二重積分(二重積分的幾何意義)

二重積分是什么？

二重積分是二元函數(shù)在空間上的積分，同定積分類(lèi)似，是某種特定形式的和的極限。

二重積分的本質(zhì)是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來(lái)計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區(qū)域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進(jìn)行積分，稱(chēng)為曲面積分。

幾何意義：在空間直角坐標(biāo)系中，二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負(fù)。某些特殊的被積函數(shù)f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來(lái)計(jì)算。

什么是二重積分？

將一元函數(shù)積分推廣來(lái)看對(duì)于連續(xù)函數(shù) f(x,y) 如何求二重積分. 每個(gè)二重積分都可以方便地用定積分的方法分步進(jìn)行計(jì)算。

矩形區(qū)域上的二重積分

設(shè) f(x,y) 在矩形區(qū)域 R: a<=x<=b, c<=y<=d 上有定義。 如果 R 被分別平行于 x 軸和 y 軸的直線(xiàn)網(wǎng)格所劃分成許多小塊面積 ∆ A="∆ x∆ y" 。

擴(kuò)展資料

對(duì)直角坐標(biāo)來(lái)說(shuō)，主要考點(diǎn)有兩個(gè)：

一是積分次序的選擇，基本原則有兩個(gè)：一是看區(qū)域，選擇的積分次序一定要便于定限，說(shuō)得更具體一點(diǎn)，也就是要盡量避免分類(lèi)討論;

二是看函數(shù)，要盡量使第一步的積分簡(jiǎn)單，選擇積分次序的最終目的肯定是希望是積分盡可能地好算一些，實(shí)踐表明，大多數(shù)時(shí)候，只要讓二重積分第一步的積分盡可能簡(jiǎn)單，那整個(gè)積分過(guò)程也會(huì)比較簡(jiǎn)潔；

所以在拿到一個(gè)二重積分之后，可以根據(jù)它的被積函數(shù)考慮一下第一步把哪個(gè)變量看成常數(shù)更有利于計(jì)算，從而確定積分次序。

二是定限，完成定限之后，二重積分就被化為了兩次定積分，就可以直接計(jì)算了。

什么是二重積分？

如圖所示：

圖二：

當(dāng)f(x,y)在區(qū)域D上可積時(shí)，其積分值與分割方法無(wú)關(guān)，可選用平行于坐標(biāo)軸的兩組直線(xiàn)來(lái)分割D，這時(shí)每個(gè)小區(qū)域的面積Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐標(biāo)系下，面積元素dσ=dxdy，從而二重積分可以表示為：

由此可以看出二重積分的值是被積函數(shù)和積分區(qū)域共同確定的。將上述二重積分化成兩次定積分的計(jì)算，稱(chēng)之為：化二重積分為二次積分或累次積分。

擴(kuò)展資料：

一個(gè)凸對(duì)象的幾何中心總在其內(nèi)部。一個(gè)非凸對(duì)象的幾何中心可能在外部，比如一個(gè)環(huán)或碗的幾何中心不在內(nèi)部。

三角形的重心與三頂點(diǎn)連線(xiàn)，所形成的六個(gè)三角形面積相等。

頂點(diǎn)到重心的距離是中線(xiàn)的三分之二。

重心、外心、垂心、九點(diǎn)圓圓心四點(diǎn)共線(xiàn)。

重心、內(nèi)心、奈格爾點(diǎn)、類(lèi)似重心四點(diǎn)共線(xiàn)。

三角形的重心同時(shí)也是中點(diǎn)三角形的重心。

在直角座標(biāo)系中，若頂點(diǎn)的座標(biāo)分別為：

則中點(diǎn)的座標(biāo)為：：

三線(xiàn)坐標(biāo)中、重心的座標(biāo)為：

參考資料來(lái)源：百度百科-形心

二重積分是什么

二重積分是二元函數(shù)在空間上的積分，同定積分類(lèi)似，是某種特定形式的和的極限。本質(zhì)是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來(lái)計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區(qū)域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進(jìn)行積分，稱(chēng)為曲面積分。

當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積。

當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體體積負(fù)值。

擴(kuò)展資料

積分發(fā)展的動(dòng)力源自實(shí)際應(yīng)用中的需求。實(shí)際操作中，有時(shí)候可以用粗略的方式進(jìn)行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時(shí)候需要知道精確的數(shù)值。要求簡(jiǎn)單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。

比如一個(gè)長(zhǎng)方體狀的游泳池的容積可以用長(zhǎng)×寬×高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來(lái)求出容積。物理學(xué)中，常常需要知道一個(gè)物理量（比如位移）對(duì)另一個(gè)物理量（比如力）的累積效果，這時(shí)也需要用到積分。

參考資料來(lái)源：百度百科-二重積分

什么是二重積分?

被積函數(shù)是x的奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)在積分區(qū)間上正負(fù)各半，該部分的積分就是0。當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積。當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體體積負(fù)值。

同時(shí)二重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來(lái)計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力等等。

擴(kuò)展資料：

二重積分的性質(zhì)：

1、積分可加性：函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即

2、積分滿(mǎn)足數(shù)乘：被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即

3、比較性：如果在區(qū)域D上有f(x,y)≦g(x,y)，則

二重積分的計(jì)算方法

二重積分的計(jì)算方法如下：

二重積分的計(jì)算方法：

把二重積分化成二次積分，也就是把其中一個(gè)變量當(dāng)成常量比如Y，然后只對(duì)一個(gè)變量積分，得到一個(gè)只含Y的被積函數(shù)，再對(duì)Y積分就行了。

計(jì)算二重積分的基本思路是簡(jiǎn)化積分計(jì)算思想，即把二重積分盡可能的轉(zhuǎn)化為累次積分。

在空間直角坐標(biāo)系中，二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負(fù)。某些特殊的被積函數(shù)f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來(lái)計(jì)算。

二重積分和定積分一樣不是函數(shù)，而是一個(gè)數(shù)值。因此若一個(gè)連續(xù)函數(shù)f（x，y）內(nèi)含有二重積分，對(duì)它進(jìn)行二次積分，這個(gè)二重積分的具體數(shù)值便可以求解出來(lái)。

二重積分的現(xiàn)實(shí)（物理）含義：面積×物理量＝二重積分值；

舉例說(shuō)明：二重積分的現(xiàn)實(shí)（物理）含義：

二重積分計(jì)算平面面積，即：面積×1＝平面面積；二重積分計(jì)算立體體積，即：底面積×高＝立體體積；二重積分計(jì)算平面薄皮質(zhì)量，即：面積×面密度＝平面薄皮質(zhì)量。