矩陣行列式(矩陣行列式等于0意味著什么)

矩陣行列式怎么算？

一個(gè)n×n的方陣A的行列式記為det(A)或者|A|，一個(gè)2×2矩陣的行列式可表示如下：

把一個(gè)n階行列式中的元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的n-1階行列式叫做元素aij的余子式,記作Mij。記Aij=(-1)i+jMij，叫做元素aij的代數(shù)余子式。例如：

一個(gè)n×n矩陣的行列式等于其任意行(或列)的元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即：

擴(kuò)展資料：

一、定理1：

設(shè)A為一n×n三角形矩陣。則A的行列式等于A的對(duì)角元素的乘積。

根據(jù)定理1，只需證明結(jié)論對(duì)下三角形矩陣成立。利用余子式展開(kāi)和對(duì)n的歸納法，容易證明這個(gè)結(jié)論。

二、定理2：

令A(yù)為n×n矩陣。

1、若A有一行或一列包含的元素全為零，則det(A)=0。

2、若A有兩行或兩列相等，則det(A)=0。

這些結(jié)論容易利用余子式展開(kāi)加以證明。

矩陣與行列式的區(qū)別

區(qū)別：

1、矩陣是一個(gè)數(shù)表；行列式是一個(gè)n階的方陣。

2、矩陣不能從整體上被看成一個(gè)數(shù)；行列式最終可以算出來(lái)變成一個(gè)數(shù)。

3、矩陣的行數(shù)和列數(shù)可以不同；行列式行數(shù)和列數(shù)必須相同。

行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說(shuō)，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。

矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫(huà)制作也需要用到矩陣。

擴(kuò)展資料：

行列式性質(zhì)：

1、行列式A中某行(或列)用同一數(shù)k乘,其結(jié)果等于kA。

2、行列式A等于其轉(zhuǎn)置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

3、若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的第i行(或列),一個(gè)是b1,b2,…,bn；另一個(gè)是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

4、行列式A中兩行（或列）互換,其結(jié)果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數(shù)后加到另一行（或列）中各對(duì)應(yīng)元上，結(jié)果仍然是A。

參考資料：

百度百科-矩陣

百度百科-行列式

矩陣的行列式怎么算

利用行列式的性質(zhì)，
1.行列式的某一行（列）元素，加上另一行（列）的元素的k倍，行列式的值不變。

于是可以第一行加上第二行的1倍。

2.方陣有兩行成比例，則行列式為0。

第一行和最后一行是相等的（成比例，1：1），所以行列式的值為0。

矩陣的行列式是如何定義的？

負(fù)單位矩陣的行列式值1。

矩陣行列式是指矩陣的全部元素構(gòu)成的行列式，設(shè)A=(aij)是數(shù)域P上的一個(gè)n階矩陣，則所有A=(aij)中的元素組成的行列式稱為矩陣A的行列式，記為|A|或det(A)。若A，B是數(shù)域P上的兩個(gè)n階矩陣，k是P中的任一個(gè)數(shù)，則|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴隨矩陣；若A是可逆矩陣，則|A-1|=|A|-1。

性質(zhì)

①行列式A中某行(或列)用同一數(shù)k乘,其結(jié)果等于kA。

②行列式A等于其轉(zhuǎn)置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的第i行(或列),一個(gè)是b1,b2,…,bn；另一個(gè)是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

矩陣的行列式怎么求

對(duì)于數(shù)值型行列式來(lái)說(shuō)，我們先看低階行列式的計(jì)算，對(duì)于二階或者三階行列式其是有自己的計(jì)算公式的，我們可以直接計(jì)算。三階以上的行列式，一般可以運(yùn)用行列式按行或者按列展開(kāi)定理展開(kāi)為低階行列式再進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于較復(fù)雜的三階行列式也可以考慮先進(jìn)行展開(kāi)。

在運(yùn)用展開(kāi)定理時(shí)，一般需要先利用行列式的性質(zhì)將行列式化為某行或者某列只有一個(gè)非零元的形式，再進(jìn)行展開(kāi)。特殊低階行列式可以直接利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行求解。

對(duì)于高階行列式的計(jì)算，我們的基本思路有兩個(gè)：一是利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行三角化，也就是將行列式化為上三角或者下三角行列式來(lái)計(jì)算;二是運(yùn)用按行或者按列直接展開(kāi)，其中運(yùn)用展開(kāi)定理的行列式一般要求有某行或者某列僅有一個(gè)或者兩個(gè)非零元，如果展開(kāi)之后仍然沒(méi)有降低計(jì)算難度，則可以觀察是否能得到遞推公式，再進(jìn)行計(jì)算。

什么是矩陣，什么是行列式

矩陣（Matrix）是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來(lái)自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出。
行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。行列式的特性可以被概括為一個(gè)多次交替線性形式，這個(gè)本質(zhì)使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函數(shù)。
行列式是若干數(shù)字組成的一個(gè)類似于矩陣的方陣,與矩陣不同的是,矩陣的表示是用中括號(hào),而行列式則用線段.
矩陣由數(shù)組成,或更一般的,由某元素組成.
行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的積的代數(shù)和,即是一個(gè)實(shí)數(shù)
求每一個(gè)積時(shí)依次從每一行取一個(gè)元因子,而這每一個(gè)元因子又需取自不同的列,作為乘數(shù),積的符號(hào)是正是負(fù)決定于要使各個(gè)乘數(shù)的列的指標(biāo)順序恢復(fù)到自然順序所需的換位次數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù).
也可以這樣解釋：行列式是矩陣的所有不同行且不同列的元素之積的代數(shù)和,和式中每一項(xiàng)的符號(hào)由積的各元素的行指標(biāo)與列指標(biāo)的逆序數(shù)之和決定：若逆序數(shù)之和為偶數(shù),則該項(xiàng)為正；若逆序數(shù)之和為奇數(shù),則該項(xiàng)為負(fù).