數獨原始版(數獨老版本)

第一節什么是數組？

一、數組的定義

〔一〕數組在中文里面有三個名字：數組、鏈數和元組。

〔二〕數組是用于儲存多個相同類型數據的集合。

1、九宮標準數獨的規則：根據9×9數獨初始盤面上的提示數，通過邏輯推理，將數字1-9填入剩余的空格內。使得每行，每列，每個粗線圍成的3x3小九宮內，均出現數字1-9各一次且沒有重復的數字出現。

2、根據數獨的規則，可以得到：

（1）一個單元格中只能最終填入唯一的一個數字。

A可以得到這樣的推論：兩個單元格中需要填入兩個數字，三個單元格中需要填入三個數字。

B、總而言之，有多少個單元格，就有多少個數字。

（2）同區中均出現數字1-9各一次且沒有重復的數字出現。

A、可以得到這樣的推論：針對同行的兩個單元格，一定要填入兩個數字，這兩個數字一定是兩個不同的數字，不能是相同的數字。

B、同樣的道理，針對某列或某宮的兩個單元格，一定要填入兩個數字，這兩個數字一定是兩個不同的數字，不能是相同的數字。

C總而言之，在同區中，有多少個單元格，就有多少個不相同數字。

3、根據數獨規則的推論，可以得到：

A兩個單元格中要包含兩個不同數字，兩格與兩數的關系可以稱作二數組。二數組，常常被稱作數對。

B同理：

三個單元格中要包含三個不同數字，三格與三數的關系可以稱作三數組。

四個單元格中要包含四個不同數字，四格與四數的關系可以稱作四數組。

C總而言之，有多少個單元格，就有多少個不相同數字，N格與N數的關系可以稱作N數組。

〔三〕數組，這里指同區確定數組，是同一區域下的兩個或以上的單元格內，確定只能填入某些數字，并且可以換著填都沒毛病的結構。

1、同區，指在同一個區域，具體說就是同行、同列或同宮。

2、確定，是指數字種類的數量和格子的數量是確定的，也就是說，單元格有n個同時數字也有n種。

〔三〕數組還有復雜的用法

1、數組也可以存在不同區域內。如遠程數對。

2、單元格的數量和數字種類的數量也可以是不同的。如待定數組。

二、數組的核心本質

〔一〕格找數填：n個單元格只能填入n種數字

〔二〕數找格填：n種數字只能放在n個單元格里。

三、數組的分類

〔一〕分類的目的是為了解題。

1、解題總的來說有三種方法，直觀法、候選數法和試數法。

（1）其中，試數法也叫試錯法，先嘗試填入數字，然后再填入其他數字，如果出錯了，就說明開始填入的數字是錯的。然后再換另外一個數字，再進行一番嘗試。如果再出錯，就再換一個數字嘗試。直到找到正確的數字。

（2）其中，重點講的是直觀法和候選數法，這兩種方法有技術含量，也可以快速的出數或者刪數。

2、直觀法（Direct）：表示不需要標記任何候選數就可以完成的做題模式。

3、候選數法（Candidate）：表示某個單元格的可能填入的情況。一個可能情況就是一個候選數。

4、因此，從直觀法和候選數這兩個視角來研究分類。

〔二〕從直觀法的視角

1、一個單元格中，只能填入一個數字；只能填入在此格所行列宮中都沒有出現的數字。

2、針對一行中的兩個單元格，只能填入二個數字；只能填入每一格所行列宮中都沒有出現的數字。

3、同理，針對一列（宮）中的兩個單元格，只能填入二個數字；只能填入每一格所行列宮中都沒有出現的數字。

4、同理，針對同區中的N個單元格，只能填入N個數字；只能填入每一格所行列宮中都沒有出現的數字。

5、因此，從余數法的視角，數組是沒有分類的。

〔三〕從候選數法的視角

1、候選數有兩種標記方法

（1）局部標記（Partial Marked）：標記其中某一個或某一些單元格的候選數，用于輔助推理的做題模式。

（2）全部標記（Full Marked）：將盤面的所有單元格的所有可能填數情況都標記出來的做題模式。

（3）這里采用全部標記的方式來講解

2、從候選數法的視角，數對有兩種：顯性數組和隱性數組。

〔四〕顯性數組

實例一

1、從直觀法的視角來分析

〔1〕用余數法推算r7c1和r7c7中應該填入的數字

r7c1所在的宮B7出現的數字：23456

r7c1所在的行R7出現的數字：123459

r7c1所在的列C9出現的數字：15

在宮B7、行R7和列C9中沒有出現的數字：78

數字78就是格r7c1的候選數，記作r7c1（78）

同樣的推理，可以得出：r7c7格的候選數是78，

記作r7c7（78）

〔2〕發現顯性數對

可以發現：第七行R7中，

A7和8兩個數字分布在兩個單元格r7c1和r7c7中。

B有兩個數分布在兩個單元格中，就稱作二數組。

C兩個單元格中的候選數是一樣的，都是78，所以也叫做數對。

D在同區中，兩個單元格中只有兩個候選數，就叫做顯性數對。

〔3〕通過直觀法，想發現數組是不容易的。

2、從候選法的視角來分析

〔1〕全標候選數

利用余數法對全盤標記候選數

〔2〕找到同區的數組

按照宮→行→列的順序來觀察

尋找雙值格，就是只有兩個候選數的單元格。

尋找同區中的候選數字相同的兩個雙值格。

很容易就會在第七行R7中發現候選數相同的兩個雙值格r7c1和r7c7。

〔3〕在同單元內其中n個單元格內只有n種不同的數字，一看就明白，因此稱為顯性數組。

本例中，兩個單元格r7c1和r7c7中，只有兩種不同的數字7和8，因此稱為顯性數組。由于只有兩個候選數，就稱作顯性二數組，或者叫顯性數對。

r7c1和r7c7兩個單元格中包含兩個數字（78），記作

r7c17（78）。

〔4〕同樣的盤面，用直觀法觀察數組很難發現，但是，用候選數法，則相對更容易發現。

〔五〕隱性數組

實例二

1、從直觀法的視角來分析

〔1〕利用排除法推算單元格的候選數。

基礎排除法是利用單數對某個區域做排除，這里做一下升級，用兩個數字對某個區域做排除。

本例選擇4和9這兩個數字對第九列C9進行排除。

為了方便理解，可以分別用4和9對第九列作排除，最后再將結果放在一起。

A、數字4對第九列C9作排除，得到兩個空格。數字4如果不再R2C9格，就一定在R9C9格，記作R29C1（4）

B、數字9對第九列C9作排除，得到兩個空格。數字9如果不再R2C9格，就一定在R9C9格，記作R29C1（9）

C、綜上所述：數字4和9都只可以出現在R2C9和R9C9這兩個格中，記作R29C1（49）。

D、現在利用兩個數字作排除。

（a）根據數獨規則，每一格必填一個數字，或者說一個數字最終只能填入一個格子。

（b）所以，兩個數字最終要填入兩個格子。現在利用兩個數字作排除，最終也要至少剩下兩個空格。

（c）當經過排除之后，只剩下兩個空格時，這就構成了數對。

（d）利用畫排除線的方法，可以很容易的得到兩個空格R2C9和R9C9。因此，對于行來說，數字4和9只能出現在R2C9和R9C9中，記作R29C9（49）

E、先說一下結論，R29C9（49）也稱作隱性數組。

2、從候選法的視角來分析

〔1〕對全盤進行候選數的全面標記。

可以采用余數法作標記。手工打造全標是很費時間的

〔2〕觀察第九列

數字4和9，只出現在第九列C9中的R2C9和R9C9兩個格中。

其中，R2C9中還有數字7；R9C9還有數字5。

〔3〕同單元內有n種不同的數字只能填入到n個單元格內，該些格中因為還有其它候選數很難辨認，因此稱為隱性數組。

因此，數組R29C9（49）稱作隱性數組。

〔六〕特別說明

1、在上述舉例中，通過余數法發現了顯性數對，通過排除法發現了隱性數對。但是，并不是說，所有通過余數法得到的數組一定是顯性數對，也可能是隱性數組。同樣，并不是說，所有通過排除數法得到的數組一定是隱性數對，也可能是顯性數組。

2、到底是顯性數組還是隱性數組，要通過全標候選數來區分。單元格內包含數組本身的數字，不包含其他數字，就是顯性數組。單元格內不僅包含數組本身的數字，還包含其他數字，就是隱性數組。

3、在直觀法中發現數組是不容易的，相對來說，在候選數法中更容易發現數組。因此，數組技巧更多應用在候選數法中。

四、詳解顯性數組和隱性數組

〔一〕顯性數組：同一區域下，n個單元格內只有n種不同的數字。

1、顯性數組是一種根據“n個單元格填n種候選數”的情況，來確定刪數和出數結論的技巧。

2、顯性數組可以利用余數法對單元格進行點算，通過數數的操作進行數字的枚舉，最終可以得到顯性數組。

3、在標記候選數的情況下，可以明顯的看到n個單元格中只有n種候選數。

4、顯性數組按照數組規格，可有效使用的一共有3種：顯性數對（雙數組）、顯性三數組（三鏈數）、顯性四數組（四鏈數）。

〔二〕隱性數組：同一區域下，n種不同的數字只能填入到n個單元格內。

1、隱性數組是一種根據“當前行列宮內僅有n個單元格來填這n種候選數”，來確定刪數和出數結論的技巧。

2、“隱性”體現在“必須通過排除才能看到，單元格內的填數情況標注出來無法立馬確定”。隱性數組不能被直觀的看到，需要進行分析才能觀察到。可以通過排除的操作對位置進行枚舉，最終可以得到隱性數組

3、隱性數組按照數組規格，可有效使用的一共有3種：隱性數對（雙數組）、隱性三數組（三鏈數）、隱性四數組（四鏈數）。

〔三〕直觀法解題時，由于沒有標候選數的關系，所以觀察到的數組很難判定其為顯性或隱性。

1、因此解題時必須同時考慮刪數及占位兩種情形，才不致遺漏數對所能發揮的功效。

2、解題時若能從這兩方面去思考，則數對解法可以發揮的威力會遠遠超乎你的想象。

五、數組的作用

〔一〕占位：n種數字已經被n個單元格占用了，同一區域的其他格子就不能用了。

〔二〕刪數：n個單元格里只能有n種數字，這些單元格中的其他數字就可以刪除了。

〔三〕顯性數組和隱性數組在作用上的區別

1、對外：顯性數組的作用是對所在宮和所在行列的其他相同候選數進行排除，他是對外排除的。

2、對內：隱性數組，他不排除所在宮和所在行列的其他格里的相同候選數。他是對隱性數對數組所在的格內部的其他的候選數進行排除的，他是對內排除的。

本節實例答案

實例一：初盤

實例一：終盤

實例二：初盤

實例二：終盤