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反函數(shù)怎么求(反函數(shù)怎么求導(dǎo))

更新時(shí)間:2023-03-01 01:43:44 閱讀：評論：0

反函數(shù)怎么求

求反函數(shù)的方法：

（1）從原函數(shù)式子中解出x用y表示；

（2）對換 x,y ,

（3）標(biāo)明反函數(shù)的定義域

如：求y=√(1-x) 的反函數(shù)　　　　

注：√(1-x)表示根號下(1-x)　

兩邊平方,得y²=1-x

x=1-y²

對換x,y 得y=1-x²

所以反函數(shù)為y=1-x²（x≥0)

說明：

反函數(shù)里的x是原函數(shù)里的y ,原函數(shù)中,y≥0,所以反函數(shù)里的x≥0。

在原函數(shù)和反函數(shù)中,由于交換了x,y的位置,所以原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域,原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域。

反函數(shù)的求法步驟

反函數(shù)的求法步驟如下：

1、將y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）。

2、將x，y互換得y=f-1（x）。

3、寫出反函數(shù)的定義域（可根據(jù)原函數(shù)的定義域或反函數(shù)的解析式確定）。

反函數(shù)性質(zhì)

1、反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，稱為互調(diào)性。

2、定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且單調(diào)性相同（即函數(shù)與其反函數(shù)在各自的定義域上的單調(diào)性相同），對連續(xù)函數(shù)而言，只有單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù)，但非連續(xù)的非單調(diào)函數(shù)也可能有反函數(shù)。

3、函數(shù)y=f（x）的圖象與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱。

4、設(shè)y=f（x）與y=g（x）互為反函數(shù)，如果點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y=f（x）的圖像上，那么點(diǎn)（b，a）在它的反函數(shù)y=g（x）的圖像上。

5、函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)是y=f-1（x），函數(shù)y=f-1（x）的反函數(shù)是y=f（x），稱為互反性。

6、函數(shù)y=f（x）的圖象與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖象的交點(diǎn)，當(dāng)它們是遞增時(shí)，交點(diǎn)在直線y=x上。當(dāng)它們遞減時(shí)，交點(diǎn)可以不在直線y=x上。

反函數(shù)怎么求？

可以使用arccos計(jì)算公式：cos(arcsinx)=√（1-x^2）計(jì)算。

一般來說，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y) 。反函數(shù)x=f-1(y)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數(shù)就是對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。

一般地，如果x與y關(guān)于某種對應(yīng)關(guān)系f(x)相對應(yīng)，y=f(x)，則y=f(x)的反函數(shù)為x=f-1(y)。存在反函數(shù)（默認(rèn)為單值函數(shù)）的條件是原函數(shù)必須是一一對應(yīng)的（不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的）。注意：上標(biāo)"−1"指的是函數(shù)冪，但不是指數(shù)冪。

擴(kuò)展資料：

反函數(shù)存在定理

定理：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必定有嚴(yán)格單調(diào)的反函數(shù)，并且二者單調(diào)性相同。在證明這個(gè)定理之前先介紹函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性。

設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閒(D)。如果對D中任意兩點(diǎn)x1和x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，有y1<y2，則稱y=f(x)在D上嚴(yán)格單調(diào)遞增；當(dāng)x1<x2時(shí)，有y1>y2，則稱y=f(x)在D上嚴(yán)格單調(diào)遞減。

證明：設(shè)f在D上嚴(yán)格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的嚴(yán)格單增性，對D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。總之能使f(x)=y的x只有一個(gè)，根據(jù)反函數(shù)的定義，f存在反函數(shù)f-1。

任取f(D)中的兩點(diǎn)y1和y2，設(shè)y1<y2。因?yàn)閒存在反函數(shù)f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此時(shí)x1≥x2，根據(jù)f的嚴(yán)格單增性，有y1≥y2，這和我們假設(shè)的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即當(dāng)y1<y2時(shí)，有f-1(y1)<f-1(y2)。這就證明了反函數(shù)f-1也是嚴(yán)格單增的。

反函數(shù)怎么求

1.先求出原函數(shù)的值域，因?yàn)樵瘮?shù)的值域就是反函數(shù)的定義域
（我們知道函數(shù)的三要素是定義域，值域，對應(yīng)法則，所以先求反函數(shù)的定義域是球反函數(shù)的第一步）
2.反解x，也就是用y來表示x
3.改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x
4.寫出反函數(shù)及其定義域

如何求反函數(shù)

1、首先看這個(gè)函數(shù)是不是單調(diào)函數(shù)，如果不是則反函數(shù)不存在如果是單調(diào)函數(shù)，則只要把x和y互換，然后解出y即可。

2、例如：

y=x^2，x=正負(fù)根號y，則f(x)的反函數(shù)是正負(fù)根號x，求完后注意定義域和值域，反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域就是原函數(shù)的定義域。

擴(kuò)展資料：

1、反函數(shù)的性質(zhì)：

（1）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；

（2）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；

（3）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（當(dāng)函數(shù)y=f(x)，定義域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常數(shù)），則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且有反函數(shù)，其反函數(shù)的定義域是{C}，值域?yàn)?#123;0} ）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，被與y軸垂直的直線截時(shí)能過2個(gè)及以上點(diǎn)即沒有反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

（4）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；

（5）嚴(yán)增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)；

（6）反函數(shù)是相互的且具有唯一性；

（7）定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆（三反）；

（8）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果x=f(y)在開區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)，可導(dǎo)，且f'(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)在區(qū)間S={x|x=f(y),y∈I }內(nèi)也可導(dǎo)，且：

（9）y=x的反函數(shù)是它本身。

2、反函數(shù)存在定理：

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必定有嚴(yán)格單調(diào)的反函數(shù)，并且二者單調(diào)性相同。

參考資料來源：百度百科 - 反函數(shù)