若()RAn?，

稱A為列滿秩矩陣；,(),AnRAnA?若為階方陣且則稱為滿秩矩陣。

()nARAn?若階方陣滿秩，即

0A??；

.

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1A??必存在；

A?為非奇異陣；

,~.

nn

AEAE?必能化為單位陣即

矩陣秩的求法

定理1矩陣A經過有限次行(列)初等變換后其秩不變。即若A～B，則R(A)=R(B)。

推論()()PQRPAQRA?若、可逆，則

矩陣秩的性質總結

(1)0()min{,}

mn

RAmn

?

??

(2)()()TRARA?

????(3)~,ABRARB?若則()()PQRPAQRA?(4)若、可逆，則

(5)max{(),()}(,)()()

()(,)()1.

RARBRABRARB

BbRARARA

???

????b特別當為非零列向量時，有

(6)()()()RABRARB???

(7)()min{(),()}.RABRARB?

(8),()().

mnnl

ABORARBn

??

???若則

(9)AB=OAB=O設，若為列滿秩矩陣，則（矩陣乘法的消去率）。

第三章

1.n維向量n個數a

1

,a

2

,…,a

n

組成的一個有序數組(a

1

,a

2

,…,a

n

)稱為一個n維向量,記為

1

2

12

()(,,,)

...

T

n

n

a

a

aaa

a

??

??

??

??

??

??

??

??

L列向量形式或（行向量形式），其中第i個數a

i

稱為向量

的第i個分量。

向量組若干個同維數的列向量（或同維數的行向量）所組成的集合叫做向量組。

設矩陣A=(a

ij

)

m×n

有n個m維列向量，即

111211

212222

12

jn

jn

mmmjmn

A

aaaa

aaaa

aaaa

??

??

??

?

??

??

??

??

LL

LL

MMMMMM

LL

，

.

..頁腳.

12n

a,a,,aAL向量組稱為矩陣的列向量組。同理，也可說矩陣A有m個行向量組組成。

向量，向量組，矩陣與方程組的關系

向量組?矩陣：

12

(,,,)

m

A????L

向量方程?方程組：

1

11121

2

21222

12

n

n1n2n

...

m

m

m

m

a

aab

a

aab

xxx

a

aab

??

??????

??

??????

??

??????

????

??

??????

??

??????

??????

??

M

MMM

，

可簡寫作

1122nn

xxx????????L

向量方程?方程組?矩陣形式

11

22

12

(,,,)

m

nn

xb

xb

Axb

xb

???

????

????

????

???

????

????

????

L

MM

線性組合給定向量組

12

:,,,

m

A???L和向量b，如果存在一組數

12

,

m

???L，，使

1122mm

b?????????L，則向量b是向量組A的線性組合，這時稱b向量能由向量組

A線性表示。

定理1向量b能由向量組

12

:,,,

m

A???L線性表示的充分必要條件是矩陣

12

(,,,)

m

Aaaa?L的秩等于矩陣

12

(,,,,b)

m

Baaa?L的秩。即R(A)=R(A,b)。

向量組的線性表示設有兩個向量組

1212

:,,,:,,,

ms

AB??????LL及，若B組中每

個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示，若向量組A與向

量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。

向量組的線性相關給定向量組

12m

:,,,A???L，如果存在不全為零的數

12

,,,

m

kkkL

使

1122

0

mm

kkk???????L，則稱向量組是線性相關的，否則稱它線性無關；若當且僅

.

..頁腳.

當

12

0

m

kkk????L時上式成立，則稱向量組A線性無關。

線性相關：可線性組合表示的，線性無關：相互獨立，互不代表

注意

1.對于向量組來說，不是線性無關，就是線性相關。

2.對于兩個向量來說，線性相關意味著兩向量的分量對應成比例，幾何含義兩向量共線；

三個向量線性相關意味著三向量共面。

3.,0,0,???????向量組只有一個向量時若則說線性相關若則說線性無關。

4.包含零向量的任何向量組是線性相關的，此時總存在不為零的k，使得

12

00000

n

k?????????LL

線性相關性的判定

定理向量組

12

,,,

m

???L（當2m?時）線性相關的充分必要條件是

12

,,,

m

???L中

至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示

定理4向量組

12

:,,,

m

AaaaL線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣

12

(,,,)

m

Aaaa?L小于向量的個數m，向量組線性無關的充分必要條件是R（A）=m。

最大線性無關向量組設有向量組A，如果在A中能選出r個向量

12

,,,

r

???L，滿足：

012

1:,,,

r

A???L（）向量組線性無關；

(2)向量組A中任意r+1個向量(如果有的話)都線性相關；

則稱向量組

012

:,,,

r

A???L是向量組A的一個最大線性無關向量組。

(2)*向量組A中任何一個(其它)向量可由

012

:,,,

r

A???L線性表示。

第四章線性方程組的解

線性方程組

11112211

21122222

1122

nn

nn

mmmnnm

axaxaxb

axaxaxb

axaxaxb

????

?

?

????

?

?

?

?

????

?

L

L

LLLLLLLL

L

如果有解，則稱其為相容的，否則稱為不相容

的。

n元齊次線性方程組Ax=0

（1）R(A)=n?Ax=0有唯一解，零解（無非零解）

（2）R(A)

n元非齊次線性方程組Axb?

（1）無解的充分必要條件是(A)R(A,b)R?

.

..頁腳.

（2）有唯一解的充分必要條件是(A)R(A,b)nR??

（3）有無限多解的充分必要條件是(A)R(A,b)nR??

基礎解系齊次線性方程組0Ax?的通解具有形式

1122

xcc????(c

1

,c

2

為任意常數)，

稱通解式??112212

,xcccc????為任意常數中向量

12

,??構成該齊次線性方程組的基礎解

系。

非齊次線性方程組解的通解具有形式*

1122

xcc??????(c

1

,c

2

為任意常數)，不帶參數部分

*?是非齊次方程組的一個特解；帶參數部分

1122

cc???的兩個向量構成對應齊次方程的基

礎解系。

齊次方程組解的性質、結構

的解向量仍是

，數的解向量，則對任意實是齊次方程設

0

k

,0,

2211

2121

?

?

?

Ax

k

kkAx

??

??

非齊次方程組解的性質

.0

0kk,1)(

2211

2121

的解為對應的齊次方程

時，則當的解都是及設

???

?????

Axkkx

bAxxx

??

??

.

1kk,2)(

2211

2121

的解為對應的齊次方程

時，則當的解都是及設

bAxkkx

bAxxx

???

?????

??

??

1

,,,

,,,3

21

21

2211

21

????

?

???

?

s

s

ss

s

kkk

kkkbAx

kkk

bAx

?

?

?

?

為任意實數，且的解向量，仍是

的解向量，則是非齊次方程）設（

???

???

解的系數和為1是非齊次方程的解，為0是齊次方程的解。

線性方程組的解法

齊次線性方程組：將系數矩陣A化成行階梯形矩陣，判斷是否有非零解.若有非零解，化成

行最簡形矩陣，寫出其解；

非齊次線性方程組：將增廣矩陣B=(A,b)化成行階梯形矩陣，判斷其是否有解．若有解，化

成行最簡形矩陣，寫出其解；

第五章矩陣的相似

.

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第六章二次型

.

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