拉普拉斯變換定義(單邊拉普拉斯變換定義)

我們知道數學中的三大變換：傅里葉變換，拉普拉斯變換，Z變換貫穿于整個信號處理與復變函數，拉普拉斯變換將傅里葉變換在頻域不能解決的問題推廣到復頻域，所以其應用也更為廣泛。拉普拉斯變換是如何得到的呢？

首先來看冪級數和形式：

冪級數是數學分析中很重要，其簡單的格式曾導出了重要的泰勒公式。那是否能導出抽象的拉普拉斯變換呢？

我們看兩個例子

這些簡單的冪級數都是不連續的，如果將其變為連續的形式將如何處理呢？

所以我們用積分的形式將離散的冪級數變為連續形式。

x取值：

所以0<x<1時，使得積分有發散狀態變為收斂狀態。

如何定義0<x<1這種狀態，讓公式更加有意義呢

思來想去只有e的對數函數才能滿足：

經過變化得到：

所以就得到了拉普拉斯變換公式：

所以將離散式的冪級數變成連續式的黎曼和積分形式，就得到了拉普拉斯變換。

如何理解這個公式在信號中的應用呢？

你某天夜里乘火車去另外一個城市，外面很黑，你看不到周圍，無所事事的你看到車廂內有一個高度計，于是你開始記錄沿途的海拔變化。

這地形很有意思，大部分時間車都往上爬，有時候又不是很規律，有同樣的陡峭的下坡，再然后是個較淺的山谷。你和鄰座的人攀談起來。鄰座的人說:“咱們的目的地位于一個大型的山脈的山腳，所以總體來講車的海拔在升高，但是沿途我們翻過了一座山丘，跨過了一道山谷。”

由于你直接測量了海拔的高度，得出了高度與途徑距離的關系，但你鄰座的信息更加簡單直觀。你對這一信號的描述是幾千個獨立的測量點，而你鄰座的描述值含有幾個參數。它反映了區域內的地形變化，這個區域就是S平面

拉普拉斯變換在設計上是為了分析一類特殊的信號：有正弦函數和指數函數構成的沖擊響應。如果對其他波形做拉普拉斯變換得到的S域就沒有實際意義。

如圖矩形脈沖的傅里葉變換和拉普拉斯變換明顯直觀，線條優美，但對解釋拉普拉斯在S域（頻域）上的特征沒有實際意義。只是單純作為一種變換而存在。