復合函數定義域(復合函數定義域取交集還是并集)

復合函數定義域是什么?

復合函數的定義域由內層函數和外層函數共同確定的。

（1）f(x)的定義域，這就要求g(x)的值域在f(x)的定義域內，這時可以解得一個范圍，在這個范圍內g(x)的值域恰好是f(x)的定義域。

（2）g(x)本身的定義域，由于這個定義域的存在，可以會使得g(x)的取值范圍減小。

判斷復合函數的單調性的步驟如下：

⑴求復合函數的定義域。

⑵將復合函數分解為若干個常見函數（一次、二次、冪、指、對函數）。

⑶判斷每個常見函數的單調性；。

⑷將中間變量的取值范圍轉化為自變量的取值范圍。

⑸求出復合函數的單調性。

復合函數的定義域是怎么確定的

復合函數的定義域由內層函數和外層函數共同確定的。

已知y=f(x)，u=g(x)。

則f(g(x))稱為由f(x)和g(x)復合而成的復合函數，其中f(x)稱外層函數，g(x)稱內層函數。

若已知f(x)的定義域為(a,b)，求f(g(x))的定義域，則只需要使a<g(x)<b，解集即為f(g(x))的定義域；

若已知f(g(x))的定義域為(p, q), 求f(x)的定義域。

則由p<x<q，可求出g(x)的范圍，則g(x)的范圍即為f(x)的定義域。

總結：函數f(x)，f(g(x))，f(h(x))等函數或復合函數，只要前面對應法則f相同，則定義域的求法為：對應法則f后面括號內的表達式的取值范圍相同，即可求出x的范圍，即為定義域。

擴展資料：

求函數的定義域主要應考慮以下幾點：

⑴當為整式或奇次根式時，R的值域；

⑵當為偶次根式時，被開方數不小于0（即≥0）；

⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大于0；

⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0（如，中）。

⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。

判斷復合函數的單調性的步驟如下：

⑴求復合函數的定義域；

⑵將復合函數分解為若干個常見函數（一次、二次、冪、指、對函數）；

⑶判斷每個常見函數的單調性；

⑷將中間變量的取值范圍轉化為自變量的取值范圍；

⑸求出復合函數的單調性。

參考資料來源：百度百科——復合函數

復合函數的定義域是什么

復合函數的定義域由內層函數和外層函數共同確定的。

函數f(x)，f(g(x))，f(h(x))等函數或復合函數，只要前面對應法則f相同，則定義域的求法為：對應法則f后面括號內的表達式的取值范圍相同，即可求出x的范圍，即為定義域。

復合函數通俗地說就是函數套函數，是把幾個簡單的函數復合為一個較為復雜的函數。

當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。由實際問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求

對于含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，并要注意函數的定義域為非空集合。

復合函數定義域求法

　　復合函數是數字內的一種函數。以下是我為大家整理的關于復合函數定義域以及復合函數定義域求法，歡迎大家前來閱讀!

　　復合函數定義域

　　若函數=()的定義域是B,=()的定義域是A,則復合函數=[()]的定義域是

　　D={|∈A,且()∈B}綜合考慮各部分的x的取值范圍，取他們的交集。

　　求函數的定義域主要應考慮以下幾點：

　　⑴當為整式或奇次根式時，R;

　　⑵當為偶次根式時，被開方數不小于0(即≥0);

　　⑶當為分式時，分母不為0;當分母是偶次根式時，被開方數大于0;

　　⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0(如，中)。

　　⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

　　⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。

　　⑺由實際問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求

　　⑻對于含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，并要注意函數的定義域為非空集合。

　　⑼對數函數的真數必須大于零，底數大于零且不等于1。

　　⑽三角函數中的切割函數要注意對角變量的限制。

　　復合函數定義域求法

　　復合函數及其定義域求法(1)

　　一、復合函數的定義：設y是u的函數，即y=f(u),u是x的函數，即u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過u的聯系成為x的函數，這個函數稱為由y=f(u)，u=g(x)復合而成的復合函數記作y=f[g(x)],其中u稱為中間變量。

　　二、對高中復合函數的通解法——綜合分析法

　　1、解復合函數題的關鍵之一是寫出復合過程

　　例1：指出下列函數的復合過程。

　　(1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x

　　解：(1) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2復合而成的。

　　(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x復合而成的。

　　(3)∵y=sin3x=(sinx)-3

　　∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx復合而成的。

　　2、解復合函數題的關鍵之二是正確理解復合函數的定義。

　　看下例題：例2：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5) 的定義域。

　　經典誤解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3復合而成的。

　　F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5復合而成的。

　　由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11

　　∵f(u1)的定義域為[1、2]

　　∴1≤x﹤2

　　∴-9≤2x-11﹤-6

　　即：y=f(u2)的定義域為[-9、-6]

　　∴f(2x-5)的定義域為[-9、-6]

　　經典誤解2：解：∵f(x+3)的定義域為[1、2]

　　∴1≤x+3﹤2

　　∴-2≤x﹤-1

　　∴-4≤2x﹤-2

　　∴-9≤2x-5﹤-7

　　∴f(2x-5)的定義域為[-9、-7]

　　注：通過以上兩例誤解可得，解高中復合函數題會出錯主要原因是對復合函數的概念的理解模棱兩可，從定義域中找出“y”通過u的聯系成為x的函數，這個函數稱為由y=f(u),u=g(x)復合而成的復合函數，記作y=f[g(x)],其中u稱為“中間變量”。從以上誤解中找出解題者易將f(x+3)的定義域理解成(x+3)的取值范圍，從而導致錯誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變量，即u既不是自變量也不是因變量。復合函數的定義域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范圍，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3復合而成的復合函數，其定義域是x的取值范圍。

　　正確解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)復合而成的。

　　f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5復合而成的

　　∵1≤x1﹤2

　　∴4≤u1﹤5

　　∴4≤u2﹤5

　　∴4≤2x2-5﹤5

　　∴2≤x2﹤5

　　∴f(2x-5)的定義域為[2、5]

　　結論：解高中復合函數題要注意復合函數的分層，即u為第一層，x為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關系的，在解題時，一定是同層考慮，不可異層考慮，若異層考慮則會出現經典誤解1與2的情況。

　　復合函數定義域求法(2)

　　一、求高中復合函數定義域的題型

　　題型一：單對單，如：已知f(x)的定義域為[-1,4],求f(x+2)的定義域。

　　題型二：多對多，如：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5)的定義域。

　　題型三：單對多，如：已知f(x)的定義域為[0、1],求f(2x-1)的定義域。

　　題型四：多對單，如：已知f(2x-1)的定義域為[0、1],求f(x)的定義域。

　　注：通解法——綜合分析法的關鍵兩步：

　　第一步：寫出復合函數的復合過程。

　　第二步：找出復合函數定義域所真正指代的字母(最為關鍵)

　　下面用綜合分析法解四個題型

　　題型一：單對單：

　　例3：已知f(x)的定義域為[-1、4],求f(x2)的定義域。

　　第1步：寫出復合函數的復合過程：

　　f(x2)是由y=f(u),u=x22復合而成的。

　　(由于要同層考慮，且u與x的取值范圍相同，故可這樣變形)

　　f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。

　　∴f(x)的定義域為[-1、4]

　　第2步：找出復合函數定義域的真正對應

　　∴-1≤x1﹤4

　　即-1≤u﹤4

　　又∵u=x22

　　∴-1≤x22﹤4

　　(x2是所求f(x2)的定義域，此點由定義可找出)

　　∴-2﹤x2﹤2

　　∴f(x2)的定義域為(-2,2)

　　結論：此題中的自變量x1,x2通過u聯系起來，故可求解。

　　題型二：多對多：

　　如例6：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5)的定義域。

　　解析：多對多的求解是比較復雜的，但由解題型三與題型四的結論：

　　已知 f(x)的定義域,可求出y=f[g(x)]的定義域”

　　已知y=f[g(x)]的定義域,可求出f(x)的定義域

　　可以推出f(x)與y=f[g(x)]可以互求。

　　若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),

　　同理，已知y1=f(x+3)的定義域，

　　故,

　　這里f(x)成為了聯系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一個橋梁，

　　其作用與以上解題中u所充當的作用相同。

　　所以，在多對多的題型中，可先利用開始給出的復合函數的定義域先求出f(x)，再以f(x)為跳板求出所需求的復合函數的定義域，具體步驟如下：

　　第一步：寫出復合函數的復合過程:

　　f(x+3)是由y=f(u)u=x+3復合而成的。

　　f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5復合而成的。

　　∴4≤x+3≤5

　　∴4≤u≤5

　　設：函數y3=(u),u=x

　　∴y3=f(x)的定義域為[4、5]

　　第三步：通過橋梁f(x)進而求出y2=f(2x-5):

　　f(x) 是由y3=f(u),u=x復合而成的

　　∵4≤x≤5

　　∴4≤u≤5

　　∴4≤2x-5≤5

　　∴ ≤x2≤5

　　∴f(2x-5)的定義域為：[5]

　　小結：實際上，此題也可以u為橋梁求出f(2x-5), 詳參照例2的解法。

　　題型三：單對多：

　　例4：已知f(x)的定義域為[0,1],求f(2x-1)的定義域。

　　第1步：寫出復合函數的復合過程：

　　f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。

　　f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1復合而成.

　　第2步：找出復合函數定義域的真正對應：

　　∵0≤x1≤1

　　∴0≤u≤1

　　∴0≤2x2-1≤1

　　∴x2≤1

　　∴f(2x-1)的定義域為[，1]

　　結論：由此題的解答過程可以推出：已知f(x)的定義域可求出y=[g(x)]的定義域。

　　題型四：多對單：

　　如：例5：已知f(2x-1)的定義域為[0、1],求f(x)的定義域。

　　第1步：寫出復合函數的復合過程：

　　f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1復合而成的。

　　f(x)是由f(u),u=x2復合而成的。

　　第2步：找出復合函數定義域對應的真正值：

　　∵0≤x1≤1

　　∴0≤2x1≤2

　　∴-1≤2x1-1≤1

　　∴-1≤u≤1

　　∴-1≤x2≤1

　　∴f(x)的定義域為[-1、1]

　　結論：由此題的解答過程可以推出：已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域。

　　小結：通過觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關鍵在于通過u這個橋梁將x1與x2聯系起來解題。

　　二、將以上解答過程有機轉化為高中的標準解答模式。

　　如：例7：已知函數y=f(x)的定義域為[0、1]，求函數y=f(x2+1)的定義域。

　　解：∵函數f(x2+1)中的x2+1相當于f(x)中的x(即u=x2+1,與u=x)

　　∴0≤x2+1≤1

　　∴-1≤x2≤0

　　∴x=0

　　∴定義域為{0}

　　小結：本題解答的實質是以u為橋梁求解。

　　例8：已知y=f(2x-1)的定義域為[0、1],求函數y=f(x)的定義域。

　　解：由題意：0≤x≤1(即略去第二步，先找出定義域的真正對象)。

　　∴-1≤2x-1≤1(即求出u,以u為橋梁求出f(x)

　　視2x-1為一個整體(即u與u的交換)

　　則2x-1相關于f(x)中的x(即u與u的交換，

　　f(x)由y=f(u),u=x復合而成，-1≤u≤1,

　　∴-1≤x≤1)

　　∴函數f(x)的定義域為[-1、1]

　　 總結 ：綜合分析法分了3個步驟

　　寫出復合函數的復合過程。 找出復合函數定義域所指的代數。 找出解題中的橋梁(u或f(x)可為橋梁)

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復合函數定義域求法

復合函數定義域求法：對于復合函數f[g(x)]，其定義域仍為x的取值范圍，而不是g(x)的范圍。相同法則下的函數f(x)、f[g(x)]與f[h(x)]，對應的x、g(x)與h(x)的范圍相同。

復合函數定義域

若函數y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則復合函數y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}綜合考慮各部分的x的取值范圍，取他們的交集。

求函數的定義域主要應考慮以下幾點：

⑴當為整式或奇次根式時，R的值域；

⑵當為偶次根式時，被開方數不小于0（即≥0）；

⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大于0；

⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0。

⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。

⑺由實際問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求

⑻對于含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，并要注意函數的定義域為非空集合。

⑼對數函數的真數必須大于零，底數大于零且不等于1。

⑽三角函數中的切割函數要注意對角變量的限制。

復合函數常見題型

(ⅰ)已知f(x)定義域為A，求f[g(x)]的定義域：實質是已知g(x)的范圍為A，以此求出x的范圍。

(ⅱ)已知f[g(x)]定義域為B，求f(x)的定義域：實質是已知x的范圍為B，以此求出g(x)的范圍。

(ⅲ)已知f[g(x)]定義域為C，求f[h(x)]的定義域：實質是已知x的范圍為C，以此先求出g(x)的范圍（即f(x)的定義域）；然后將其作為h(x)的范圍，以此再求出x的范圍。

如何求復合函數的定義域

一、先求外層函數的定義域。
二、根據外層函數的定義域確定內層函數的值域，確定的方式是此復合函數中內層函數的值域為外層函數定義域和內層函數本身值域的交集。
三、根據內層函數的值域，確定內層函數，也就是整個復合函數的定義域。
例如函數f（x）=ln（-x²+9），可以看成是y=lnt和t=-x²+9兩個函數的復合。
所以求這個函數的定義域是
一、外層函數y=lnt的定義域是t＞0
二、內層函數t=-x²+9本身的值域是t≤9，所以這個復合函數中，內層函數的值域就是t＞0和t≤9的交集0＜t≤9
三、根據內層函數的值域，求出內層函數的定義域是-3≤x≤3，而這也就是整個復合函數的定義域。