對數函數的導數(對數函數的導數公式推導過程)

學習也需要有發展的目光。當函數的底數和指數中同時出現變量時，如果要對它求極限或求導，就可以運用對數法。

舉個最簡單的例子，對x^x求極限，無論x趨于定義域內的任何值，或者趨于無窮，都可以通過取e^ln(x^x)=e^(xlnx). 然后利用復合函數的極限法則，對xlnx求極限，記為A，那么原極限就等于e^A. 求導也是同樣的道理。

因此，對數法求極限或求導的一般步驟包括：

(1)取e^ln(原函數)；

(2)將原函數的指數，記為v，前提到ln前面做系數。即化為e^(uln(原函數底數))的形式；

(3)求vln(原函數底數)的極限A或導函數，記為g'(x)；

(4)原極限為e^A，原函數的導數為f(x)g'(x). f(x)為原函數，g(x)=lnf(x).

以上是老黃自己總結的，所以路子比較野。老黃的特點是，“野”過之后就會自然在腦海里產生常規的表達方式，如果教材上有這個內容，那么它的描述大概應該是這樣的：

應用對數法求f(x)=u(x)^v(x)的極限或導函數的一般步驟包括：

(1)使f(x)=e^ln(f(x));

(2)轉化為f(x)=e^(vlnu);

(3)求vlnu的極限記為A，或(vlnu)'=vu'/u+v'lnu=g'(x)；

(4)原極限為e^A, 導函數為f(x)g'(x), g(x)=lnf(x).

在探究數學問題的時候，路子可以野一點，但最終都要歸入正途。這其實是一個生成自己的知識，再融入自己的知識結構的過程。這就是“學習需要有發展的目光”其中的一個方面。

初學者在運用對數法時，當然需要按部就班，按照上面所列的一般步驟來應用。但是如果一個人學了很久，每次運用對數法，都還要亦步亦趨地一步步按照一般步驟來做的話，那就是缺乏學習的發展目光的一種表現了。

其實像老黃這樣，學習對數法的凈時間算起來大約有幾個小時的學習者來說，已經到了需要做出變化的時候了。老黃決定把自己如何用發展目光去運用這個知識的心路歷程以及應用過程給大家分享一下。老黃的經驗是，應用對數法時，可以直接從第三步開始，這樣會省卻很多工作。

舉個例子，求極限：lim(x→1- ) (1-x^2)^(1/(ln(1-x))).

函數圖像僅供參考

分析：當然不是所有“底、指同時含有變量”的極限都需要運用對數法。這是一個0的無窮次方型的未定式極限，像這種無法直接求極限的類型，才要運用對數法。如果按“四步法”去做，過程繁瑣，式子寫起來也很麻煩。所以老黃以“幾個小時的”經驗判斷，解決這類問題，可以從第三步開始，即直接求"vlnu"的極限，問題就解決了。因此，解題過程如下：

解：A=(lim)(x→1- ) (ln(1-x^2))/(ln(1-x))【v=1/(ln(1-x)，u=1-x^2】

=(lim)(x→1- )(2x/(1-x^2 ))/(1/(1-x))【運用了一次洛必達法則】

= (lim)(x→1- ) 2x/(1+x) =1.【約分后得到一個在x=1左連續的函數，因此可以直接代入x=1求極限】

原極限=e^A=e.

怎么樣？這個解題過程是否簡潔了不少！對有基礎的小伙伴來說，是否通俗又易懂！至于求導的實例，也是類似的道理，請自行找例子演練。許多人不重視知識本身，只在乎老黃是否資深人士，坦白說，老黃不是，和你一樣，只是一個初學者，甚至學的時間可能比你短得多，而且全是無師自通的！但老黃其實智商很低的。