三角形的重心(三角形的重心有什么特殊性質)

三角形的重心是什么？

三角形重心是三角形三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與形心重合。

任意三角形的三條中線把三角形分成面積相等的六個部分。中線都把三角形分成面積相等的兩個部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

中線（中點）運用：

1、幾何中的中線（中點）常常是聯系在一起的。因此遇到中點這樣的條件（或關鍵詞）我們可以考慮中線定理與中位線定理進行思考。

2、在面積問題中，中線把三角形的面積等分，如果兩個三角形的高相同，面積之比可轉化為底邊之比。

3、在涉及中線的有關長度計算問題，往往需要“倍長中線”。

擴展資料

三角形重心常用性質：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等

證明方法：

在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

過O，A分別作a邊上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可證S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數

即其坐標為[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

4、三角形內到三邊距離之積最大的點

5、卡諾重心定理：若G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2

參考資料來源：百度百科-三角形重心

三角形的重心是什么

三角形的重心是三角形三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與形心重合。

重心的性質

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4.在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均。

5.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

6.三角形ABC的重心為G，點P為其內部任意一點，則3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中，過重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP+AC/AQ=3。

8.從三角形ABC的三個頂點分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個切點為Pi，則Pi均在以重心G為圓心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)為半徑的圓周上。

9、G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

順口溜

三條中線必相交，交點命名為重心；

重心分割中線段，線段之比二比一。

三角形的五心

1、內心：三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。內心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊距離相等）。

2、外心：是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五種心重心、垂心、內心、外心、旁心，當且僅當三角形是正三角形的時候，四心合一心，稱做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三邊中線的交點。

5、旁心：三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。旁心到三角形三邊的距離相等。三角形有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半。

三角形的重心在哪里？

三角形的重心就是三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心就是三角形的中心。

三角形重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等；重心到三角形3個頂點距離的平方和最小；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1；重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

擴展資料

三角形的面積公式：

(其中，a、b為三角形兩邊，C為邊c所對角)

因為該公式涉及到建立在直角三角形基礎上的正弦值，而“正弦”擺脫圓的控制而在直角三角形中討論，是16世紀的事。哥白尼的得意門生——奧地利數學家雷提庫斯（Rhaeticus，1514—1574）在《三角學準則》一書中，將正弦函數的定義直接建立在“直角三角形”上，即sinα=對邊/斜邊。因此，可斷定出現在16世紀以后。

什么叫做三角形的重心

三角形有很多不同的心，重心是三角形其中之一。

重心：三條邊的中線交于一點；

垂心：三角形的三條高（所在直線）交于一點；

外心：三角形的三條邊的垂直平分線交于一點；

內心：三角形的三條內角平分線交于一點。

三角形的重心、外心、垂心、內心、旁心稱為三角形的五心，它們都是三角形的重要相關點。

旁心：三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點。

三角形的重心怎么求

三角形重心是三角形三邊中線的交點.
根據重心的性質,三邊中線必交于一點.
所以作三角形任意兩邊的中線,其交點就是此三角形的重心.
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.
證明一
三角形ABC,E、F是AB,AC的中點.EC、FB交于G.
證明：過E作EH平行BF.
∵AE=BE且EH//BF
∴AH=HF=1/2AF（中位線定理）
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴EG=1/2CG（⊿CFG∽⊿CHE）
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.
證明二
證明方法：
在△ABC內,三邊為a,b,c,點O是該三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據重心性質知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1過O,A分別作a邊上高H1,H可知OH1=1/3AH 則,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可證S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小.(等邊三角形）
證明方法：
設三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為（x,y） 則該點到三頂點距離平方和為：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
顯然當x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標）時
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最終得出結論.
4、在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術平均數,
即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標：（z1+z2+z3）/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點.
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ,則M點為△ABC的重心,反之也成立.
7、設△ABC重心為G點,所在平面有一點O,則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、相同高三角形面積比為底的比,相同底三角形面積比為高的比.
證明方法：
∵D為BC中點,
∴BD=CD,
又∵h△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD,
∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD,
即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,
∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.
同理,
∵E為AC中點,
∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.
∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,
即S△BOF=S△AOF.
∴BF=AF,
∴CF為AB邊上的中線,
即三角形的三條中線相交于一點.