ARCTANX

考試內容：

角的概念的推廣．弧度制．

任意角的三角函數．單位圓中的三角函數線．同角三角函數的基本關系式.正弦、余弦的誘導公式．

兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函數、余弦函數的圖像和性質．周期函數．函數y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數的圖像和性質．已知三角函數值求角．

正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．

考試要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式；了解周期函數與最小正周期的意義．

（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

（4）能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明．

（5）理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A.ω、φ的物理意義．

（6）會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinxarc-cosxarctanx表示．

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形．

（8）“同角三角函數基本關系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．

1. ①與α（0°≤α＜360°）終邊相同的角的集合（角α與角β的終邊重合）：{β|β=k*360°+α，k∈Z}

②終邊在x軸上的角的集合： {β|β=k*180°，k∈Z}

③終邊在y軸上的角的集合：{β|β=k*180°+90°，k∈Z}

④終邊在坐標軸上的角的集合： {β|β=k*90°，k∈Z}

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：{β|β=k*180°+45°，k∈Z}

⑥終邊在軸上y=-x軸上的角的集合：{β|β=k*180°-45°，k∈Z}

⑦若角α與角β的終邊關于x軸對稱，則角α與角β的關系：α=360°k-β

⑧若角α與角β的終邊關于y軸對稱，則角α與角β的關系：α=360°k+180°-β

⑨若角α與角β的終邊在一條直線上，則角α與角β的關系：α=180°k+β

⑩角α與角β的終邊互相垂直，則角α與角β的關系：α=360°k+β±90°

2. 角度與弧度的互換關系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.

、弧度與角度互換公式： 1rad＝180°/π≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝π/180ι≈0.01745（rad）

3、弧長公式：ι=|α|·r. 扇形面積公式：s扇形=1/2lr=1/2|α|·r2

4、三角函數：設α是一個任意角，在α的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則sinα=y/r ； cosα=x/r ；tanα=y/x ； cotα=x/y ；cα=r/y ；. .

5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函數線

正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線： AT.

7. 三角函數的定義域：

8、同角三角函數的基本關系式：sinα/cosα=tanα cosα/sinα=cotα

tan2α+cot2α=1 cα·sinα=1 cα·cosα=1

sin2α+cos2α=1 c2α-tan2α=1 csc2α-cot2α=1

9、誘導公式：

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數的公式：（一）基本關系

公式組二

公式組三

公式組四

公式組五

公式組六

（二）角與角之間的互換

公式組一

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α-β）=cosαsinβ+sinαcosβ

sin(α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）

tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαranβ）

公式組二

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

tan2α=2tanα/（1-tan2α）

sinα/2=±√cosα/2

cosα/2=±√（1+cosα）/2

tanα/2=±√√（1-cosα）/（1+cosα）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

公式組三

sinα=（2tan2α/2）/（1+tan2α/2）

cosα=（1-tan2α/2）/（1+tan2α/2）

tanα=（2tanα/2）/（1-tan2α/2）

公式組四

sinαcosβ=1/2[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosαsinβ=1/2[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosαsinβ=1/2[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinαsinβ=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos（α-β）/2

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin（α-β）/2

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos(α-β）/2

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin（α-β）/2

公式組五

cos（1/2π-α）=sinα

sin（1/2π-α）=cosα

tan（1/2π-α）=cotα

cos（1/2π+α）=-sinα

tan（1/2π+α）=-cotα

sin（1/2π+α）=cosα

sin15°=cos75°=（√6-√2）/4，sin75°=cos15°=√6+√2）/4，tan15°=cot75°=2-√3，tan75°=cot15°=2+√3

10. 正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：

注意：①y=-sinx與y=sinx的單調性正好相反；y=-cosx與y=cosx的單調性也同樣相反.一般地，若y=f（x）在[a,b]上遞增（減），則y=-f（x）在[a.b]上遞減（增）.

②y=|sinx|與y=|cosx|的周期是π.

③y=sin（ωx+φ）或y=cos（ωx+φ）（ω≠0）的周期T=2π/|ω|.

y=|tanx/2|的周期為2π（T=π/|ω|=>T=2π，如圖，翻折無效）.

④y=sin（ωx+φ）的對稱軸方程是x=kπ+π/2（k∈Z），對稱中心（kπ，0）；y=cos（ωx+φ）的對稱軸方程是x=kπ（k∈Z），對稱中心（kπ+1/2π，0）；y=tan（ωx+φ）的對稱中心（kπ/2,0）.y=cos2x→原點對稱→y=-cos（-2x）=-cos2x

⑤當tanα·tanβ=1，α+β=kπ+π/2（k∈Z）；tanα·tanβ=-1·α-β=kπ+π/2（k∈Z）.

⑥y=cosx與y=sin（x+π/2+2kπ）是同一函數,而是偶函數，則y=（ωx+φ）=sin（ωx+kπ+1/2π）=±cos（ωx）.

⑦函數y=tanx在R上為增函數.（×） [只能在某個單調區間單調遞增. 若在整個定義域，y=tanx為增函數，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關于原點對稱是f（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：f（-x）=f（x）*，奇函數：f（-x）=-f（x）

奇偶性的單調性：奇同偶反. 例如：ttanx是奇函數，y=tan（x+1/3π）是非奇非偶.（定義域不關于原點對稱）

奇函數特有性質：若0∈x的定義域，則f（x）一定有f（0）=0.（0不屬于x的定義域，則無此性質）

⑨y=sin|x|不是周期函數；y=|sinx|為周期函數（T=π）；

y=cos|x|是周期函數（如圖）；y=|cosx|為周期函數（T=π）；

y=|cos2x+1/2|的周期為π（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：y=f（x）=5=f（x+k），k∈R .

⑩ y=αcosα+bsinβ=√（a2+b2）*sin（α+β）+cosβ=b/a有√（a2+b2）≧|y|.

11、三角函數圖象的作法：

１）、幾何法：

２）、描點法及其特例——五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數圖象．

三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T=2π/|ω|，頻率f=1/T=|ω|/2π，相位ωx+φ；初相φ（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0 時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的倍，得到y＝sinω x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區別。

4、反三角函數：

函數y＝sinx，（x∈[-π/2，π/2]）的反函數叫做反正弦函數，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是[-π/2，π/2]．

函數y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數叫做反余弦函數，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數y＝tanx，（x∈[-π/2，π/2]）的反函數叫做反正切函數，記作y＝arctanx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是(-π/2，π/2)．

函數y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數叫做反余切函數，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

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