導數的定義(導數的定義的幾種形式)

導數的定義是什么？

導數是當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

導數是函數的局部性質。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

擴展資料：

導數的求導法則：

1、求導的線性：對函數的線性組合求導，等于先對其中每個部分求導后再取線性組合。

2、兩個函數的乘積的導函數：一導乘二+一乘二導。

3、兩個函數的商的導函數也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方。

4、如果有復合函數，則用鏈式法則求導。

參考資料來源：百度百科-導數

什么是導數的定義

導數實質上就是一個求極限的過程
當自變量的增量趨于零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限.可導的函數一定連續.不連續的函數一定不可導.
導數的幾何意義是斜率
1）求函數y=f(x)在x0處導數的步驟：
①
求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
②
求平均變化率
③
取極限,得導數.
2）如果你已學導數公式
①
C'=0(C為常數函數)；
②
(x^u)'=
ux^(u-1)
(n∈Q)；
③
(sinx)'
=
cosx
（cosx)'
=
-sinx；
④
(a^x)'
=
a^xlna
（ln為自然對數）
記住(e^x)'
=
e^x；⑤
(logax)'
=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)
(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)
記住
(Inx)'
=
1/x（ln為自然對數）
（3）導數的四則運算法則（和、差、積、商）：①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/
v^2
（4）復合函數的導數
y(x)'=y'*x

導數的定義是什么？

當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導

擴展資料：

函數y=f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示函數曲線在點P0（x0,f（x0））處的切線的斜率（導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率）。

函數的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函數的導函數在某個區間上單調遞增，那么這個區間上函數是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導函數存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上恒大于零，則這個區間上函數是向下凹的，反之這個區間上函數是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。

導數的基本定義?

導數定義為：當自變量的增量趨于零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個函數存在導數時,稱這個函數可導或者可微分.可導的函數一定連續.不連續的函數一定不可導.

導數另一個定義：當x=x0時,f‘(x0)是一個確定的數.這樣,當x變化時,f'(x)便是x的一個函數,我們稱他為f(x)的導函數（derivative function）（簡稱導數）.

y=f(x)的導數有時也記作y',即 f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
http://baike.baidu.com/view/30958.htm

導數的概念及其意義是什么？

一、導數的概念

導數（Derivative），也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

二、導數的意義

導數與物理、幾何、代數關系密切：在幾何中可求切線；在代數中可求瞬時變化率；在物理中可求速度、加速度。

物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如：導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度（就直線運動而言，位移關于時間的一階導數是瞬時速度，二階導數是加速度），可以表示曲線在一點的斜率，還可以表示經濟學中的邊際和彈性。

以上說的經典導數定義可以認為是反映局部歐氏空間的函數變化。為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導數的概念被推廣為所謂的“聯絡”。有了聯絡，人們就可以研究大范圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。

導數的性質之單調性：

（1）若導數大于零，則單調遞增；若導數小于零，則單調遞減；導數等于零為函數駐點，不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。

（2）若已知函數為遞增函數，則導數大于等于零；若已知函數為遞減函數，則導數小于等于零。

導數的定義

1、導數是變化率、是切線的斜率、是速度、是加速度

2、導數是用來找到“線性近似”的數學工具

3、導數是線性變換

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。

擴展資料

（1）在解決函數的問題時，必須在函數的定義域內通過討論導數的符號，來判斷函數的單調區間．

（2）函數的最大值、最小值是通過比較整個定義區間的函數值得出來的，函數的極值是通過比較極值點附近的函數值得出來的。

函數的極值可以有多個，但最值只有一個，極值只能在區間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．

（3）注意原函數極值點和導函數零點的區別，原函數的極值點是導函數的零點，反之不成立.

參考資料來源：百度百科-導數