牟合方蓋(牟合方蓋三維動畫)

牟合方蓋是什么意思 《法語助手》法漢

牟合方蓋是一種幾何體，是兩個等半徑圓柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因為像是兩個方形的蓋子合在一起，故名。

南北朝時，數學家祖沖之和其子祖暅之求出牟合方蓋與球體體積。他們的求法紀錄在唐代李淳風為九章算數作的注解中，留傳至今。祖氏父子在此解釋：所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等。這就是今天所稱的「祖暅原理」。

牟合方蓋用來計算什么

牟合方蓋是用來計算球體體積的方法。

所謂“牟合方蓋”，就是指由兩個同樣大小但軸心互相垂直的圓柱體相交而成的立體。由于這立體的外形似兩把上下對稱的正方形雨傘，所以就稱它為“牟合方蓋”。在這個立體里面，可以內切一個半徑和原本圓柱體一樣大小的球體，劉徽并指出，由于內切圓的面積和外切正方形的面積之比為 π : 4，所以“牟合方蓋”的體積與球體體積之比亦應為 π : 4。可惜的是，劉徽并沒有求出“牟合方蓋”的體積，所以亦不知道球體體積的計算公式。

牟合方蓋的源起

《九章算術》中曾認為，球體的外切圓柱體積與球體體積之比等于正方形與其內切圓面積之比。《九章算術》的“少廣”章的廿三及廿四兩問中有所謂“開立圓術”，“立圓”的意是“球體”，古稱“丸”，而“開立圓術”即求已知體積的球體的直徑的方法。其中廿四問為：“又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？”

開立圓術曰：“置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。”

劉徽為什么要設計“牟合方蓋”？

“牟合方蓋”是魏晉時期的數學家劉徽設計的一個形狀奇特的幾何體。

在一個立方體內分別作縱橫兩個內接圓柱體，二者相交的部分即為牟合方蓋。這里的“牟”表示相等，“蓋”表示傘，這個幾何體的外形好像是把兩個方口圓頂的傘上下拼合在一起，故取此名。

他是想通過這個物體計算出球的體積。如今我們知道，球體積的計算公式為V=4/3πr3，這個公式的推導是古代數學的難點之一，在古代沒有人知道這個計算公式，劉徽想通過“牟合方蓋”計算出來。

西漢時期的《九章算術》認為，球體積為球直徑立方的9/16。這個計算方法可能來源于實物測量或幾何估算。

這樣算出來的值要比實際值大1/6左右，誤差相當大。此后東漢的張衡將其修正為球直徑立方的5/8，可是它比《九章算術》的值差得更多。

劉徽在為《九章算術》作注的時候，發現以上兩個計算公式都不準確。

一個原因可能是二者所用的π值都不精確，《九章算術》中取π值為3，張衡則取[插圖]，而劉徽運用割圓術得出π值約為3.14。

為此，劉徽設計了牟合方蓋，并計算出球與牟合方蓋的體積比為π：4，這樣，只要算出牟合方蓋的體積，便可得到正確的球積公式。

實際上牟合方蓋又可以分為八個形狀相同的小幾何體，所以問題的關鍵便是如何計算這八個小幾何體的體積。

遺憾的是，牟合方蓋的形狀太過奇特，劉徽最終沒能推導出其體積的計算公式。他在為《九章算術》所寫的注釋中坦率地承認了這一點，并表示這個問題只能留待后人去解決了。

給中華民族留下了寶貴的財富牟合方蓋，究竟是什么東西？

牟合方蓋是什么?相信很多人對于這個都很陌生，牟合方蓋是由我國古代的數學家劉徽發現的一種用于計算球體體積的方式，他希望可以用牟合方蓋來證實《九章算術》的公式有錯誤，但是最后也沒有實現，但是牟合方蓋的發現有重大的歷史意義，牟合方蓋是如何計算球體的體積計算方法的?

　　首先說下牟合方蓋的歷史意義：

“牟合方蓋”的提出，充分體現了古人豐富的想象能力，以及為解決問題建立模型的智慧。劉徽是1700多年前的人，以千年前的社會知識水平，就在思考這種問題，簡直令人嘆為觀止，這種智慧的光芒，震古爍今，光耀寰宇。他們對數學或者哲學問題的執著思考與純粹探索的精神，是現代人身上及其缺乏的，也是現行教育缺失的一個重要方面。

牟合方蓋是什么?　　

牟合方蓋，由我國古代數學家劉徽首先發現并采用的一種用于計算球體體積的方法，類似于現在的微元法。由于其采用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋。　　

牟合方蓋指的是什么?　　

牟合方蓋就是當一個正立方體用圓規從縱橫兩側面作內切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分。劉徽在他的注中對“牟合方蓋”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按合蓋者，方率也。丸其中，即圓率也。”其實劉徽也是希望通過構作一個立體圖形，它的每一個橫切面皆是正方形，而且會外接于球體在同一高度的橫切面的圓形，而這個圖形就是牟合方蓋，因為劉徽只知道一個圓及它的外接正方形的面積比為π：4，他希望可以用牟合方蓋來證實《九章算術》的公式有錯誤。

　　 當然他也希望由這方面入手求球體體積的正確公式，因為他知道牟合方蓋的體積跟內接球體體積的比為4：3，只要有方法找出牟合方蓋的體積便可，只可惜，劉徽始終不能解決，他只可以指出解決的方法是通過計算出外棋的體積，但由于外棋的形狀復雜，所以沒有成功，他無奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法：“觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。”　　

牟合方蓋的體積計算方法：　　

上面右圖是一個正方體挖去了兩個四棱錐(這兩個四棱錐分別以上下底面為底面，以正方體的中心為頂點)，設正方體邊長為2r。以平行于底面的平面同時截“牟合方蓋”和“右圖的幾何體”，所得截面如上圖所示。左圖的截面是一個正方形，設中心到截面的距離為h，可得該正方形邊長為2√r²-h²，所以左圖的截面面積為4(r²-h²)　　

右圖的截面像一個正方環形，面積是大正方形的面積減去小正方形的面積，邊長為2r，所以大正方形面積為4r²，同樣設中心到截面的距離為h，可知小正方形的邊長為2h，所以小正方形的面積為4h²，即截面面積為4r²-4h²。

由上可知，兩幾何體在同一水平位置的截面面積相等，根據祖暅原理，它們的體積相等，右圖的體積等于正方體的體積減去兩個四棱錐的體積，根據錐的體積公式可知，兩個錐的體積之和為正方體體積的1/3，所以該幾何體的體積為正方體體積的2/3，即“牟合方蓋”的體積為正方體體積的2/3，正方體體積為8r³，所以最終，“牟合方蓋”的體積為16r³/3。

數學文化拓展：　　

劉徽(約公元225年—295年)，漢族，山東濱州鄒平縣人，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一。是中國數學史上一個非常偉大的數學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是中國最寶貴的數學遺產。

　　 劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人。劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生。他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。

古代數學家劉徽的牟合方蓋與截面積原理是什么？

劉徽指出，《九章算術》的開立圓術是錯誤的。他用兩個底徑等于球徑的圓柱正交，其公共部分稱作牟合方蓋。提出“合蓋者，圖7球牟合方蓋與立方（八分之一）方率也；丸居其中，即圓率也”，指出了徹底解決球體積的正確途徑。200多年后，祖沖之父子解決了這個問題。劉徽還提出圓錐、圓臺分別與其外切方錐、方臺體積之比為π∶4，圓錐與以圓錐底周為底之每邊長的方錐體積之比為25∶314(相當于1∶41π)。劉徽說“上連無成不方，故方錐與陽馬同實”。成，訓層。劉徽認為，兩立體若等高處的截面積成定比，則其體積成定比。后來西方的B．卡瓦列里(Cavalieri)的不可分量原理與之十分接近。劉徽開始把中國對截面積原理的認識提高到理性階段，為祖暅原理的最后完成作了準備。劉徽還提出圓錐與方錐的側面積之比為π∶4。

牟合方蓋三視圖怎么畫？

牟合方蓋三視圖畫法：

牟合方蓋是由我國古代數學家劉徽首先發現并采用的一種用于計算球體體積的方法，類似于現在的微元法。由于其采用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋。

拓展知識：

《九章算術》的“少廣”章的廿三及廿四兩問中有所謂“開立圓術”，“立圓”的意思是“球體”，古稱“丸”，而“開立圓術”即求已知體積的球體的直徑的方法。其中廿四問為：

“又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？

開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。”

從中可知，在《九章算術》內由球體體積求球體直徑，是把球體體積先乘16再除以9，然后再把得數開立方根求出約得14300尺，約為4.75米，換言之

牟合方蓋：

是當一正立方體用圓柱從縱橫兩側面作內切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分。劉徽在他的注中對“牟合方蓋”有以下的描述：

“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按合蓋者，方率也。丸其中，即圓率也。”

參考資料：

牟合方蓋_百度百科