常微分方程(常微分方程的通解)

常微分方程的定義

常微分方程，學過中學數學的人對于方程是比較熟悉的；在初等數學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數和未知數之間的關系找出來，列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。但是在實際工作中，常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題。
定義1：凡含有參數，未知函數和未知函數導數 (或微分) 的方程，稱為微分方程，有時簡稱為方程，未知函數是一元函數的微分方程稱作常微分方程，未知數是多元函數的微分方程稱作偏微分方程。微分方程中出現的未知函數最高階導數的階數，稱為微分方程的階。定義式如下： 　

定義2：任何代入微分方程后使其成為恒等式的函數，都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數的個數與方程的階數相同，且任意常數之間不能合并，則稱此解為該方程的通解(或一般解).當通解中的各任意常數都取特定值時所得到的解，稱為方程的特解。

常微分方程

常微分方程，屬數學概念。

在初等數學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。

這些方程都是要把研究的問題中的已知數和未知數之間的關系找出來，列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。但是在實際工作中，常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題。

任何代入微分方程后使其成為恒等式的函數，都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數的個數與方程的階數相同，且任意常數之間不能合并，則稱此解為該方程的通解(或一般解).當通解中的各任意常數都取特定值時所得到的解，稱為方程的特解。

一般地說，n 階微分方程的解含有 n個任意常數。也就是說，微分方程的解中含有任意常數的個數和方程的階數相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構成一個函數族。

如果根據實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來，那么求這種解的問題叫做定解問題，對于一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。對于高階微分方程可以引入新的未知函數，把它化為多個一階微分方程組。

常微分方程之常微分方程（基礎知識篇）

一、常微分方程的基本概念

定義1   微分方程:表示未知函數、未知函數的導數(或微分)與自變量之間的關系的方程

如果微分方程中的未知函數僅含有一個自變量,這樣的微分方程稱為常微分方程否則,稱為偏微分方程

定義2   微分方程的階:方程中未知函數的 最高階導數 的 階數n 叫做該 微分方程的階 ,同時該方程叫做n階微分方程

定義3   線性微分方程:微分方程中所含的未知函數及其各階導數全是一次冪

例題：下列方程中為一階線性方程的是   C

A. '+       B. y'+    C.  x y'+y = sin x     D. '-x y=1

定義4   微分方程的解:代入微分方程后能使方程成為恒等式的函數y=f(x)

定義5   通解:解中所含任意常數相互獨立,個數與方程的階數相同

定義6   特解:不含任意常數的解

定義7   我們用未知函數及其各階導數在某個特定點的值作為確定通解中任意常數的條件,稱為微分方程的初始條件

定義8   初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題

定義9   初值問題特解:通過初始條件確定的 不含任意常數 的解

微分方程和常微分方程有什么區別

兩者不存在區別之分，因為兩者是包含與被包含的關系。微分方程包括常微分方程。

微分方程指含有未知函數及其導數的關系式。解微分方程就是找出未知函數。

未知函數是一元函數的，叫常微分方程；未知函數是多元函數的叫做偏微分方程。

含有未知函數的導數，如的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程，叫做微分方程。

微分方程是伴隨著微積分學一起發展起來的。

擴展資料

微分方程的應用：

是重要工具之一。流體力學、超導技術、量子力學、數理金融中的穩定性分析、材料科學、模式識別、信號(圖像)處理 、工業控制、輸配電、遙感測控、傳染病分析、天氣預報等領域都需要它。

微分方程的解：

偏微分方程的解會含有一個或多個任意函數，其個數隨方程的階數而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常數或任意函數）作盡可能的變化，人們就可能得到方程所有的解，于是數學家就把這種含有任意元素的解稱為“通解”。

在常微分方程方面，一階方程中可求得通解的，除了線性方程、可分離變量方程和用特殊方法變成這兩種方程的方程之外，維數是很小的。

高階方程中，線性方程仍可以用疊加原理求解，即n階齊次方程的通解是它的n個獨立特解的線性組合，其系數是任意常數。非齊次方程的通解等于相應齊次方程的通解加上非齊次方程的特解，這個特解并且可以用常數變易法通過求積分求得。

求齊次方程的特解，當系數是常數時可歸結為求一代數方程的根，這個代數方程的次數則是原方程的階數;當系數是變數時，則只有二種極特殊的情況（歐拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。

至于非線性高階方程則除了少數幾種可降階情形(如方程(1)就是這幾種情形都有的一個方程)之外，可以求得通解的為數就更小了。n階方程也可以化為一階方程組（未知函數的個數和方程的個數都等于 n）早已為人們所知，并且在此后起著一定作用，但對通解的尋求仍無濟于事。

參考資料來源：百度百科-微分方程

常微分方程知識點總結有哪些？

常微分方程知識點總結如下：

1、代入微分方程能使方程兩端稱為恒等式的函數y=φ（x）稱為微分方程的解。

2、不含任意常數的微分方程的解，稱為微分方程的特解。

3、對于一階線性微分方程的考察形式，一般有四種，以x作為自變量、以y作為自變量、非常見式形式和求方程的特解。

4、所謂的微分方程，指的是未知函數、未知函數的導數（微分）與自變量之間的關系的方程。

5、常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的。數學的其他分支的新發展，如復變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發展產生了深刻的影響，當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。

常微分方程通解公式是什么?

常微分方程通解公式是y=y(x)。隱式通解一般為f(x,y)=0的形式，定解條件，就是邊界條件，或者初始條件 。常微分方程,屬數學概念。學過中學數學的人對于方程是比較熟悉的;在初等數學中就有各種各樣的方程,比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。

六種常見的常微分方程通解：

1、一階微分方程的普遍形式

一般形式：F（x,y,y'）=0

標準形式：y'=f(x,y)

主要的一階微分方程的具體形式

2、可分離變量的一階微分方程

3、齊次方程

4.一階線性微分方程

5.伯努利微分方程

6.全微分方程