如何用電腦截長圖？
假面騎士w全形態(tài)資料(要帶圖片的)
幪面超人W[注：W為Double音，因?yàn)榇藥堂娉耸且噪p人變身，因而得音]
英語：MaskedRiderW
國際音標(biāo)ma:sktraidə'dʌbl
幪面超人W需由左翔太郎和菲利普合體變身，單人無法變身。
名稱由來為雙重驅(qū)動變身器本身為「|_/\_|」字狀，將雙重驅(qū)動變身器放至腰前帶環(huán)即會自動套上。兩側(cè)各有一個垂直的GaiaMemory插槽，將兩支記憶體插入后，主變身者將插槽向外打開，不論哪邊皆可以，插槽會向外45度角傾斜，變身器收到指令后即可發(fā)動變身，此時雙重驅(qū)動變身器會呈現(xiàn)「\_/\_/」的形狀。變身時由菲利普先插入靈魂記憶體，其精神會隨著記憶體傳送到左翔太郎的腰帶上，而菲利普則會失去意識，接著由翔太郎插入身體記憶體，并啟動變身。
若使用FangMemory，則由翔太郎首先插入地球記憶體，以菲利普的肉體變身，此時換為翔太郎失去意識。
變身期間，右半身由菲利普控制，翔太郎控制左半身。主意識以翔太郎為主，菲力浦負(fù)責(zé)輔助，提供有助戰(zhàn)斗的資訊，如果其中一方陷入混亂的話，就會失去戰(zhàn)斗力。變身完成后，兩人會共同說一句「來吧，數(shù)數(shù)你的罪孽吧！（原文：さぁ、お前の罪を數(shù)えろ！）」。
起初，幪面超人被左翔太郎和菲利普名命為「W」，并自稱為「兩人一體的偵探」。市民目睹W戰(zhàn)斗后，促使了「保護(hù)風(fēng)都的謎之戰(zhàn)士」的都市傳奇誕生，而W亦變得眾所周知，被市民廣泛稱頌為「幪面超人」，左翔太郎和菲利普很重視「幪面超人W」的名譽(yù)。
變身模式
W由翔太郎和菲利普各自持有兩種類地球記憶體，身體記憶體與靈魂記憶體各取其一組成的，合共有十種形態(tài)。二人起初各有三個地球記憶體，菲利普在故事中期得到FangMemory，與JokerMemory組成第10種形態(tài)。FangMemory能否與MetalMemory和TriggerMemory組合尚為未知之?dāng)?shù)。
身體記憶體共有JokerMemory、MetalMemory、TriggerMemory、FangMemory四種，他們分別代表「王牌」、「斗士」、「槍手」和「極限」的記憶。前三個由翔太郎持有。身體記憶體決定了W的個體能力和武器，身體記憶體使用者的個體會變身成W，在戰(zhàn)斗時受到的傷害由其承受。
靈魂記憶體共有CycloneMemory、HeatMemory、LunaMemory三種，分別代表「颶風(fēng)」、「熾熱」和「月神」的記憶，全由菲利普持有，決定W的屬性和特殊能力，分別為速度，火焰及變化。使用特殊能力會消耗菲利浦的體力，使用過度會導(dǎo)致菲利浦失去戰(zhàn)斗能力。W曾過度使用HeatMemory的火焰能力，導(dǎo)致菲利普昏迷。變身時，其使用者的靈魂會傳送至身體記憶體使用者身上，與之二合為一。任何一方的記憶體被拔除后，W會解除變身。
將身體記憶體插入可以發(fā)動必殺技，名為「MaximumDrive」，MaximumSlot的位置對應(yīng)不同的各種身體記憶體Joker狀態(tài)下是腰帶，Metal狀態(tài)下是棍棒上，Trigger狀態(tài)下則是槍上，亦可插入W所持有的電子儀器中。FangJoker形態(tài)下需要連按FangMemory上的角三次才能發(fā)動MaximumDrive。
幪面超人W的各種型態(tài)及必殺技名稱
JokerMetalTrigger
CycloneCyclone/JokerCyclone/MetalCyclone/Trigger
JokerExtremeMetalTwisterTriggerShooting
HeatHeat/JokerHeat/MetalHeat/Trigger
JokerGrenadeMetalBrandingTriggerExplosion
LunaLuna/JokerLuna/MetalLunaTrigger
--TriggerFullBurst
FangFang/Joker未知未知
FangStraizer--
變身型態(tài)
Joker
Joker型態(tài)的W有優(yōu)秀的速度和身體機(jī)能，格斗能力很強(qiáng)。JokerMemory與同樣是速度型的CycloneMemory有很好的契合度。
與CycloneMemory結(jié)合成CycloneJoker型態(tài)，可以提升Joker的速度及靈活度，必殺技為身體對分的騎士踼——「JokerExtreme」。（第1、5、11、24話中使用過，但第11話中被Nazca破解）於第1話登場。
與HeatMemory結(jié)合成HeatJoker型態(tài)，Joker的拳擊附帶火焰的效果，必殺技為身體對分的手刀——「JokerGrenade」。（第10話中使用過）於第2話登場。
與LunaMemory結(jié)合成LunaJoker型態(tài)，W的右邊身軀可隨意伸展，有如橡皮筋般的彈性。於第1話登場。
與FangMemory結(jié)合成FangJoker型態(tài)，僅作靈魂記憶體之用，未為FangJoker提供特殊能力或?qū)傩浴?/p>
Metal
Metal型態(tài)的W有強(qiáng)大的力量和防御力，使用棍型武器「MetalShaft」。MetalMemory與同樣是力量型的HeatMemory有很好的契合度。
與CycloneMemory結(jié)合成CycloneMetal型態(tài)，可以提升使用MetalShaft的速度。使用MetalShaft時可產(chǎn)生旋風(fēng)，必殺技為伴著強(qiáng)烈旋風(fēng)的棍擊——「MetalTwister」（第26話中使用過）於第3話登場。
與HeatMemory結(jié)合成HeatMetal型態(tài)，使用MetalShaft時可產(chǎn)生火焰，必殺技為伴著火焰的棍擊——「MetalBranding」。（第2、4、11話中使用過）於第2話登場。
與LunaMemory結(jié)合成LunaMetal型態(tài)，MetalShaft變得有彈性，可隨意彎曲。於第4話登場。
Trigger
Trigger型態(tài)的W擁有優(yōu)秀的射擊能力，使用手槍「TriggerMagnum」作戰(zhàn)。TriggerMemory與同樣是戰(zhàn)術(shù)型的LunaMemory有很好的契合度。
與CycloneMemory結(jié)合成CycloneTrigger型態(tài)，TriggerMagnum的頻率和子彈速度有所提升。第5話首次登場。曾與Batshot配合，使出有高準(zhǔn)確度的射擊——「TriggerShooting」。（第18話中使用過）
與HeatMemory結(jié)合成HeatTrigger型態(tài)，TriggerMagnum會射出火焰彈，於第6話登場。必殺技為火焰彈噴射——「TriggerExplosion」。（第12話中使用過）
與LunaMemory結(jié)合成LunaTrigger型態(tài)，TriggerMagnum會射出有追擊對手功能的子彈，於第6話登場。必殺技為射出大量追蹤彈——「TriggerFullBurst」（第6、7、8、14、16話中使用過，但第7話因電話的關(guān)系未發(fā)動成功，而第14話則是配合Stagphone使用，第16話因NazcaDopant救援TabooDopant而攻擊失敗）
Fang
有著「極限的記憶」的地球記憶體，可以給與W最快的速度和最強(qiáng)的身體機(jī)能。
平時是以小型機(jī)械恐龍自由活動，有自己的思考意志。FangMemory是被創(chuàng)造來保護(hù)菲利普，因此由菲利普持有。
使用時會使菲利普失去理智，一切行動均以消滅敵人為優(yōu)先，甚至不顧他人的安危，所以菲利普也無法完全信任他。后來翔太郎和菲利普能夠控制FangMemory的力量，不至失控。在第15話登場。
在劇場版（回憶篇）也有出現(xiàn)。
與JokerMemory結(jié)合成FangJoker型態(tài)，JokerMemory改作靈魂記憶體方式使用。
按下FangMemory頭上的角1下，能使用ArmFang，前腕會產(chǎn)生利刃當(dāng)作手刀之用。
連按2下，能使用ShoulderFang，肩膊上會產(chǎn)生利刃，拔出后可當(dāng)作刀刃，或者回力標(biāo)之用。
連按3下，能使用必殺技FangStraizer，使用小腿刀刃的旋轉(zhuǎn)騎士踢（第16、17話中使用過）。
輔助工具/交通工具
RevolGarry（リボルギャリー）
W的大型支援型戰(zhàn)車，可以高速行駛，平常停靠在鳴海偵探事務(wù)所的倉庫，同時也是菲利普的搜查地點(diǎn)。可由翔太郎所持有的手機(jī)Stagphone呼叫出動，并輸入各種指令遙控操作。
能夠幫HardBoilder轉(zhuǎn)換裝備，HardBoilder的裝備放在后方的大型車輪當(dāng)中，車身打開后可作為發(fā)射臺把換裝后的HardBoilder射出。
RevolGarry并沒有任何武裝，因此只能以巨大的車體沖撞敵人或防御強(qiáng)力攻擊。
HardBoilder（ハードボイルダー）
前半部是黑色而后半部是綠色的摩托車，日常由翔太郎所駕駛。最高時速為每小時580公里。武裝是摩托車的前輪兩側(cè)裝備的機(jī)槍，可以由Stagphone作出操控。摩托車是以本田CBR1000RR作為藍(lán)本。
可以在RevolGarry更換后半部，有三種不同的裝備，三種型態(tài)共用的車頭會因應(yīng)不同裝備而變型。於第1話登場。
HardBoilder后半部可裝上6個同為綠色的推進(jìn)器，強(qiáng)化其速度，這個型態(tài)稱為HardBoilderStartDashMode（ハードボイルダースタートダッシュモード）於第10話登場。推進(jìn)器可以卸載，并以高速脫離，曾以此方式攻擊NazcaDopant。
HardTurbuler（ハードタービュラー）
后半部是紅色的小型戰(zhàn)斗機(jī)。武器是機(jī)翼上的機(jī)炮和主翼上的振動刀。於第2話登場。
HardSplasher（ハードスプラッシャー）
后半部是黃色的氣墊船。武器是魚雷。於第6話登場。
電子設(shè)備
翔太郎搜查時的隨身道具，也能在戰(zhàn)斗時派上用場，使用時要插入Gaia
Memory。
能夠和MetalMemory和TriggerMemory的武器結(jié)合，組合更多樣化的攻擊模式。與道具組合后，MaximumDrive也會因應(yīng)道具的搭配有所變化，搭配型態(tài)以「&」表示。
由於JokerMemory型態(tài)下沒有武器，因此不能做任何組合。
組合在Metalshaft上時為Maximumslot的位置旁，而TriggerMagnum則是在Maximumslot的后方，當(dāng)發(fā)動組合必殺技時更能相互搭配與彌補(bǔ)屬性上的優(yōu)缺點(diǎn)組合戰(zhàn)術(shù)。
Stagphone
屬於力量型和敏捷型兼具的道具，平時是一部手機(jī)，可作RevolGarry的遙控器。翔太郎和菲利普都有一部。
插入StagMemory后可變形成鍬形蟲，能夠接收來自Batshot的影像，可以用角攻擊敵人。
StagMemory的屬性為「尖角」，以角強(qiáng)大而集中的攻擊力來攻擊敵人。
結(jié)合為LunaTrigger&Stag型態(tài)可使用必殺技「TriggerStagBurst」，子彈以雙向夾擊的形式攻擊敵人。
若插入HeatMemory可發(fā)動MaximumDrive，全身將帶有Heat屬性的火焰攻擊敵人。
Batshot
搜查時使用的相機(jī)。屬於敏捷型和戰(zhàn)術(shù)型兼具的道具。
插入BatMemory后可變形成蝙蝠，能夠毫無死角的拍攝重要線索，可以用超聲波攻擊敵人及粉碎物品，而Batshot的鏡頭具有瞄準(zhǔn)或準(zhǔn)鏡的功能。
BatMemory的屬性為「音波」，能將超音波滲入各種物體從內(nèi)部進(jìn)行破壞。
結(jié)合為CycloneTrigger&Bat型態(tài)下可使用必殺技「TriggerBatShooting」，可使子彈滲入物體進(jìn)行破壞。
結(jié)合為CycloneMetal&Bat型態(tài)下可使用超聲波粉碎障礙物。
若插入LunaMemory可發(fā)動MaximumDrive，能準(zhǔn)確偵測到敵人位置，其超音波攻擊可以滲入固體（如樹木、石頭、地面）攻擊敵人。
Spidershock
翔太郎配戴的手表，能夠發(fā)出特有的發(fā)信器，以便於翔太郎追蹤敵人或重要線索。屬於戰(zhàn)術(shù)型的道具。
插入SpiderMemory后可變形成蜘蛛，能夠射出勾繩抓住東西，以便於攀爬或降落。能夠憑著物品的特徵進(jìn)行搜索，并快速地找到重要物品或線索。
SpiderMemory的屬性為「黏稠」，以蜘蛛絲的黏稠力量使敵人行動變的遲鈍甚至無法行動。
結(jié)合為LunaTrigger&Spider型態(tài)后，TriggerMagnum能射出網(wǎng)子捕捉敵人。
結(jié)合為CycloneMetal&Spider型態(tài)后，能夠以極快的速度射出蜘蛛絲擾亂敵人。
FrogPod
在第25話由Shroud寄給菲利普的新型電子設(shè)備，并且在第26話組裝完成，本體是喇叭內(nèi)部的揚(yáng)聲器。屬於戰(zhàn)術(shù)型的道具。
插入FrogMemory后可變形成青蛙，只要按下FrogMemory的按鈕就能錄音，再按下?lián)P聲器上的按鈕就能變成各種聲音說話，藉此擾亂敵人
名字中文翻譯顏色持有者連接位置備注
Cyclone颶風(fēng)綠色菲利普雙重驅(qū)動器-右詳見上文幪面超人W
Heat熱度亮紅色菲利普雙重驅(qū)動器-右
Luna月神黃色菲利普雙重驅(qū)動器-右
Fang利牙銀白色菲利普雙重驅(qū)動器-右
Joker鬼牌黑色左翔太郎雙重驅(qū)動器-左
Metal金屬銀色左翔太郎雙重驅(qū)動器-左
Trigger扳機(jī)藍(lán)色左翔太郎雙重驅(qū)動器-左
Stag鍬甲橘色左翔太郎手機(jī)
Bat蝙蝠亮藍(lán)色左翔太郎照相機(jī)
Spider蜘蛛黃色左翔太郎手表
Frog青蛙綠色左翔太郎揚(yáng)聲器
Prism稜鏡綠色左翔太郎超多彩光劍
Extreme極限黃色左翔太郎雙重驅(qū)動器備注
作用像腰帶一樣,令w變成新模式Cyclone/Joker/Extreme
萬字長文|線性代數(shù)的本質(zhì)課程筆記完整合集！
三種向量的觀點(diǎn)
線性代數(shù)中最基礎(chǔ)，最根源的組成部分是向量，那么什么是向量呢？從不同學(xué)生的視角看，有以下三種觀點(diǎn)：
物理專業(yè)學(xué)生的視角 ：向量是空間中的箭頭，決定一個向量的是它的長度和所指的方向，只要這兩個要素相同， 向量可以任意移動。
計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的視角 ：向量是有序的數(shù)字列表，數(shù)字順序不可以隨意轉(zhuǎn)變。
數(shù)學(xué)專業(yè)的視角 ：向量可以是任何東西，只要滿足向量之間相加和數(shù)字與向量相乘都有意義即可。
我們先來考慮平面中的x-y坐標(biāo)系，向量被定義為從原點(diǎn)出發(fā)的有方向的箭頭。這與物理專業(yè)的看法略有不同，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為向量在空間中可以自由落腳，但是在線性代數(shù)中，向量是從原點(diǎn)作為起點(diǎn)的。而向量的坐標(biāo)如[2,3]，則是有序性的體現(xiàn)，2代表橫坐標(biāo)，3代表縱坐標(biāo)，二者不可交換。
接下來，我們來介紹下向量的幾何意義、向量加法的幾何意義，以及向量乘法的幾何意義。
向量的幾何意義
考慮平面中的x-y坐標(biāo)系，由x軸和y軸組成，二者的交叉部分叫做原點(diǎn)。
一個向量的坐標(biāo)由一對數(shù)組成，這對數(shù)指導(dǎo)我們?nèi)绾螐脑c(diǎn)走到向量的終點(diǎn)。
如上圖的向量，它告訴我們先沿x軸往左移動2個單位，再沿y軸移動3個方向。
向量加法的幾何意義
假設(shè)我們現(xiàn)在有兩個向量：
如果我們把w從原點(diǎn)移動到v的終點(diǎn)，然后再連接原點(diǎn)和w的終點(diǎn)，那么得到的向量就是二者的和。
為什么是這樣，還是回到向量的意義來，他定義了一種移動方式，假設(shè)v的坐標(biāo)是[1,2],w的坐標(biāo)是[3,-1]。v告訴我們要沿x軸向右移動1個單位，沿y軸向上移動2個單位，而w告訴我們要沿x軸向右移動3個單位，沿y軸向下移動一個單位。這樣總體的移動效果就是沿x軸向右移動5個單位，沿y軸向上移動1個單位，得到的結(jié)果是[5,1]。因此向量加法的幾何意義，我們可以看作是多次移動的累積結(jié)果，從計(jì)算上來看，就是如下的式子：
向量乘法的幾何意義
向量乘法就是對向量進(jìn)行拉伸(乘以一個大于1的正數(shù))，壓縮(乘以一個小于1的正數(shù))，翻轉(zhuǎn)向量的行為(乘以一個負(fù)數(shù))，這些行為統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為scaling。而向量乘上的這些數(shù)值本身，稱之為向量(scalars)。向量乘法的計(jì)算方式如下：
基向量
我們之間介紹了向量之間兩種最基本的運(yùn)算，向量相加 以及 向量的縮放。還是以二維平面為例，其實(shí)每一個向量都可以通過 基向量(basis vectors) 經(jīng)由上面的兩種運(yùn)算得到，假設(shè)我們的基向量是[1,0]和[0,1]，如下圖:
當(dāng)然，基向量可以任意選擇，定義兩個向量v和w，以其為基向量，通過加法和乘法，可以得到平面中任意的向量：
基向量的嚴(yán)格定義為： 向量空間中的基是張成該空間的一個線性無關(guān)的向量集 ：
線性組合
線性組合Linear Combination 的幾何意義如下圖所示，完整上來說，其實(shí)是向量之間的線性組合，其主體是向量，線性組合是一個操作，將各個向量縮放之后，相加在一起，就得到了參與操作的向量之間的線性組合。
線性組合有下面是三種情況：
1）如果參與組合的一對向量不共線，那么由它們進(jìn)行線性組合所得到的向量可以達(dá)到平面上的任意一個點(diǎn)：
2）如果參與組合的一對向量共線，那么由它們進(jìn)行線性組合所得到的向量的終點(diǎn)被限制在一條通過原點(diǎn)的直線：
3）如果參與組合的一對向量都是零向量，那么由它們進(jìn)行線性組合所得到的向量永遠(yuǎn)是零向量：
向量張成的空間
張成的空間 ：v與w全部的線性組合所構(gòu)成向量集合被稱為張成的空間。
對于平面來說，如果兩個向量不共線，那么可以張成整個二維平面，如果共線，只能張成一條直線。
對于三維空間來說，如果三個向量共線，那么只能張成一條直線，如果三個向量共平面，那么只能張成一個平面，如果三個向量不共平面，則可以張成整個三維空間。
線性相關(guān)
線性相關(guān) ：如果一組向量中，至少有一個對張成的空間沒有幫助，或者說其中一個向量可以表示成其他向量的線性組合，或者說其中一個向量在其他向量所張成的向量空間中。
線性無關(guān) 則與線性相關(guān)相反，所有向量都不能表示成其他向量的線性組合：
線性變換Linear transformation
變換其實(shí)也是一種函數(shù)，我們有一個輸入向量，然后經(jīng)過變換之后，得到一個輸出向量。整個過程，可以看作是輸入的向量移動到了輸出的輸出的位置。考慮整個平面上的向量，在經(jīng)過變換之后，得到了一個最新的位置。
那什么是線性變換呢？滿足下面兩個條件：
1）所有的直線還是直線。即原先終點(diǎn)在一條直線上的向量，在經(jīng)過線性變換之后，這些向量還落在一條直線上。
2）原點(diǎn)還在原來的位置。
那么如何來描述我們的線性變換呢？考慮向量v = [-1,2]，在i = [1,0]和j = [0,1]為基的情況下，v = -1 * i+2 * j，假設(shè)線性變換如下：
上圖中，原先的i=[1,0]變換到i'=[1,-2]，原先的j=[0,1]變換到j(luò)'=[3,0],而原先的v變換到v'=[5,2]，而關(guān)系 v' = -1 * i' + 2 * j'仍然存在。即圖中的式子成立。
所以說，一個2*2的矩陣，[[a,c],[b,d]]其實(shí)代表了一種線性變換，它把原來的[1,0]變換到[a,b]的位置，把原先空間中的[0,1]變換到[c,d]的位置。而該矩陣與一個向量[x,y]相乘的結(jié)果，相當(dāng)于對該向量做了一次線性變換，把向量移動到新平面中對應(yīng)的位置：
兩個2*2矩陣a和b相乘，可以看作是對原始空間連續(xù)做了兩次線性變換，而得到的計(jì)算結(jié)果c也是一個2*2的矩陣。使用c對原始空間進(jìn)行一次線性變換，和連續(xù)使用a和b對原始空間進(jìn)行兩次線性變換的效果相同。
矩陣的計(jì)算就不細(xì)講了，我們只需要知道，矩陣相乘的幾何意義是將兩次單獨(dú)的變換變?yōu)橐淮谓M合變換即可。
該結(jié)論到三維空間中也是同樣成立的。
如果在二維空間中，我們畫出相對應(yīng)的網(wǎng)格，那么線性變換，就是對這些網(wǎng)格做了拉伸，收縮或者反轉(zhuǎn)。那么如何來定義這種變換的程度呢？就需要用到行列式determinant的概念了。
舉一個簡單的例子吧：
在進(jìn)行線性變換后，原來一個面積為1的單位方格，變成了面積為6的矩形。可以說，線性變換將原空間放大了6倍。
再看一個例子：
上面的例子中，當(dāng)二維空間經(jīng)過一次線性變換被壓縮成一條直線甚至是一個點(diǎn)時，行列式為0，因此可以通過行列式是否為0來判斷線性變換后的空間的維度是否與原空間相同。
我們知道，行列式的值是有正有負(fù)的，那么怎么判斷是負(fù)數(shù)呢？我們可以通過變換后的基向量i和j的方向來判定。
在變換之前，j是在i的左側(cè)的：
如果經(jīng)過線性變換后，j變成了在i的右側(cè)，那么得到的行列式的值是負(fù)的：
那么到三維空間中，行列式的值就告訴我們經(jīng)過線性變換后，單位體積變化的程度，而行列式的值可以通過右手定則來判定：
那么行列式如何來計(jì)算呢？
逆矩陣
我們先從線性方程組著手，一個線性方程組可以表示成Ax = v：
看到這里，你也許已經(jīng)知道這代表什么含義了，矩陣A相當(dāng)于一個線性變換，向量x在經(jīng)過A這個線性變換后，得到的向量為v。線性方程組的求解過程其實(shí)就是找到向量v在經(jīng)由A這個線性變換之前所在的位置x。
因此，我們可以把它變成另一個過程，即將v所在的線性空間，經(jīng)過另一個逆向的過程，變回x所在的線性空間，那么這個線性變換用矩陣表示，就是A的逆矩陣，用A -1 表示。即逆矩陣A -1 所代表的線性變換，是A所代表的線性變換的逆過程。因此A -1 A相對于任何事情都沒有做。
那么既然逆矩陣相當(dāng)于線性變換的逆操作，因此只有在線性變換后空間的維數(shù)不變的情況下，才能進(jìn)行逆操作。再結(jié)合之前學(xué)習(xí)到的，線性變換不降維，前提條件是矩陣的行列式值不為0，因此矩陣的逆矩陣存在的前提，即矩陣的行列式值不為0。
矩陣的秩Rank
矩陣的秩即經(jīng)由該矩陣代表的線性變換后，所形成的空間的維數(shù)。比如在三維空間中，如果經(jīng)過某個矩陣A代表的線性變換后，空間變?yōu)橐粭l直線，那么這個矩陣的秩為1。如果空間變?yōu)橐粋€平面，那么這個矩陣的秩為2。如果還是三維空間，那么矩陣的秩為3.
列空間
列空間有兩種解釋：
1）假設(shè)矩陣A代表一個矩陣變換，原始空間中所有的向量，在經(jīng)由矩陣A的變換之后，所得到的所有新向量的集合
2）由矩陣A的列向量所張成的空間
比如下面的例子，[[2,-2],[1,-1]]這個矩陣，將二維空間變換為一條直線，那么這條直線就是矩陣的列空間。
零空間
如果某個向量空間在線性變換之后，存在降維，那么就會有一系列原來不是零向量的向量落到了零向量的位置，所有這些向量的集合構(gòu)成了零空間。
點(diǎn)積的標(biāo)準(zhǔn)觀點(diǎn)
如果我們有兩個維數(shù)相同的向量，他們的點(diǎn)積就是對應(yīng)位置的數(shù)相乘，然后再相加：
從投影的角度看，要求兩個向量v和w的點(diǎn)積，可以將向量w朝著過原點(diǎn)的向量v所在的直線進(jìn)行投影，然后將w投影后的長度乘上向量v的長度（注意兩個向量的的夾角）。
當(dāng)兩個向量的夾角小于90度時，點(diǎn)積后結(jié)果為正，如果兩個向量垂直，點(diǎn)積結(jié)果為0，如果兩個向量夾角大于90度，點(diǎn)積結(jié)果為負(fù)。
一個有趣的發(fā)現(xiàn)是，你把w投影到v上面，或者把v投影到w上面，結(jié)果是相同的。
但是你不覺得上面兩個過程是完全不同的嘛？接下來就直觀解釋一下。
假設(shè)我們有兩個長度完全相同的向量v和w，利用其對稱性，無論將v投影到w上還是將w投影到v上，結(jié)果都是一樣的：
如果我們把其中一個向量變?yōu)?倍，這種對稱性被破壞了。假設(shè)我們把w投影到v上，此時投影的長度沒變，但v的長度變?yōu)閮杀叮虼耸窃瓉斫Y(jié)果的兩倍。同樣如果把v投影到w上，投影長度變?yōu)?倍，但w長度沒變，所以結(jié)果也是原結(jié)果的兩倍。所以對于兩個向量的點(diǎn)積來說，無論選擇哪個向量進(jìn)行投影，結(jié)果都是一樣的。
問題又來了，投影的思路和對位相乘再相加的思路，有什么聯(lián)系呢？聯(lián)想之前所學(xué)的線性變換過程，假設(shè)u是二維空間變換到一維空間后的基向量：
在第三講中我們已經(jīng)知道，一個2*2的矩陣，[[a,c],[b,d]]其實(shí)代表了一種線性變換，它把原來的[1,0]變換到[a,b]的位置，把原先空間中的[0,1]變換到[c,d]的位置。那么想要知道什么樣的線性變換可以將二維空間中的基向量i和j變換到一維空間中的基向量u，只需要知道i和j變換后的位置即可。i和j變換后的位置，相當(dāng)于對u所在的直線進(jìn)行投影，利用對稱性，可以得到相應(yīng)的結(jié)果，如下圖：
所以二維空間中的任意一個向量，通過上面的線性變換可以得到的一維向量。這個過程相當(dāng)于對二維向量進(jìn)行了投影。而根據(jù)矩陣乘法的計(jì)算方法，便可以將投影的計(jì)算方法和對位相乘再相加的方法聯(lián)系起來。
上面的思路總結(jié)起來，就是無論何時你看到一個二維到一維的線性變換，那么應(yīng)用這個線性變換和與這個向量點(diǎn)乘在計(jì)算上等價：
上面是數(shù)學(xué)中“對偶性”的一個有趣實(shí)例。
首先來看叉積的標(biāo)準(zhǔn)介紹。叉積是通過兩個三維向量生成一個新的向量，新的向量滿足下面三個條件：
1）垂直于這兩個向量所張成的平面
2）其長度等于這兩個向量所形成的四邊形的面積
3）其方向滿足右手定則
右手定則如下：
接下來看看叉積的具體計(jì)算，求行列式得到的是叉積后向量的長度，叉積得到的向量的坐標(biāo)是下圖中的三個“某些數(shù)”。
接下來，深入理解叉積的含義，我們通過線性變換的眼光來看叉積。我們首先定義一個三維到一維的線性變換：
先回顧一下行列式的定義，三維空間中，3 * 3矩陣的行列式是三個向量所形成的平行六面體的有向體積（絕對值是體積，但需要根據(jù)方向判定其正負(fù)號），但這并非真正的叉積，但很接近：
假設(shè)我們把第一個向量變?yōu)樽兞浚斎胍粋€向量(x,y,z)，通過矩陣的行列式得到一個數(shù)，這個數(shù)就代表我們輸入的向量與v和w所組成的平行六面體的有向體積：
為什么要這么定義呢？首先要指出的是，上面的函數(shù)是線性的。所以我們就可以將上面的行列式過程表示成一個變換過程：
同時，當(dāng)線性變換是從多維到一維時，線性變換過程又可以表示為點(diǎn)積的形式：
即p的結(jié)果是：
所以，問題其實(shí)變換為了，找到一個向量p，使得p和某個向量(x,y,z)求點(diǎn)積的結(jié)果，等于對應(yīng)的三維方陣行列式的值（即(x,y,z)和向量u、v所組成的平行六面體的有向體積）。
左邊是一個點(diǎn)積，相當(dāng)于把(x,y,z)向p上投影，然后投影長度和p的長度相乘：
而右邊平行六面體的體積，可以拆解為底面積 * 高。底面積可以認(rèn)為是v和w所組成的平行四邊形的面積，高的話是(x,y,z)在垂直于v和w所張成的平面的方向上的分量的長度。
那么：
點(diǎn)積 = (x,y,z)在p上投影的長度 * p的長度
體積 = v和w所組成的平行四邊形的面積 * (x,y,z)在垂直于v和w所張成的平面的方向上的分量的長度
根據(jù)二者相等，可以認(rèn)為p的長度是v和w所組成的平行四邊形的面積、p的方向垂直于v和w所張成的平面。這樣我們的p就找到了，而p就是我們要找的叉積的結(jié)果，是不是很奇妙！
詳細(xì)的過程還是推薦大家看一下視頻，講的真的非常好！
在二維空間中的向量[3,2]，我們可以將其看作向量伸縮再相加的結(jié)果，比如把i即[1,0]變長為3倍，把j即[0,1]變長為2倍，再相加。
一個向量本沒有坐標(biāo)，之所以能夠把向量轉(zhuǎn)換成一組坐標(biāo)，或者說能把向量轉(zhuǎn)換成一組有序的數(shù)，是因?yàn)槲覀冊O(shè)定了一個坐標(biāo)系。
發(fā)生在向量與一組數(shù)之間的任意一種轉(zhuǎn)化，都被稱為一組坐標(biāo)系。之所以上面的向量表示為[3,2]，是因?yàn)榘裪伸長為3倍、把j伸長為2倍，再相加的結(jié)果。平面中任意其他向量都可以表示為i和j的有向伸縮倍數(shù)，此時i和j就被稱為坐標(biāo)系的基向量。
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