全微分方程(全微分方程的充要條件是什么)

什么叫全微分方程 它與微分方程有什么區別？

全微分方程是指常微分方程，是一門數學課程名，是相對于偏微分方程（數學物理方程）而言，專門研究只含一元函數的導數（微分）的方程。全微分是多元函數的先行主部，數值為各偏導數與各自增量乘積增量之和。

它與微分方程區別是常微分方程主要是解得的未知函數是一元函數的微分方程，而偏微分方程主要內容為解得的未知函數是多元函數的微分方程。

條件分析

全微分方程的充分必要條件為∂M/∂y=∂N/∂x。為了求出全微分方程的原函數，可以采用不定積分法和分組法，對于不是全微分方程，也可以借助積分因子使其成為全微分方程，再通過以上方法求解。

若微分形式的一階方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的左端，而恰好是一個二元函數U（x，y）的全微分，即 dU(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy。

怎么判斷一個方程是否是全微分方程？

若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),則稱Pdx+Qdy=0為全微分方程,顯然,這時該方程通解為u(x,y)=C(C是任意常數).
根據二元函數的全微分求積定理:設開區域G是一單連通域,函數P(x,y),Q(x,y)在G內具有一階連續偏導數,則P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G內為某一函數u(x,y)的全微分的充要條件是P'(y)=Q'(x),在G內恒成立.
例：判斷方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程，并求其通解
（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,
P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,
δP/δy=12xy=δQ/δx,
所以這是全微分方程，
u(x,y)=∫[0,x](3x^2+6xy^2)dx+∫[0,y]4y^3dy
=x^3+3x^2y^2+y^4,
方程通解:x^3+3x^2y^2+y^4=C.

常微分方程,偏微分方程,全微分方程各是什么,有什么區別?

常微分方程：解得的未知函數是一元函數的微分方程.
偏微分方程：解得的未知函數是多元函數的微分方程.
全微分方程：一個一階微分方程寫成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后,它的左端恰好是某個函數u=u(x,y)的全微分,則該微分方程叫全微分方程.