指數函數

指數函數的定義是什么?

指數函數是初等基本函數，通常來說函數y=a^x(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量。

指數函數的自變量范圍是（-∞，+∞），因變量范圍是（0,+∞）。

當指數函數自變量范圍在（-∞，0）時，因變量輸出范圍為（0，1）。

在神經網絡中可以用指數函數的這兩個性質對數據進行（-∞，+∞）到（0，+∞）或者（-∞，0）到（0，1）的映射。

指數函數的特點及應用情況：

指數函數也可以實現區間映射，但對數函數和指數函數互為反函數，因此對數函數和指數函數映射的區間也正好相反。

指數函數在自然科學和經濟生活中有著廣泛的應用，要了解指數函數的實際應用舉例，能夠應用指數函數的性質解決簡單的實際問題。指數函數對很多的真實世界問題—比如說人口增加、放射性衰變、熱輻射，以及很多其他的現象，都能夠用來建立建模。

指數函數是什么？

指數函數公式：y=a^x(a為常數且以a>0，a≠1)。函數的定義域是R。在指數函數的定義表達式中，在a^x前的系數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式。

指數函數的形式有y=a^x。指數函數是重要的基本初等函數之一。一般地，y=ax函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是R。在指數函數的定義表達式中，在ax前的系數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數。

指數函數是數學中重要的函數。應用到值e上的這個函數寫為exp(x)。還可以等價的寫為ex，這里的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等于 2。718281828，還稱為歐拉數 。

指數函數的圖象是單調的，始終在一、二象限，經過（0，1）點；冪函數需要具體問題具體分析。

指數函數：自變量x在指數的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1），當a>1時，函數是遞增函數，且y>0；當0<a<1時，函數是遞減函數，且y>0.

冪函數：自變量x在底數的位置上，y=x^a（a不等于1）。a不等于1，但可正可負，取不同的值，圖像及性質是不一樣的。

2、性質不同

冪函數性質：

（1）正值性質

當α>0時，冪函數y=xα有下列性質：

a、圖像都經過點（1,1）（0,0）；

b、函數的圖像在區間[0,+∞）上是增函數；

c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近于0；

（2）負值性質

當α<0時，冪函數y=xα有下列性質：

a、圖像都通過點（1,1）；

b、圖像在區間（0，+∞）上是減函數；（內容補充：若為X-2，易得到其為偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間（-∞，0）上單調遞增。其余偶函數亦是如此）。

c、在第一象限內，有兩條漸近線（即坐標軸），自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。

（3）零值性質

當α=0時，冪函數y=xa有下列性質：

y=x0的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。

它的圖像不是直線。

指數函數性質：

（1）指數函數的定義域為R，這里的前提是a大于0且不等于1。對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不連續，因此不予考慮，同時a等于0函數無意義一般也不考慮。

（2）指數函數的值域為(0，+∞)。

（3）函數圖形都是上凹的。

（4）a>1時，則指數函數單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減。

（5）可以看出，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（不等于0），函數曲線分別趨向于接近y軸正半軸和x軸負半軸單調遞減函數的位置，以及單調遞增函數的位置。Y軸的正半軸和X軸的負半軸。水平線y=1是由減到增的過渡位置。

（6）函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,并且永不相交。

（7）指數函數無界。

（8）指數函數是非奇非偶函數。

指數函數具有反函數，其反函數是對數函數，它是一個多值函數。

2冪函數的單調區間

當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：

①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增；

②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增；

③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）；

④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。

當α為分數時（且分子為1），α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：

①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增；

②當α>0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限內單調遞增；

③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減；

④當α<0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）。

指數函數圖像及性質是什么?

指數函數圖像及性質如下：

1、a＞1，圖像單調遞增，走勢是同為增函數時，底大近軸，對稱性是底數互為倒數時，圖像關于y軸對稱。

2、0＜a＜1，圖像單調遞減，走勢是同為減函數時，底小近軸，對稱性是底數互為倒數時，圖像關于y軸對稱。

3、指數函數的自變量范圍是（-∞，+∞），因變量范圍是（0,+∞）；當指數函數自變量范圍在（-∞，0）時，因變量輸出范圍為（0，1）。

指數函數的判定

在理解指數函數的概念時，應抓住定義的“形式”像 y=2*3^x， y=2^1/x，y=3^根號x-2，y=(2^x)-1 等函數均不符合形式y=a^x(a>0，且a不等于1)，因此它們都不是指數函數。

指數函數的定義表達式中，在ax前的系數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數。

指數函數是什么

指數函數是重要的基本初等函數之一。一般地，y=ax函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是R。注意，在指數函數的定義表達式中，在ax前的系數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數。

指數函數是數學中重要的函數。應用到值e上的這個函數寫為exp(x)。還可以等價的寫為ex，這里的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等于2.718281828，還稱為歐拉數。

（1）指數函數的定義域為R，這里的前提是a大于0且不等于1。對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等于0函數無意義一般也不考慮

（2）指數函數的值域為(0，+∞)

（3）函數圖形都是上凹的

（4）a>1時，則指數函數單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減的

（5）可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（不等于0）函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置

（6）函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,并且永不相交

（7）函數總是通過（0，1）這點,(若,則函數定過點(0,1+b))

（8）指數函數無界。

（9）指數函數是非奇非偶函數

（10）指數函數具有反函數，其反函數是對數函數

指數函數公式

Y=a^x(a>0且不=1)
指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且不=1)，函數圖形上凹，a大于1，則指數函數單調遞增；a小于1大于0，則為單調遞減的函數。
指數函數既不是奇函數也不是偶函數。
要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得a的不同大小影響函數圖形的情況。指數函數是重要的基本初等函數之一。一般地，y=a^x函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是R。注意，在指數函數的定義表達式中，在a^x前的系數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數。