二階微分方程(二階微分方程的通解)

二階微分方程解法總結是什么？

二階微分方程解法總結：可以通過適當的變量代換，把二階微分方程化成一階微分方程來求解。具有這種性質的微分方程稱為可降階的微分方程，相應的求解方法稱為降階法。

多項式法：

設常系數線性微分方程y''+py'+qy =pm，(x)e^(λx)，其中p，q，λ是常數，pm(x)是x的m次多項式，令y=ze^(λz) ，則方程可化為：F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，這里F(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特征多項式。

升階法：

設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，當f(x)為多項式時，設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此時，方程兩邊同時對x求導n次，得：

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此時，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)與y^n通過倒數第二個方程可得y^(n-1)，依次升階，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一個特解y(x)。

對于一元函數來說，如果在該方程中出現(xiàn)因變量的二階導數，我們就稱為二階（常）微分方程，其一般形式為F(x，y，y'，y'')=0。在有些情況下，可以通過適當的變量代換，把二階微分方程化成一階微分方程來求解。

二階微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數，即y''+py'+qy=0時，稱為二階微分方程。

若函數y1和y2之比為常數，稱y1和y2是線性相關的；若函數y1和y2之比不為常數，稱y1和y2是線性無關的。特征方程為：λ^2+pλ+q=0，然后根據特征方程根的情況對方程求解。

二階微分方程解法總結有哪些？

二階微分方程解法總結：可以通過適當的變量代換，把二階微分方程化成一階微分方程來求解。具有這種性質的微分方程稱為可降階的微分方程，相應的求解方法稱為降階法。

微分方程解法總結：

一、g(y)dy=f(x)dx形式，可分離變量的微分方程，直接分離然后積分。

二、可化為dy/dx=f(y/x)的齊次方程，換元分離變量。

三、一階線性微分方程，dy/dx+P(x)y=Q(x)先求其對應的一階齊次方程，然后用常數變易法帶換u(x)；得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}。

約束條件：

常微分方程常見的約束條件是函數在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。

若是二階的常微分方程，也可能會指定函數在二個特定點的值，此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數值，稱為狄利克雷邊界條件（第一類邊值條件），此外也有指定二個特定點上導數的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件（第二類邊值條件）等。

二階常微分方程

1、二階常系數線性微分方程 標準形式：y″+py′+qy=f(x)

當f(x)=0，即y″+py′+qy=0為二階常系數齊次線性微分方程

當f(x)≠0，即y″+py′+qy=f(x)為二階常系數非齊次線性微分方程

2、特征方程：一元二次方程r2+pr+q=0

微分方程：y″+py′+qy=0

特征方程：r2+pr+q=0特征根：r1,2=−b±b2−4ac2a

3、二階常系數齊次線性微分方程求解方法y″+py′+qy=0

求解步驟：

（1）寫出特征方程r2+pr+q=0

（2）求出特征根r1,r2

（3）代入通解公式，寫出通解

二階微分方程的通解公式

二階微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是實常數。

自由項f(x)為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常系數齊次線性微分方程。若函數y1和y2之比為常數，稱y1和y2是線性相關的。若函數y1和y2之比不為常數，稱y1和y2是線性無關的。特征方程為：λ^2+pλ+q=0，然后根據特征方程根的情況對方程求解。

舉例

求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。

第一步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1。因此齊次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。

又λ=3是特征方程的一個根，因此設非齊次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化簡得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4。原微分方程的通解為：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)。

二階線性微分方程是什么？

二階線性微分方程是指未知函數及其一階、二階導數都是一次方的二階方程，簡稱為二階線性方程。二階線性微分方程的求解方式分為兩類，一是二階線性齊次微分方程，二是線性非齊次方程。

前者主要采用特征方程求解，也比較簡單，記憶三個公式即可。后者在對應的齊次方程的通解上加上特解即為非齊次方程的通解，這里也就是非齊次方程的特解不好求。齊次和非齊次的微分方程的通解都包含一切的解。

微分方程數學描述：

許多物理或是化學的基本定律都可以寫成微分方程的形式。在生物學及經濟學中，微分方程用來作為復雜系統(tǒng)的數學模型。微分方程的數學理論最早是和方程對應的科學領域一起出現(xiàn)，而微分方程的解就可以用在該領域中。不過有時二個截然不同的科學領域會形成相同的微分方程，此時微分方程對應的數學理論可以看到不同現(xiàn)象后面一致的原則。

二階微分方程的3種通解公式

二階微分方程的3種通解公式如下：

第一種：兩個不相等的實根：y=C1e^（r1x）＋C2e^（r2x）。

第二種：兩根相等的實根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。

第三種：一對共軛復根：r1=α＋iβ，r2=α－iβ：y=e^（αx）＊（C1cosβx+C2sinβx）。

舉例說明

求微分方程2y''+y'-y=0的通解。

先求對應的齊次方程2y''+y'-y=0的通解，特征方程為2r²+r-1=0，(2r-1)(r+1)=0，r=1/2或r=-1，故通解為Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。

因為1不是特征根，所以設原方程的特解為y*=Ae^x，則y*'=y*''=Ae^x，代入原方程得，2Ae^x=2e^x，A=1，故y*=e^x。

所以原方程的通解為y=Y+y*，即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x。