微分中值定理證明

微分中值定理證明

中值定理是微分學基本定理,內容是說一段連續光滑曲線中必然有一點,它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）.中值定理又稱為微分學基本定理,拉格朗日定理,拉格朗日中值定理,以及有限改變量定理[1]等. 內容如果函數f(x)滿足 在閉區間[a,b]上連續； 在開區間(a,b)內可導, 那么在(a,b)內至少有一點ξ(a

高數，微分中值定理，證明過程是怎樣的，

證：
由拉格朗日中值定理得
在區間(x1，x2)內，至少有一點ξ1，使f'(ξ1)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
f(x2)=f(x1)，f'(ξ1)=0
同理可得在區間(x2，x3)內，至少有一點ξ2，f'(ξ2)=0
函數在(a，b)內具有二階導數，則f'(x)在[a，b]連續，在(a，b)可導
由羅爾中值定理得，在區間(ξ1，ξ2)內，至少有一點ξ，使得
f''(ξ)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]/(ξ2-ξ1)=(0-0)/(ξ2-ξ1)=0
(ξ1，ξ2)⊂(x1，x3)
因此在(x1，x3)內至少有一點ξ，使得f''(ξ)=0

用微分中值定理證明方程x5 ＋x一1＝0只有一個正根？速求解

具體回答如下：

令f(x)=x5+x-1

f'(x)=5x^4+1

當x∈[0,＋∞)時，f'(x)恒大于0，f(x)在[0,＋∞)單增

f(1/2)<0

f(1)>0

所以根據介值定理知f(x)在（1/2,1)中間只有一個正根

中值定理的應用：

無窮小（大）量階的比較時，看到兩個無窮小（大）量之比的極限可能存在，也可能不存在。如果存在，其極限值也不盡相同。

解決這種極限的問題通常要用到洛比達法則，這是法則的內容，而在計算時往往都是直接的應用結論，沒有注意到定理本身的證明，而這個定理的證明也應用到了中值定理。

高數 微分中值定理 證明

設f(x)=arctanx+arccotx

則，f '(x)=1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0

根據拉格朗日中值定理的推論

∴ f(x)=C

又 f(1)=arctan1+arccot1=π/4+π/4=π/2

∴ C=π/2

∴ arctanx+arccotx=π/2

如何理解三大微分中值定理？

微分中值定理(即羅爾定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 泰勒定理)是數學分析上冊最重要的內容之一, 想要學好中值定理, 首先要學習它們的證明方法, 需要強調的是拉格朗日中值定理與柯西中值定理均可由羅爾中值定理進行證明, 證明的方法為積分法, 這是構造輔助函數最基本的一種手段, 另外由此也可以看出羅爾中值定理的極端重要性.

1.羅爾中值定理的證明過程如下所示：

注意：羅爾中值定理是微分中值定理的基本，根據之后的積分法可知，拉格朗日中值定理和柯西中值定理是由羅爾中值定理證明的，也就是說，理論上，可以用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理的題目，均可以由羅爾中值定理證明。

2.拉格朗日中值定理的證明過程如下所示：

3.柯西中值定理的證明過程如下所示：

經過以上三個微分中值定理的證明過程之后，我們會發現，在拉格朗日中值定理中如果f(a)=f(b),就是羅爾中值定理，在柯西微分中值定理中，如果g(x)=x,那么就成為了拉格朗日中值定理，我們就可以得出他們之間的關系為：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一種特殊情況，同樣，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況。

這三大微分中值定理是研究函數的有力工具，微分中值定理反映了導數的局部性與函數的整體性之間的歡喜，應用十分廣泛，我們只有對這三個微分中值定理做到真正的理解，才能在用導數判斷函數單調性、凹凸性和求極值、求拐點的方法，描繪函數的圖像等等，這些更深層次的問題中靈活運用。