狄利克雷函數(狄利克雷函數的連續性)

引言

函數(function)是我們初中就開始接觸的一個數學概念，也是高中階段最核心的數學概念之一，我們通常用f(x)來表示一個函數。上了大學之后，我們會更加深入地研究函數的連續性，可微性，可導性等問題。但是對于絕大多數的同學，平時所接觸的函數都只是所謂的初等函數。初等函數，指的是由5大類基本初等函數：

冪函數(power function)，指數函數(exponential function)，對數函數(logarithmic function)，三角函數(trigonometric function)和反三角函數(inver-trigonometric function)

經過有限次加減乘除與復合所得到的函數。比如我隨手寫一個函數：

它可就可以看成是一個三角函數與冪函數做復合，再和指數函數做除法得到的。

你可以搜羅一下你所見到的函數，基本上都是初等函數，那么這個“初等”又是怎么回事呢？難道還有“高等”的函數嗎？

的確如此，初等函數都具有一些良好的性質，比如，所有初等函數在其定義域上都是連續的，并且是幾乎處處可導的，即使有一些不可導點，那這些不可導點也是有限的、孤立的。也就是說，初等函數的圖像都是我們可以想象出來的，就是一段兒除了個別點之外，其余都是連續的、光滑的曲線。比如我剛才隨手寫的函數，它的圖像就是如下的樣子：

那么是否會有一些函數，它有無窮多個不可導點，甚至每一點都不可導，更有甚者，圖像我們連畫都畫不出來？這樣的函數是有的，而它顯然不是我們熟悉的初等函數，因為其性質太過詭異，我們稱其為“病態函數”。最簡單的一類病態函數就是大名鼎鼎的狄利克雷函數。在介紹它之前，我們先來介紹一下他的發明人——德國大數學家狄利克雷(Dirichlet)。

狄利克雷(1805-1859)

狄利克雷出生于1805年，他可謂是師出名門，曾經是“數學王子”高斯(Gauss，1777-1855)的學生，同時也參加過另一位法國大數學家傅里葉(Fourier，1768-1830)領導的小組活動。他于1829年到柏林大學任教，1831年被選為普魯士科學院院士，并于1855年接替高斯成為哥廷根大學的教授，同年被選為英國皇家學會會員。

狄利克雷在數論、分析學和數學物理等多方領域做出了杰出貢獻，是19世紀上半葉非常重要的一位數學家，同時也為19世紀下半葉哥廷根大學成長為世界數學中心奠定了基礎。

十九世紀數學圣地——哥廷根大學

長久以來，人們只是把函數理解為兩個變量之間的變化關系，并且通常用一個表達式來表示。1837年，狄利克雷突破了這個框架，認為函數就是集合中兩個元素的對應關系，而不必非得有一個表達式，于是提出了函數就是x與y之間的一種對應關系的現代觀點。我們現在教科書上的關于函數的定義，基本上就是沿襲了這種觀點。

函數概念示意圖

為了說明這一觀點，狄利克雷就構造了一個人們以前從來沒有見過的函數，就是我們現在被稱之為狄利克雷函數的函數，它的函數表達式如下：

這個函數的圖像讓人想想就頭皮發麻：在實數軸上有無數多個密密麻麻的有理數，同時還有無數多個密密麻麻的無理數。因此它的圖像也是如此的詭異：在y=1的地方密密麻麻分布著無數個點，但是因為有無理數的存在，所以這些點彼此又存在無數多的空隙，不能連成一條連續的直線，同樣道理，在x軸上也是如此！這樣的圖像我們想試用筆畫出來是萬萬不可能的。

這里需要補充一句，有很多人說狄利克雷函數是不存在圖像的，這種說法是錯誤的。它不是不存在圖像，而是圖像我們無法用筆畫出。事實上，任何函數都是有圖像的，對于給定的函數f(x)，我們把集合

{ (x，f(x)) | x在定義域內}

稱為這個函數的圖像。

狄利克雷函數徹底顛覆了人們對函數的傳統認識。通常人們想象出來的函數就是一段或者幾段光滑的曲線，它或許有不連續點或不可導點，但都是有限多個、分散開的，但是狄雷克雷函數的圖像，人們連畫都無法畫出來，甚至它在連續性與可導性上更加突破了人們的想象。我們就來看一下狄利克雷函數它具有哪些詭異的性質。

意思是所有的點都是間斷點。我們在高等數學里面學過，函數f(x)在x=a處連續的定義是函數在該點的極限值等于該點的函數值，即它要滿足

不滿足的話，則是不連續的。我們就拿這個定義來檢驗一下狄利克雷函數。當a無論取何值時，在a的任意一個小的鄰域內，都有無數多個有理點和無數多個無理點，有理點處函數值為1，無理點處函數值為0，因此在a的左邊和右邊函數都是無窮震蕩的，所以x趨近a是f(x)的極限不存在，也就更無法等于f(a)了，因此是不連續的。因為a是任意取的一個值，所以狄利克雷函數在任意一點都是不連續的。

我們高中時都學過，可導一定連續，連續不一定可導，并且不連續一定不可導，狄利克雷函數在任意一點都不連續，因此它在任意一點都不可導。

這里順便提一下，狄利克雷函數處處不可導，是因為處處不連續。不連續導致不可導，這沒什么大不了的，但在1872年，被譽為“近代分析之父”的德國數學家魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)構造出了一個處處連續但無處可導的函數，又進一步顛覆了人們對導數概念的理解，這是后話。

我們在高等數學中學過，一個函數f(x)在閉區間[a,b]上的定積分，它的定義就是如下的極限：

右邊這個極限如果存在，則稱f(x)在[a,b]上是可積的，極限如果不存在則稱為不可積。

事實上，想構造出一個不可積的函數非常地困難。回想一下你在高等數學里面接觸過的所有有界函數，其實都是在閉區間上可積的。而不可積的函數則只能從“病態函數”里面尋找，狄利克雷函數就是其中一個最典型的例子。

我們來說明一下為什么狄利克雷函數不可積，就拿[0，1]這個閉區間舉例子。我們做定義定積分的關鍵一步是要把[0，1]這個閉區間分割成若干小段，然后再讓這些小段的長度趨近于0。因為有理數和無理數是密密麻麻的排列在實數軸上的，所以一個小區間無論多么的短，它里面都包含著無數多有理數和無理數。我們可以這樣來取x*的值：對于任意短的小區間，

由此可以看出，無論你你這個區間長度多么的短，都可以想方設法讓求和式子等于0，同時也可以想方設法讓求和式子等于1，于是這也相當于是一個無窮震蕩，因此它的極限也不存在。所以我們就說明了狄利克雷函數在[0，1]閉區間上不可積。

黎曼和與定積分示意圖

上面三條就是狄利函數所具有的，而你在初等函數中又無法看到的詭異的性質。狄利克雷函數可以說是最簡單的一類病態函數，以它為思想我們可以構造出很多其他類型的病態函數，比如說我們可以把0和1變成任意兩個不同的數：

可以看出這樣構造出來的函數，同樣具有上述三個詭異的性質。同時我們還可以對它進行改造，構造出一些更為詭異的函數，例如只在一點處連續的函數，只在一點處可導的函數等等。

上面狄利克雷函數的表達式是利用分段函數寫出的，那么它有沒有單個的表達式呢？數學家們發現狄利克雷函數可以利用下面這個式子來表示

小伙伴們可以思考一下，為什么它就表示狄利克雷函數。

狄利克雷函數的發現在20世紀有了更為重大的意義。20世紀初，法國數學家勒貝格(Lebesgue，1875-1941)通過對傳統積分理論的研究，提出了一種新的定積分理論——勒貝格積分。他發現，勒貝格積分是比傳統的定積分更為進步的積分，它囊括了更多的函數形式，而狄利克雷函數就是一個最典型的在傳統意義下不可積，但卻是勒貝格可積的函數。用更專業的語言來講，勒貝格積分是傳統積分理論的完備化，它使得人們對函數與積分的認識更上一層樓，而勒貝格積分也取代了傳統的定積分理論，成為當代數學研究里面通用的積分理論。而如果想要學習勒貝格積分，就需要進一步學習測度論，這將又是一個很漫長的過程。

最后，就拿勒貝格大神的照片來鎮樓吧！相信每個學習過實變函數的人看到這張照片的人都會瑟瑟發抖。

參考文獻

[1] 《高等數學》，第七版，同濟大學數學系，北京，高等教育出版社

[2] 《數學分析（下冊）》，第三版，華東師范大學數學系，北京，高等教育出版社

[3] Calculus, early transcendentals, 7ed, James Stewart, Brook/COLE