高斯定理(高斯定理的適用條件)

大學物理電場學里面有個高斯定理，講的是靜電場的電場特性，定理是這樣描述的：靜電場中任意封閉曲面的電場通量與曲面所包圍的電荷的代數和成正比，與曲面的形狀無關，與曲面內電荷的分布無關，與曲面外的電荷無關，這里的電場通量以曲面外側為正方向，簡單來說，就是穿出封閉曲面的電場線數量減穿入曲面的電場線數量就是電場通量，如果封閉曲面內無電荷，那么電場通量就是0，高斯定理在靜電場分析中具有重要作用。

高斯畫像

高斯定理圖片描述

上圖畫出來一靜電場中的一封閉曲面，黑線為電場線，紅線為封閉曲面，可以看到，當封閉曲面內無電荷時，只要穿入曲面的電場線都會穿出曲面，因此電場通量為0。這里我用數學的方式來推導高斯定理，涉及到高等數學的高斯公式，考研的同學不要錯過哦，這是考研數學的一個重要應用。下面我來慢慢分析。

單連通區域

這里要講什么叫單連通區域，意思是空間中一封閉曲面包圍的區域完全是實心的，不存在任何空洞，講高斯公式會用到單連通區域。高斯公式是這樣描述的：一空間區域Ω由分塊光滑封閉曲面所圍成，函數P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω內有連續一階偏導數，意思就是單連通區域，以曲面外側為正方向，那么高斯公式如下圖所示：

高斯公式

高斯公式將曲面積分轉換為簡單三重積分，簡化來計算過程，假如空間區域不是單連通區域，而有空洞，那么稱之為復連通區域，如圖，

復連通區域

那么此時空間區域Ω由外面的曲面和內部的曲面包圍而成，外面的曲面取外側為正方向，里面的曲面取內側為正方向，設外面的曲面為S，里面的曲面為S1，S2……Sn，那么復連通區域的高斯公式如下：

復連通區域高斯公式

好了，高斯定理講了這么多，大家覺得還是很抽象吧，不好理解，沒錯，光是看這些數學的語言確實很難理解，但是接下里我用高斯公式推導高斯定理，大家就會比較容易理解了。高斯定理的推導先從點電荷入手，設空間中一個電荷量為q的點電荷，如圖所示：

點電荷電場

以點電荷為原點建立空間坐標系，根據點電荷電場強度公式E=Kq/r，可以得到空間中(x,y,z)坐標處的電場強度:

這里的i,j,k分別是x,y,z方向的單位向量，在點電荷電場中，我們要求任意包圍電荷封閉曲面S1的電場通量，S1包圍的區域并非單連通區域，因為在原點處電場強度無定義，此時構造一個足夠小的曲面S2，它是以原點為球心的球面，半徑r，在S1內部，在此時S1與S2之間的區域就是單連通區域，命名為Ω，那么：

通過上面的推導過程，我們可以得到，包圍點電荷的閉合曲面電場通量為4πKq，那么同樣當點電荷在曲面外面時可以很容易推出電場通量為0。那么如何推導到一般的情況呢，如果空間的電荷不是點電荷，那怎么辦呢？這時，可以采用線性疊加法，將一般的電荷看成很多的點電荷的集合，分別處理，然后將結果疊加。假設空間中有一分塊光滑封閉曲面S，里面有n個點電荷，電荷分別為q1,q2....qn,曲面外有m個點電荷，電荷分別為q(n+1)...q(n+m),假設有個點電荷為q(a),它在空間產生的電場強度為

由于電場可以線性疊加，所以空間中(x,y,z)處的電場強度為：

所以閉合曲面的電場通量為：

好了，高斯定理已經完全推導出了，所以說，微積分是數學中非常重要的內容，我們現實當中無處不存在數學，喜歡大家都能喜歡上數學。