正交試驗設計(正交試驗設計三因素三水平)

正交實驗設計的基本步驟

正交試驗設計，是指研究多因素多水平的一種試驗設計方法。根據正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，這些有代表性的點具備均勻分散，齊整可比的特點。正交試驗設計是分式析因設計的主要方法。當試驗涉及的因素在3個或3個以上，而且因素間可能有交互作用時，試驗工作量就會變得很大，甚至難以實施。針對這個困擾，正交試驗設計無疑是一種更好的選擇。正交試驗設計的主要工具是正交表，試驗者可根據試驗的因素數、因素的水平數以及是否具有交互作用等需求查找相應的正交表，再依托正交表的正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，可以實現以最少的試驗次數達到與大量全面試驗等效的結果，因此應用正交表設計試驗是一種高效、快速而經濟的多因素試驗設計方法。

正交實驗設計的基本步驟
(1)明確實驗目的，確定評價指標
(2)挑選因素，確定水平
(3)選正交表，進行表頭設計
(4)明確實驗方案，進行實驗，得到結果
(5)對實驗結果進行統計分析
(6)進行驗證實驗，作進一步分析

正交試驗設計的基本特點

先了解幾個術語:
因素,作為試驗研究過程的自變量，常常是造成試驗指標按某種規律發生變化的那些原因;
水準,試驗中因素所處的具體狀態或情況，又稱為等級 ;
[例1]為提高某打印機的打印速率，選擇了三個有關因素進行條件 試驗，溫度(X)，反應時間(Y)，耗墨量(Z)，并確定了它們的試驗范圍：
X：10-20℃
Y：5-10秒鐘
Z：5-7％
試驗目的是搞清楚因素X、Y、Z對打印速率有什么影響，哪些因素是主要的，哪些是次要的，從而確定最適合的生產條件，即溫度、時間及用耗墨量各為多少才能使打印速率高。
如何安排試驗？
1,全組合方法
取三個因素所有水準之間的組合，即x0y0z0，x0y0z1，x0y1z0， ……，x1y1z1，共有23 =8次試驗 用圖表示就是圖1 立方體的8個節點。這種試驗法稱做全面試驗法。
優缺點：
考慮了所有可能的因素。當因素的數目比較多，每個因素的水準數目也多時。試驗量會大得驚人。如選六個因素，每個因素取五個水準時，如果要做全面試驗，則需56 ＝15625次試驗，這規模就相當大，造成嚴重的資源浪費。
先了解幾個術語:
因素,作為試驗研究過程的自變量，常常是造成試驗指標按某種規律發生變化的那些原因;
水準,試驗中因素所處的具體狀態或情況，又稱為等級 ;
[例1]為提高某打印機的打印速率，選擇了三個有關因素進行條件 試驗，溫度(X)，反應時間(Y)，耗墨量(Z)，并確定了它們的試驗范圍：
X：10-20℃
Y：5-10秒鐘
Z：5-7％
試驗目的是搞清楚因素X、Y、Z對打印速率有什么影響，哪些因素是主要的，哪些是次要的，從而確定最適合的生產條件，即溫度、時間及用耗墨量各為多少才能使打印速率高。
如何安排試驗？
1,全組合方法
取三個因素所有水準之間的組合，即x0y0z0，x0y0z1，x0y1z0， ……，x1y1z1，共有23 =8次試驗 用圖表示就是圖1 立方體的8個節點。這種試驗法稱做全面試驗法。
優缺點：
考慮了所有可能的因素。當因素的數目比較多，每個因素的水準數目也多時。試驗量會大得驚人。如選六個因素，每個因素取五個水準時，如果要做全面試驗，則需56 ＝15625次試驗，這規模就相當大，造成嚴重的資源浪費。

2,簡單對比法
簡單對比法，即變化一個因素而固定其他因素，如首先固定Y、Z于y0、z0，使X變化之：
↗x0
y0z0 →x1(好結果）
如得出結果x1最好，則固定X于x1，Z還是z0，使Y變化之：
↗y0
x1z0 →y1 (好結果)
得出結果以y1為最好，則固定Y于y1，X于x1，使Z變化之：
↗z0
x1y1→z1 (好結果)
試驗結果以z1最好。于是就認為最好的組合是x1y1z1。
優缺點：
簡單對比法的最大優點就是試驗次數少，例如六因素五水準試驗，在不重復時，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次試驗就可以了。 但缺點很多。首先這種方法的選點代表性很差，如按上述方法進行試驗，試驗點完全分布在一個角上，而在其他一個很大的范圍內沒有選點。因此這種試驗方法不全面，所選的組合x2y2z2不一定是8個組合中最好的。其次，用這種方法比較條件好壞時，只是把單個的試驗數據拿來，進行數值上的簡單比較，而試驗數據中必然要包含著誤差成分，所以單個數據的簡單比較不能剔除誤差的干擾，必然造成結論的不準確。

3,正交實驗法
正交表是運用組合數學理論構造的一種規格化的表格,特點如下:
【整齊可比性】：每一列中所有數字出現的次數是相等的
【均衡分散性】：任意兩列間橫向組合的數字對搭配次數也是相等的
特征：參考【例1】【圖1】，與因素X (包含水準x0、x1)對應的有(x0yz)和(x1yz)二個平面，同樣對于Y、Z也各有二個平面，共6個平面。則在選擇試驗點時，這6個平面上的試驗點都應當一樣多，即對每個因素的每個水準我們都要同等看待。（討論）
結論：在6個平面中每個平面上都恰好有2個點而每個平面的每條直線都有一個點，而且只有一個點，總共4個點。這樣的試驗方案，試驗點的分布很均勻，試驗次數也不多。

正交試驗設計作用

選擇正交實驗設計對選擇實驗進行設計，其原因除了有一般試驗設計所具有的意義之外，正交實驗設計還具有如下較為特殊的意義：
第一，對屬性的個數NF沒有嚴格的限制，NF≥1即可；
第二，屬性之間有、無交互作用均可利用此設計；
第三，利用正交設計從多種水平組合中一下挑出具有代表性的試驗點進行試驗，不僅比全因子試驗設計大大減少了試驗次數，而且通過綜合分析，可以把好的試驗點（即使不包括在正交設計中）找出來；
第四，利用正交設計的試驗，可以滿足選擇實驗對于真實性的要求，即使除了研究的屬性之外其他屬性改變，所研究的屬性效應也能保持一貫；即使把規模條件改變，其效應也能再現。

正交實驗如何設計

正交試驗設計(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一種設計方法，它是根據正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，這些有代表性的點具備了“均勻分散，齊整可比”的特點，正交試驗設計是分式析因設計的主要方法。是一種高效率、快速、經濟的實驗設計方法。日本著名的統計學家田口玄一將正交試驗選擇的水平組合列成表格，稱為正交表。例如作一個三因素三水平的實驗，按全面實驗要求，須進行3的3次方=27 種組合的實驗，且尚未考慮每一組合的重復數。若按L9(3)3 正交表按排實驗，只需作9 次，按L18(3)7 正交表進行18 次實驗，顯然大大減少了工作量。因而正交實驗設計在很多領域的研究中已經得到廣泛應用。（汗，這里不能打出來正確的表達，反正學這個的都知道具體的寫法）
正交表是一整套規則的設計表格，L 為正交表的代號，n 為試驗的次數，t為水平數，c 為列數，也就是可能安排最多的因素個數。例如L9(34)，它表示需作9次實驗，最多可觀察4 個因素，每個因素均為3 水平。一個正交表中也可以各列的水平數不相等，我們稱它為混合型正交表，如L8(4×24) ，此表的5 列中有1 列為4 水平，4 列為2水平。根據正交表的數據結構看出，正交表是一個n 行c 列的表，其中第j 列由數碼1，2，… Sj 組成，這些數碼均各出現N/S 次，例如表11 中，第二列的數碼個數為3，S=3 ，即由1、2、3 組成，各數碼均出現N/3=9/3=3次。

正交實驗設計方法

正交實驗設計方法是研究與處理多因素實驗的一種科學方法。它最早產生于 20 世紀20 年代英國羅隆姆斯特農業實驗站 ( 侯化國等，1985) ，后來由日本田口玄一博士在 50年代編制出正交實驗表，60 年代初從日本傳入中國。它依據 Galois 理論導出的正交表，從大量實驗條件中挑選出適量、有代表性的條件來合理地安排實驗，被稱為國際標準型正交實驗法。

正交表是運用組合數學理論構造的一種規格化的表格，通常有兩種表達形式，一種是非交互性的正交表，另一種是交互性的正交表。下面只簡單介紹第一種正交表，其通用符號可以表示為:

Ln( ji)

式中: L———正交表符號;

n———正交表的行數 ( 實驗次數或實驗方案數) ;

j———正交表中的數碼 ( 因素的水平數或稱位級數) ;

i———正交表的列數 ( 實驗因素的個數) 。

舉例來說，某工廠想提高某種產品的質量或產量，對工藝中 3 個主要因素各按 3 個水平進行實驗 ( 表 5. 1) ，以尋求最適宜的操作條件。

表 5. 1 3 因素與 3 水平的選擇

那么，很容易想到的是全面搭配法方案，如圖 5. 1 所示。此方案數據點分布的均勻性極好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺點是實驗次數多達 33= 27 次 ( 指數 3 代表3 個因素，底數 3 代表每個因素有 3 個水平) 。因素、水平數愈多，則實驗次數愈多。例如，做一個 6 因素 3 水平的實驗，就需 36= 729 次實驗，顯然在人力、物力和時間上都難以做到，而且付出的經濟代價也高得多。因此，需要尋找一種合適的實驗設計方法。

圖 5. 1 全面搭配法方案

如果采用簡單比較法方案，即先固定 p1和 T1，只改變 t，觀察因素 t 不同水平的影響，做了如圖 5. 2 ( 1) 所示的 3 次實驗，發現 t = t2時的實驗效果最好 ( 好的用 □ 表示) ，所得產品的產量最高，因此認為在后面的實驗中因素 t 應取 t2水平。然后固定 p1和t2，改變 T 的 3 次實驗，如圖 5. 2 ( 2) 所示，發現 T = T3時的實驗效果最好，因此認為因素 T 應取 T3水平。最后固定 T3和 t2，改變 p 的 3 次實驗，如圖 5. 2 ( 3) 所示，發現因素p 宜取 p2水平。

圖 5. 2 簡單比較法方案

因此可以得出結論: 為提高所得產品的產量，最適宜的操作條件為 p2、T3、t2。與全面搭配法方案相比，簡單比較法方案的優點是實驗次數減少，只需做 9 次實驗。但必須指出，簡單比較法方案的實驗結果是不可靠的。因為: ①在改變 t 值 ( 或 T 值，或 p 值) 的3 次實驗中，說 t2( 或 T3或 p2) 水平最好是有條件的，在 p≠p1，T≠T1時，t2水平不是最好的可能性是存在的; ②在改變 t 的 3 次實驗中，固定p = p2，T = T3，應該說也是可以的，是隨意的，故在此方案中數據點分布的均勻性是毫無保障的; ③用這種方法比較條件好壞時，只是對單個的實驗數據進行數值上的簡單比較，不能排除必然存在的實驗數據誤差的干擾。

運用正交實驗設計方法，不僅兼有上述兩個方案的優點，而且實驗次數少，數據點分布均勻 ( 圖 5. 3) ，結果的可靠性也好。正交實驗設計方法是用正交表來安排實驗的，對于上述實例適用的正交表是 L9( 34) ，其實驗安排見表 5. 2。

圖 5. 3 正交實驗法方案

表 5. 2 L9( 34) 正交實驗安排

選擇 L9( 34) 正交表是因為在 3 水平的正交表中，常用的有 L9( 34) 和 L27( 313)等，由于3 水平正交表中不存在3 因素3 水平的正交表，即不能完全 “對號入座”。所以，只有選用 L9( 34) 才能放下 3 因素。雖然空閑一列，但該表較之其他各表實驗次數最少。我們選擇此正交表共進行 9 次試驗，它是從可能進行搭配的 34= 81 次實驗中一次挑出來的，只要條件許可，還可以同時進行實驗。

所有的正交表與 L9( 34) 正交表一樣，都具有以下兩個特點:

1) 在每一列中，各個不同數字出現的次數相等，即具有整齊可比性。在表 L9( 34)中，每一列有 3 個水平，水平 1、2、3 都是各出現 3 次。

2) 表中任意兩列間橫向組合的數字對搭配次數也是相等的，即具有均勻分散性。在表 L9( 34) 中，任意兩列間橫向組合在一起形成的數字對共有 9 個: ( 1，1) ， ( 1，2) ，( 1，3) ，( 2，1) ，( 2，2) ，( 2，3) ，( 3，1) ，( 3，2) ，( 3，3) ，每一個數字對各出現一次。

這兩個特點稱為正交性。正是由于正交表具有上述特點，保證了用正交表安排的實驗方案中因素水平是均衡搭配的，數據點的分布是均勻的。因素、水平數越多，運用正交實驗設計方法，越能顯示出它的優越性，如上述提到的 6 因素 3 水平實驗，用全面搭配方案需 729 次，若用正交表 L27( 313) 來安排，則只需做 27 次實驗。

在工農業生產中，因素之間常有交互作用。當上述的因素 p 的數值和水平發生變化時，實驗指標隨因素 T 變化的規律也發生變化; 或反過來，因素 T 的數值和水平發生變化時，實驗指標隨因素 p 變化的規律也發生變化。這種情況稱為因素 p、T 間有交互作用，記為 p × T，那么就要選取交互性正交表，這方面的內容此處不再贅述，需要時可以查閱相關參考書。

正交表設計時遵循以下步驟:

1) 明確實驗目的，確定考核指標。

2) 挑因素，選水平，確定因素水平表。

3) 選擇適宜的正交表; 原則上被選用正交表的因子數與水平數等于或大于要進行實驗考察的因子數與水平數，并且使實驗次數最少。

4) 因素水平上正交表，確定實驗方案，并按實驗方案進行實驗。

5) 實驗結果分析。

正交試驗設計的概述

日本著名的統計學家田口玄一將正交試驗選擇的水平組合列成表格，稱為正交表。例如作一個三因素三水平的實驗，按全面實驗要求，須進行3^3 = 27種組合的實驗，且尚未考慮每一組合的重復數。若按L9(3)正交表安排實驗，只需作9次，按L18(3)正交表進行18次實驗，顯然大大的減少了工作量。因而正交實驗設計在很多領域的研究中已經得到廣泛應用。
正交表是一整套規則的設計表格，用 L為正交表的代號，n為試驗的次數，t為水平數，c為列數，也就是可能安排最多的因素個數。例如L9(3^4)它表示需作9次實驗，最多可觀察4個因素，每個因素均為3水平。一個正交表中也可以各列的水平數不相等，我們稱它為混合型正交表，如L8（41×24），此表的5列中，有1列是為4水平，4列為2水平。