負數(shù)的二進制

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我們在 JavaScript 里執(zhí)行 0.1 + 0.2，會得到下面這個結(jié)果：

那今天，我們來思考幾個問題：

為什么負數(shù)要用補碼表示？十進制小數(shù)怎么轉(zhuǎn)成二進制？計算機是怎么存小數(shù)的？0.1 + 0.2 == 0.3 嗎？…

別看這些問題都看似簡單，但是其實還是有點東西的這些問題。

為什么負數(shù)要用補碼表示？

十進制轉(zhuǎn)換二進制的方法相信大家都熟能生巧了，如果你說你還不知道，我覺得你還是太謙虛，可能你只是忘記了，即使你真的忘記了，不怕，貼心的小林在和你一起回憶一下。

十進制數(shù)轉(zhuǎn)二進制采用的是除 2 取余法，比如數(shù)字 8 轉(zhuǎn)二進制的過程如下圖：

接著，我們看看「整數(shù)類型」的數(shù)字在計算機的存儲方式，這其實很簡單，也很直觀，就是將十進制的數(shù)字轉(zhuǎn)換成二進制即可。

我們以 int 類型的數(shù)字作為例子，int 類型是 32 位的，其中最高位是作為「符號標志位」，正數(shù)的符號位是 0，負數(shù)的符號位是 1，剩余的 31 位則表示二進制數(shù)據(jù)。

那么，對于 int 類型的數(shù)字 1 的二進制數(shù)表示如下：

而負數(shù)就比較特殊了點，負數(shù)在計算機中是以「補碼」表示的，所謂的補碼就是把正數(shù)的二進制全部取反再加 1，比如 -1 的二進制是把數(shù)字 1 的二進制取反后再加 1，如下圖：

不知道你有沒有想過，為什么計算機要用補碼的方式來表示負數(shù)？在回答這個問題前，我們假設不用補碼的方式來表示負數(shù)，而只是把最高位的符號標志位變?yōu)?1 表示負數(shù)，如下圖過程：

如果采用這種方式來表示負數(shù)的二進制的話，試想一下 -2 + 1 的運算過程，如下圖：

按道理，-2 + 1 = -1，但是上面的運算過程中得到結(jié)果卻是 -3，所可以發(fā)現(xiàn)，這種負數(shù)的表示方式是不能用常規(guī)的加法來計算了，就需要特殊處理，要先判斷數(shù)字是否為負數(shù)，如果是負數(shù)就要把加法操作變成減法操作才可以得到正確對結(jié)果。

到這里，我們就可以回答前面提到的「負數(shù)為什么要用補碼方式來表示」的問題了。

如果負數(shù)不是使用補碼的方式表示，則在做基本對加減法運算的時候，還需要多一步操作來判斷是否為負數(shù)，如果為負數(shù)，還得把加法反轉(zhuǎn)成減法，或者把減法反轉(zhuǎn)成加法，這就非常不好了，畢竟加減法運算在計算機里是很常使用的，所以為了性能考慮，應該要盡量簡化這個運算過程。

而用了補碼的表示方式，對于負數(shù)的加減法操作，實際上是和正數(shù)加減法操作一樣的。你可以看到下圖，用補碼表示的負數(shù)在運算 -2 + 1 過程的時候，其結(jié)果是正確的：

十進制小數(shù)與二進制的轉(zhuǎn)換

好了，整數(shù)十進制轉(zhuǎn)二進制我們知道了，接下來看看小數(shù)是怎么轉(zhuǎn)二進制的，小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換不同于整數(shù)部分，它采用的是乘 2 取整法，將十進制中的小數(shù)部分乘以 2 作為二進制的一位，然后繼續(xù)取小數(shù)部分乘以 2 作為下一位，直到不存在小數(shù)為止。

話不多說，我們就以 8.625 轉(zhuǎn)二進制作為例子，直接上圖：

最后把「整數(shù)部分 + 小數(shù)部分」結(jié)合在一起后，其結(jié)果就是 1000.101。

但是，并不是所有小數(shù)都可以用二進制表示，前面提到的 0.625 小數(shù)是一個特例，剛好通過乘 2 取整法的方式完整的轉(zhuǎn)換成二進制，如果我們用相同的方式，來把 0.1 轉(zhuǎn)換成二進制，過程如下：

可以發(fā)現(xiàn)，0.1 的二進制表示是無限循環(huán)的，由于計算機的資源是有限的，所以是沒辦法用二進制精確的表示 0.1，只能用「近似值」來表示，就是在有限的精度情況下，最大化接近 0.1 的二進制數(shù)，于是就會造成精度缺失的情況。

對于二進制小數(shù)轉(zhuǎn)十進制時，需要注意一點，小數(shù)點后面的指數(shù)冪是負數(shù)，比如二進制 0.1 轉(zhuǎn)成十進制就是 2^(-1)，也就是十進制 0.5，二進制 0.01 轉(zhuǎn)成十進制就是 2^-2，也就是十進制 0.25，以此類推。

舉個例子，二進制 1010.101 轉(zhuǎn)十進制的過程，如下圖：

計算機是怎么存小數(shù)的？

1000.101 這種二進制小數(shù)是「定點數(shù)」形式，代表著小數(shù)點是定死的，不能移動，如果你移動了它的小數(shù)點，這個數(shù)就變了， 就不再是它原來的值了。

然而，計算機并不是這樣存儲的小數(shù)的，計算機存儲小數(shù)的采用的是浮點數(shù)，名字里的「浮點」表示小數(shù)點是可以浮動的，比如 1000.101 這個二進制數(shù)，可以表示成 1.000101 x 2^(-3)，類似于數(shù)學上的科學記數(shù)法。

既然提到了科學計數(shù)法，我再幫大家復習一下，比如有個很大的十進制數(shù) 1230000，我們可以也可以表示成 1.23 x 10^6，這種方式就稱為科學記數(shù)法，該方法在小數(shù)點左邊只有一個數(shù)字，而且把這種整數(shù)部分沒有前導 0 的數(shù)字稱為規(guī)格化，比如 1.0 x 10^(-9) 是規(guī)格化的科學記數(shù)法，而 0.1 x 10^(-9) 和 10.0 x 10^(-9) 就不是了。

因此，如果二進制要用到科學記數(shù)法，同時要規(guī)范化，那么不僅要保證基數(shù)為 2，還要保證小數(shù)點左側(cè)只有 1 位，而且必須為 1，所以通常將 1000.101 這種二進制數(shù)，表示成 1.000101 x 2^(-3)，其中，最為關(guān)鍵的是 000101 和 -3 這兩個東西，它就可以包含了這個二進制小數(shù)的所有信息，000101 稱為尾數(shù)，即小數(shù)點后面的數(shù)字，-3 稱為指數(shù)，指定了小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置。

現(xiàn)在絕大多數(shù)計算機使用的浮點數(shù)，一般采用的是 IEEE 制定的國際標準，這種標準形式如下圖：

這三個重要部分的意義如下：

符號位：表示數(shù)字是正數(shù)還是負數(shù)，為 0 表示正數(shù)，為 1 表示負數(shù)；指數(shù)位：指定了小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，指數(shù)可以是負數(shù)，也可以是正數(shù)，指數(shù)位的長度越長則數(shù)值的表達范圍就越大；尾數(shù)位：小數(shù)點右側(cè)的數(shù)字，也就是小數(shù)部分，比如二進制 1.0011 x 2^(-2)，尾數(shù)部分就是 0011，而且尾數(shù)的長度決定了這個數(shù)的精度，因此如果要表示精度更高的小數(shù)，則就要提高尾數(shù)位的長度；

用 32 位來表示的浮點數(shù)，則稱為單精度浮點數(shù)，也就是我們編程語言中的 float 變量，而用 64 位來表示的浮點數(shù)，稱為雙精度浮點數(shù)，也就是 double 變量，它們的結(jié)構(gòu)如下：

可以看到：

double 的尾數(shù)部分是 52 位，float 的尾數(shù)部分是 23 位，由于同時都帶有一個固定隱含位（這個后面會說），所以 double 有 53 個二進制有效位，float 有 24 個二進制有效位，所以所以它們的精度在十進制中分別是 log10(2^53) 約等于 15.95 和 log10(2^24) 約等于 7.22 位，因此 double 的有效數(shù)字是 15~16 位，float 的有效數(shù)字是 7~8 位，這些是有效位是包含整數(shù)部分和小數(shù)部分；double 的指數(shù)部分是 11 位，而 float 的指數(shù)位是 8 位，意味著 double 相比 float 能表示更大的數(shù)值范圍；

那二進制小數(shù)，是如何轉(zhuǎn)換成二進制浮點數(shù)的呢？我們就以 10.625 作為例子，看看這個數(shù)字在 float 里是如何存儲的。

首先，我們計算出 10.625 的二進制小數(shù)為 1010.101，然后把小數(shù)點，移動到第一個有效數(shù)字后面，即將 1010.101 右移 3 位成 1.010101，右移 3 位就代表 +3，左移 3 位就是 -3，float 中的「指數(shù)位」就跟這里移動的位數(shù)有關(guān)系，把移動的位數(shù)再加上「偏移量」，float 的話偏移量是 127，相加后就是指數(shù)位的值了，即指數(shù)位這 8 位存的是 10000010（十進制 130），因此你可以認為「指數(shù)位」相當于指明了小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置。

1.010101 這小數(shù)點右側(cè)的數(shù)字就是 float 里的「尾數(shù)位」，由于尾數(shù)位是 23 位，則后面要補充 0，所以最終尾數(shù)位存儲的數(shù)字是 01010100000000000000000。

在算指數(shù)的時候，你可能會有疑問為什么要加上偏移量呢？

前面也提到，指數(shù)可能是正數(shù)，也可能是負數(shù)，即指數(shù)是有符號的整數(shù)，而有符號整數(shù)的計算是比無符號整數(shù)麻煩的，所以為了減少不必要的麻煩，在實際存儲指數(shù)的時候，需要把指數(shù)轉(zhuǎn)換成無符號整數(shù)，float 的指數(shù)部分是 8 位，IEEE 標準規(guī)定單精度浮點的指數(shù)取值范圍是 -126 ~ +127，于是為了把指數(shù)轉(zhuǎn)換成無符號整數(shù)，就要加個偏移量，比如 float 的指數(shù)偏移量是 127，這樣指數(shù)就不會出現(xiàn)負數(shù)了。

比如，指數(shù)如果是 8，則實際存儲的指數(shù)是 8 + 127 = 135，即把 135 轉(zhuǎn)換為二進制之后再存儲，而當我們需要計算實際的十進制數(shù)的時候，再把指數(shù)減去偏移量即可。

細心的朋友肯定發(fā)現(xiàn)，移動后的小數(shù)點左側(cè)的有效位（即 1）消失了，它并沒有存儲到 float 里，這是因為 IEEE 標準規(guī)定，二進制浮點數(shù)的小數(shù)點左側(cè)只能有 1 位，并且還只能是 1，既然這一位永遠都是 1，那就可以不用存起來了，于是就讓 23 位尾數(shù)只存儲小數(shù)部分，電路在計算時會自動把這個 1 加上，這樣就可以節(jié)約 1 位的空間，尾數(shù)就能多存一位小數(shù)，相應的精度就更高了一點。

那么，對于我們在從 float 的二進制浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制時，要考慮到這個隱含的 1，轉(zhuǎn)換公式如下：

舉個例子，我們把下圖這個 float 的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成十進制，過程如下：

0.1 + 0.2 == 0.3 ?

前面提到過，并不是所有小數(shù)都可以用「完整」的二進制來表示的，比如十進制 0.1 在轉(zhuǎn)換成二進制小數(shù)的時候，是一串無限循環(huán)的二進制數(shù)，計算機是無法表達無限循環(huán)的二進制數(shù)的，畢竟計算機的資源是有限。

因此，計算機只能用「近似值」來表示該二進制，那么意味著計算機存放的小數(shù)可能不是一個真實值，現(xiàn)在基本都是用 IEEE 754 規(guī)范的單精度浮點類型或雙精度浮點類型來存儲小數(shù)的，根據(jù)精度的不同，近似值也會不同。

那計算機是存儲 0.1 是一個怎么樣的二進制浮點數(shù)呢？偷個懶，我就不自己手動算了，可以使用 binaryconvert 這個工具，將十進制 0.1 小數(shù)轉(zhuǎn)換成 float 浮點數(shù)：

可以看到，8 位指數(shù)部分是 01111011，23 位的尾數(shù)部分是 10011001100110011001101，可以看到尾數(shù)部分是 0011 是一直循環(huán)的，只不過尾數(shù)是有長度限制的，所以只會顯示一部分，所以是一個近似值，精度十分有限。

接下來，我們看看 0.2 的 float 浮點數(shù)：

可以看到，8 位指數(shù)部分是 01111100，稍微和 0.1 的指數(shù)不同，23 位的尾數(shù)部分是 10011001100110011001101 和 0.1 的尾數(shù)部分是相同的，也是一個近似值。

0.1 的二進制浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制的結(jié)果是 0.100000001490116119384765625：

0.2 的二進制浮點數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制的結(jié)果是 0.20000000298023223876953125：

這兩個結(jié)果相加就是 0.300000004470348358154296875：

所以，你會看到在計算機中 0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3，這主要是因為有的小數(shù)無法可以用「完整」的二進制來表示，所以計算機里只能采用近似數(shù)的方式來保存，那兩個近似數(shù)相加，得到的必然也是一個近似數(shù)。

我們在 JavaScript 里執(zhí)行 0.1 + 0.2，你會得到下面這個結(jié)果：

結(jié)果和我們前面推到的類似，因為 JavaScript 對于數(shù)字都是使用 IEEE 754 標準下的雙精度浮點類型來存儲的，而我們二進制只能精準表達 2 除盡的數(shù)字 1/2, 1/4, 1/8，但是例如 0.1(1/10) 和 0.2(1/5)，在二進制中都無法精準表示時，需要根據(jù)精度舍入。

我們?nèi)祟愂煜さ氖M制運算系統(tǒng)，可以精準表達 2 和 5 除盡的數(shù)字，例如1/2, 1/4, 1/5(0.2), 1/8, 1/10(0.1)。當然，十進制也有無法除盡的地方，例如 1/3, 1/7，也需要根據(jù)精度舍入。

總結(jié)

最后，再來回答開頭多問題。

為什么負數(shù)要用補碼表示？

負數(shù)之所以用補碼的方式來表示，主要是為了統(tǒng)一和正數(shù)的加減法操作一樣，畢竟數(shù)字的加減法是很常用的一個操作，就不要搞特殊化，盡量以統(tǒng)一的方式來運算。

十進制小數(shù)怎么轉(zhuǎn)成二進制？

十進制整數(shù)轉(zhuǎn)二進制使用的是「除 2 取余法」，十進制小數(shù)使用的是「乘 2 取整法」。

計算機是怎么存小數(shù)的？

計算機是以浮點數(shù)的形式存儲小數(shù)的，大多數(shù)計算機都是 IEEE 754 標準定義的浮點數(shù)格式，包含三個部分：

符號位：表示數(shù)字是正數(shù)還是負數(shù)，為 0 表示正數(shù)，為 1 表示負數(shù)；指數(shù)位：指定了小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，指數(shù)可以是負數(shù)，也可以是正數(shù)，指數(shù)位的長度越長則數(shù)值的表達范圍就越大；尾數(shù)位：小數(shù)點右側(cè)的數(shù)字，也就是小數(shù)部分，比如二進制 1.0011 x 2^(-2)，尾數(shù)部分就是 0011，而且尾數(shù)的長度決定了這個數(shù)的精度，因此如果要表示精度更高的小數(shù)，則就要提高尾數(shù)位的長度；

用 32 位來表示的浮點數(shù)，則稱為單精度浮點數(shù)，也就是我們編程語言中的 float 變量，而用 64 位來表示的浮點數(shù)，稱為雙精度浮點數(shù)，也就是 double 變量。

0.1 + 0.2 == 0.3 嗎？

不是的，0.1 和 0.2 這兩個數(shù)字用二進制表達會是一個一直循環(huán)的二進制數(shù)，比如 0.1 的二進制表示為 0.0 0011 0011 0011… （0011 無限循環(huán))，對于計算機而言，0.1 無法精確表達，這是浮點數(shù)計算造成精度損失的根源。

因此，計算機只能用「近似值」來表示該二進制，那么意味著計算機存放的小數(shù)可能不是一個真實值。

0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3，這主要是因為這兩個小數(shù)無法用「完整」的二進制來表示，所以計算機里只能采用近似數(shù)的方式來保存，那兩個近似數(shù)相加，得到的必然也是一個近似數(shù)。

作者：小林coding

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