等差數(shù)列求和(等差數(shù)列求和公式推導(dǎo))

?等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，可以用AP表示，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

(一）等差數(shù)列求和公式

1.公式法?2.錯(cuò)位相減法?3.求和公式?4.分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.?5.裂項(xiàng)相消法

適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。?小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。

注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)

1、余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。

2、余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。

6.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個(gè)值，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

例：

求證：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證明：

當(dāng)n=1時(shí)，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設(shè)命題在n=k時(shí)成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

則當(dāng)n=k+1時(shí)有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1時(shí)原等式仍然成立，歸納得證

7.并項(xiàng)求和法

（常采用先試探后求和的方法）

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（并項(xiàng)）

求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相減。

方法二：

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

方法三：

構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。

an=n(-1)^（n+1）

（二）等差數(shù)列判定及其性質(zhì)

等差數(shù)列的判定（1）a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數(shù)]等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。（3）a(n)=kn+b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n ∈N* ]等價(jià)于{a(n)}為等差數(shù)列。特殊性質(zhì)在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等。并且等于首末兩項(xiàng)之和；特別的，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的2倍,即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中例：數(shù)列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等。并且等于首末兩項(xiàng)之和。數(shù)列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，和等于中間項(xiàng)的2倍，另見(jiàn)，等差中項(xiàng)。