分離變量法(分離變量法怎樣分離)

分離變量法是什么

分離變量法
　　分離變量法是將一個偏微分方程分解為兩個或多個只含一個變量的常微分方程
主要思想
　　將方程中含有各個變.量的項分離開來,從而將原方程拆分成多個更簡單的只含一個自變量的常微分方程.運用線性疊加原理,將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程.利用高數(shù)知識、級數(shù)求解知識,以及其他巧妙的方法,求出各個方程的通解.最后將這些通解“組裝起來”.

分離變量法

分離變量法的基本思想是把水頭的時空分布函數(shù)分解為若干一元函數(shù)的乘積，這些一元函數(shù)以空間坐標(biāo)和時間坐標(biāo)為自變量。這樣組合的時空分布函數(shù)代入到控制方程時，將得到若干個常微分方程。這些常微分方程之間通過特征值聯(lián)系起來。含有空間項的常微分方程與邊界條件一起構(gòu)成特征值問題，其解為特征函數(shù)。含有時間項的常微分方程類似于衰變方程，可以得到一個通解，不妨稱為衰變函數(shù)。不同特征值對應(yīng)的特征函數(shù)與衰變函數(shù)的線性組合，就構(gòu)成原問題的解，組合系數(shù)由初始條件和特征函數(shù)的正交性確定。由于特征值是無窮數(shù)列，這種解具有無窮級數(shù)的性質(zhì)。如果定解問題的邊界均為齊次邊界或只有一個非齊次邊界，使用分離變量法將十分方便。非齊次邊界問題也可以分解為若干個齊次邊界問題進(jìn)行求解。

下面用一個簡單的一維承壓水非穩(wěn)定流問題（圖3.1）來說明分離變量法的基本思路。設(shè)流場定義域為0≤x≤L，兩側(cè)邊界均為定水頭邊界。其非穩(wěn)定流描述為以下定解問題

圖3.1 承壓含水層非穩(wěn)定流示意圖

地下水運動方程

地下水運動方程

式中：H0（x）為初始水頭分布；a＝K/Ss，即滲透系數(shù)與貯水率的比值。

首先對水頭函數(shù)進(jìn)行變量分離，寫成

地下水運動方程

式中：X（x）和T（t）分別為空間和時間的一元函數(shù)。把式（3.5）代入到式（3.1）得到

地下水運動方程

等式兩邊的自變量分別是空間和時間，其成立的條件必然是等號兩邊等于同一個常數(shù)，令這個常數(shù)為－β2，則有

地下水運動方程

而邊界條件改變?yōu)?/p>

地下水運動方程

式（3.7）為齊次線性常微分方程，根據(jù)附錄2，其特征方程為

地下水運動方程

具有特征根

地下水運動方程

因此方程（3.7）的基本解為

地下水運動方程

式中：c1和c2是待定常數(shù)。由于β的取值可以發(fā)生變化，根據(jù)邊界條件，該基本解在［0，L］內(nèi)為非零解的條件是

地下水運動方程

取

地下水運動方程

根據(jù)邊界條件（3.9）有c2＝0。因而，一系列對應(yīng)βn的特解為

地下水運動方程

這樣得到的Xn（x）為上述邊值問題的特征函數(shù)，而βn為特征值，式（3.13）就是特征值所滿足的方程。式（3.8）為衰變方程，容易得到其特解為

地下水運動方程

這個與βn有關(guān)的衰變函數(shù)與特征函數(shù)組合為原定解問題的一個特解

地下水運動方程

而原問題的通解是上述特解的線性組合，即

地下水運動方程

其中的未知系數(shù)cn可以根據(jù)初始條件確定，同時，cn還必須滿足特征函數(shù)的正交性。

根據(jù)Sturm－Liouville問題的正交性，對于任意兩個不相等的特征值βm和βn，應(yīng)有

地下水運動方程

而對于相等的兩個特征值，有

地下水運動方程

其中N（βn）為特征函數(shù)的范數(shù)。利用式（3.15）有

地下水運動方程

在確定cn的數(shù)值時，首先根據(jù)初始條件有

地下水運動方程

等式兩邊取積分

地下水運動方程

其中m可以是n＝1，2，…中的任意值，因此也可以根據(jù)式（3.23）把cn表示為

地下水運動方程

根據(jù)前述得到的特征函數(shù)和范數(shù)，有

地下水運動方程

這說明cn恰好等于初始水頭分布函數(shù)H（x）的Fourier系數(shù)。

分離變量法的基本步驟

通過將兩個變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自相同,解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法。兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知。

1、寫出原有形式的等式或不等式。

2、將兩個變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端。

3、兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知。

4、通過上述變形解決實際問題。

分離變量法是將一個偏微分方程分解為兩個或多個只含一個變量的常微分方程。將方程中含有各個變量的項分離開來，從而將原方程拆分成多個更簡單的只含一個自變量的常微分方程。運用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程。

誰能詳細(xì)的告訴我什么叫“分離變量法”？

分離變量法是求解數(shù)學(xué)物理方程常用的一種方法.在微積分學(xué)中,計算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),重積分時,我們從一元函數(shù)中響應(yīng)問題的解法出發(fā),啟發(fā)和幫助我們解決多元函數(shù)的問題.與此類似,求解偏微分方程的定解問題,也要設(shè)法利用常微分方程已有的結(jié)論.
分離變量法的基本思想是,把數(shù)學(xué)物理方程中未知的多員函數(shù)分解成若干個一元函數(shù)的乘積,從而把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為解若干個常微分方程的問題.

分離變量法求解

式1分離變量得到
x²dx=dy/y²
于是積分得到-1/y=1/3 x³+1/3C
即y=-3/(x³+C)，c為常數(shù)
式子2分離變量得到
dx/√(1-x²)=dy/y
積分得到arcsinx=lny -lnc
于是y=c *e^arcsinx，c為常數(shù)