實對稱矩陣(實對稱矩陣的定義)

什么是實對稱矩陣

實對稱矩陣：如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等于其本身（aij=aji）(i,j為元素的腳標)，則稱A為實對稱矩陣。

主要性質：

1.實對稱矩陣A的不同特征值對應的特征向量是正交的。

2.實對稱矩陣A的特征值都是實數，特征向量都是實向量。

3.n階實對稱矩陣A必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值　必有k個線性無關的特征向量，或者說必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E為單位矩陣。

擴展資料：

對稱矩陣性質：

1.對于任何方形矩陣X，X+XT是對稱矩陣。

2.A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。

3.對角矩陣都是對稱矩陣。

4.兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，當且僅當兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特征空間相同。

5.用<,>表示上的內積。n×n的實矩陣A是對稱的，當且僅當對于所有X, Y∈，。

6.任何方形矩陣X，如果它的元素屬于一個特征值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：

7.每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個復方形矩陣都可寫作兩個復對稱矩陣的積。

8.若對稱矩陣A的每個元素均為實數，A是Hermite矩陣。

9.一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣當且僅當所有元素都是零的時候成立。

10.如果A是對稱矩陣,那么AXAT也是對稱矩陣。

11.n階實對稱矩陣，是n維歐式空間V（R）的對稱變換在單位正交基下所對應的矩陣。

參考資料:百度百科----實對稱矩陣

什么是實對稱矩陣？

如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等于其本身（aij=aji）(i,j為元素的腳標)，則稱A為實對稱矩陣。

擴展資料

1.實對稱矩陣A的不同特征值對應的特征向量是正交的。

2.實對稱矩陣A的特征值都是實數，特征向量都是實向量。

3、在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合，最早來自于方程組的系數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。

4、矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見于統計分析等應用數學學科中。[2]在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。

參考資料實對稱矩陣_百度百科

實對稱矩陣的定義

如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等于其本身（aij=aji），(i,j為元素的腳標），則稱A為實對稱矩陣。

主要性質：

1、實對稱矩陣A的不同特征值對應的特征向量是正交的。

2、實對稱矩陣A的特征值都是實數。

3、n階實對稱矩陣A必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

4、若A具有k重特征值λ0　必有k個線性無關的特征向量，或者說秩r(λ0E-A)必為n-k，其中E為單位矩陣。

5、實對稱矩陣A一定可正交相似對角化。

什么是實對稱矩陣？

定義：如果有n階矩陣A，其各個元素都為實數，矩陣A的轉置等于其本身(A^T= A) ，則稱A為實對稱矩陣。

B^T=(A^5-4A^3+E)^T=(A^5)^T-(4A^3)^T+E^T=(A^T)^5-4(A^T)^3+E=A^5-4A^3+E=B.

∴B^T=B，仍為對稱陣。

其中運用了轉置的基本運算公式
①(AB)^T=B^T·A^T ②(kA)^T=k·A^T ③(A+B)^T=A^T+B^T

什么是實對稱矩陣？

實對稱矩陣
實，代表該矩陣的元素都是實數
對稱：代表該矩陣的元素沿主對角線是對稱相等的。即A(i,j)=A(j,i)
比如
A=
|0
2
3|
|2
0
4|
|3
4
0|

實對稱矩陣是什么樣子?

實對稱矩陣：

主要性質：

1、實對稱矩陣A的不同特征值對應的特征向量是正交的。

2、實對稱矩陣A的特征值都是實數，特征向量都是實向量。

3、n階實對稱矩陣A必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值　必有k個線性無關的特征向量，或者說必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E為單位矩陣。

實對稱矩陣的特征值都是實數，而其特征向量都是實向量。

但是反過來不能因為特征值都是實數，就斷定矩陣是實對稱矩陣，非實對稱矩陣的特征值也有可能都是實數。