自行車的發明(自行車的發明屬于第幾等級)

自行車的發明簡史

自1791年法國人Sicrac 騎著裝兩個木輪的“木馬”在路易十六王宮的大草坪上奔跑時算起，自行車的出現已有兩百多年歷史了。不過Sicrac 的帶輪木馬還算不上是真正的自行車，因為他的木馬沒有車把，沒有腳蹬，車子的驅動全靠他自己雙腳的奔跑。20多年后，1817年德國的Drais 男爵為帶輪木馬裝上活動車把，使木馬的轉向更為靈活，雙腳能暫時離地滑行。這個被稱為 “步行機器” (Laufmaschine) 的新發明在巴黎展出以后，很快成為風行19世紀歐洲的消遣玩意（圖1）。

圖1 Drais 步行機器

1839年蘇格蘭人McMillan 在后輪裝上腳蹬，實現了腳踏驅動前進，成為名副其實的自行車。1860年法國人Lallement 將腳蹬裝在前輪，前輪設計得比后輪大，目的是想使每腳踏一圈前進的距離更長些。1870年英國人Starley 為提高前進速度，將前輪的直徑增大到雙腳剛好夠得著腳蹬的程度。這種高輪車曾在歐美各國流行一時，被戲稱為“1又1/4便士” (Penny-farthing)，因為高大的前輪帶一個矮小的后輪恰似一個大硬幣配一個小硬幣（圖2）。不過高輪車的設計思想也受到力學規律的懲罰。首先是騎這種車的難度很大，不經過雜技演員式的訓練絕不敢騎。而且很不穩定，前輪一旦遇到障礙或需要緊急剎車時，高高在上的騎車人就會在慣性作用下朝前方摔下來。從安全因素考慮，要將前輪減小后輪增大，于是兩個輪的大小逐漸變得完全相同。

圖2 高輪車

1885年高輪車發明人Starley 的侄子和Lawn 發明了用鏈條傳動驅動后輪。1888年愛爾蘭人Dunlop 發明了充氣橡皮輪胎。至此自行車完全定型，一百多年來直到現在，自行車的基本結構沒有明顯變化（圖3）。

圖3 1890 年的自行車

自行車的力學原理

作為最普及的交通工具，自行車幾乎人人會騎。但要回答為何靜止時一推就倒的自行車卻能穩定行駛的問題并不容易。自1899年劍橋學生Whipple 發表自行車力學論文開始，關于自行車力學原理的研究和討論從未間斷，發表的文獻已近百篇，至今討論仍在繼續。

關于自行車的穩定性，最流行也被普遍認可的解釋是離心力效應和陀螺效應。1911年Appell 的經典力學教材《Traité de mécanique rationnelle》里就已將自行車為對象，做了嚴格的力學分析（圖4）。1948年Timoshenko 和Young 編著的高等動力學教材里，對自行車的離心力效應有詳細的分析和數學推導[2]。關于自行車陀螺效應的解釋見于1911年Klein 和Sommerfeld[3]，以及1950年Grammel[4]為代表的陀螺力學著作。

圖4 Appell 分析自行車運動的插圖

為說明離心力效應，先假設騎車人已掌握了騎車要領，善于控制把手使前輪朝車身傾斜方向轉動，轉角為ψ。前輪的偏轉改變了前輪的前進方向，使自行車轉為曲線運動。設地面上與前后輪速度矢量v1 和v2 正交的直線相交于O 點，即自行車的瞬時速度中心。設車體的質量和速度為m 和v，質心Oc 與O 點的水平距離為R，Oc與地面的垂直高度為h，則車體繞O 點的曲線運動產生離心慣性力Fc=mv2/R。此離心力與傾斜方向相反，能克服車身因傾斜產生的重力矩，將自行車拉回到垂直位置而保持穩定（圖5）。

圖5 自行車的離心力效應與陀螺效應

根據以上分析，離心力效應的必要條件是前輪朝車身傾斜方向轉動。而陀螺效應有助于完成此動作。設車體向左側傾斜的角速度為ωx，前輪的動量矩為L，則產生沿垂直軸向上陀螺力矩Mz=-ωx×L。此力矩驅動前輪繞前叉軸朝傾斜方向轉動產生角加速度，當角加速度隨時間積累成角度ψ 時，自行車就改變前進方向產生離心力效應。

此外，當車體的傾斜角速度ωx 積累成傾斜角度θ 時，重力產生傾覆力矩mghθ。此力矩導致前輪的動量矩L 繞垂直軸進動，產生繞前叉軸的轉動角速度ωz，形成與重力矩方向相反的陀螺力矩Mx=-ωz×L 與重力矩抗衡，使車體停止傾覆。而角速度ωz 的出現也有助于前輪完成正確的轉向。

由此可見，有兩種陀螺效應同時存在：車體的側向傾斜角速度ωx 產生的陀螺力矩 Mz 促使前輪繞前叉軸朝傾斜方向轉動，使離心力效應發揮穩定作用。而側向傾斜角θ導致重力矩和與之平衡的陀螺力矩Mx 使車體停止傾覆，直接起穩定作用。

對力學解釋的質疑和探索

離心力效應和陀螺效應流行了數十年，卻于1970年出現了問題。英國的一位化學家Jones 對傳統的自行車陀螺效應產生懷疑。他設計了一輛特殊自行車，在前輪上并排安裝了一個同樣大小但不接觸地面的輪子。兩個輪子同方向旋轉時可產生加倍的陀螺效應，若反向旋轉則陀螺效應被抵消為零。奇怪的是這兩種情況對自行車的穩定性并無太大影響。騎行無陀螺效應的自行車，即使雙手脫把也照樣能穩定不倒（圖6）[5]。他的論文于2006年重新刊出，多處被引用和討論。2012年1月，美國的網絡版科普雜志《Discover Magazine》評選了2011年全球100個頂尖科學故事。其中的 “自行車的新物理” 榮居第26位，掀起了一股重新認識自行車力學原理的熱潮。

圖6 Jones的無陀螺效應自行車

關于陀螺效應的分析在理論上并無漏洞，Jones 的無陀螺效應自行車的實驗也不能完全否定陀螺效應的存在。問題在于前輪的動量矩太小，產生的陀螺效應太微弱，以致被其它更重要的穩定因素所掩蓋。筆者曾在算例中估計在受控情況下，車輪的陀螺效應僅占穩定性因素的3%左右[6]。問題是除陀螺效應以外，還有沒有更重要的其它穩定因素？

早在半個世紀以前，德國的Grammel 教授在1950年出版的陀螺力學著作中就已提出與自行車穩定性有關的另一個重要因素，即前叉轉軸與前輪的相對位置[4]。Grammel 認為，要使自行車有穩定能力，前叉轉軸與地面的交點必須位于前輪與地面接觸點的前方。設車身的對稱平面為Π，前叉相對垂直軸的傾角為d，前叉支在前輪的中心O 點處，與前叉轉軸的距離為d。前叉轉軸的延長線與地面的交點為 Q，Q 點在前輪與地面的接觸點P 的前方，與P 點的水平距離為Δ（圖7）。車身通過前叉在前輪中心處作用的重力W 與地面在P 點作用的法向約束力FN 平衡，FN=W。當車身連同前叉向右側傾斜θ 角時，沿垂直軸的重力W 和法向約束力FN 不再共線，而是朝Π 平面的不同側偏離Π 平面。二者沿Π 平面法線方向的投影分別為Wsinθ和FNsinθ，且分別以d 和Δcosd 為力臂，產生繞前叉轉軸方向相同的力矩M=Wsinθ(d+Δcosθ) 推動前叉轉動。轉動方向恰好與車身傾斜方向一致，從而產生與陀螺效應相同的結果，使離心力效應發揮穩定作用。

圖7 自行車前叉和前輪的受力圖

Grammel 提出的觀點當時并未引起太多注意，Jones 卻做了更仔細的研究。他通過多次實驗探尋自行車前叉結構的幾何參數對穩定性的影響。使用圖7中的符號，以Q 點表示前叉轉軸與地面的交點，P 點表示前輪與地面的接觸點。實驗結果證實，Q 在P 的前方時（圖8a），即使消除陀螺效應，自行車也能穩定。而Q 在P 的后方時，自行車無論如何操縱都不可能穩定（圖8b）。Jones 實驗的重要貢獻在于，他重申并確立了影響自行車穩定性的又一重要因素，可稱之為“腳輪效應”(castor effect)。

圖8 自行車的腳輪效應

(a) Δ>0穩定；(b) Δ<0不穩定

腳輪效應名詞的由來是因為超市購物車的腳輪總是保持在轉軸的后方而自行穩定。一旦腳輪的滾動偏離購物車前進方向，側向摩擦力即推動腳輪轉到與行走方向一致的位置（圖9）。自行車的前輪與超市購物車的腳輪有相似之處。當你手扶坐墊向前推車時，前輪很容易順從前進。如向后倒退，前輪就左右搖晃，表現出明顯的腳輪效應。

圖9 超市購物車

騎車人的控制作用

自行車的運動離不開人的駕駛，早期的研究多將自行車視為由車身、前叉、前輪、后輪等剛體組成的多體系統。即使考慮駕車人的存在，也簡化成固定在車身上的剛體。基于這種模型的計算曾得出行駛速度超過每小時20公里可導致不穩定的結論。Grammel 早已指出此結論明顯錯誤，完全違反人們的騎車實踐。因為按照經驗，騎車速度愈快愈容易穩定。錯誤的根源在于忽視了騎車人通過操縱車把和調整軀體姿態對自行車的控制作用。這個道理是顯而易見的，對于沒學會騎車的人而言，騎上再好的自行車也不可能穩定。

由此可見，自行車的運動并非純粹的經典力學問題。對自行車的力學分析必須考慮駕車人的控制作用，即依據對車體姿態的感知隨時操縱車把和調整自身軀干的姿態。若在簡單自行車模型上增加騎車人對車把的控制，控制規律簡化為令前叉轉角 ψ 隨車身傾角θ 按比例變化，即ψ=kθ。計算得到的比例系數k 的穩定域取決于速度，速度愈快k 的下限愈低，對車把的控制愈輕便。此結果顯然更接近實際情況[6]。

考慮騎車人控制作用的自行車穩定性研究對無人自行車的設計有重要作用。2016年Google 宣布已造出自動行駛的無人自行車，引起不小的轟動。但隨后聲稱只是個愚人節玩笑。但據報導，自平衡無人自行車已在清華大學自動化系制造成功，2017年在美國奧斯汀的NI WEEK 2017大會中做過展示，且入圍 NI Engineering Impact Awards[7]。

1982年，英國人Lowell 和McKell 曾考慮離心力效應、陀螺效應和腳輪效應等所有穩定性因素，建立了較完善的自行車數學模型。同時利用前叉轉角ψ 隨車身傾角 θ 按比例變化的控制規律ψ=kθ 對車把施加控制。但所導出的特征根存在正實部，表明即使考慮所有穩定因素，此簡單的控制規律仍未能使自行車保持穩定[8]。因此無法從理論上解釋自平衡無人自行車已成功實現的現實。但若將對前叉轉角ψ 的控制改為對車把控制力矩Mcy 的控制，且在控制規律內增加前叉角速度dθ/dt 的因素，令 Mcy=Jy[k1θ+k2(dθ/dt)]。則選擇適當的系數k1、k2 就能使系統實現漸近穩定性。

綜上所述，自行車的內在穩定性因素主要來自離心力效應和腳輪效應，而駕車人的控制對行駛中的自行車穩定性起決定性作用。對自行車行駛動力學的研究必須考慮駕車人的控制作用，對控制規律的深入研究對設計和實現自穩定無人自行車有重要意義。

參 考 文 獻：

[1] Herlihy D V. Bicycle: the history. New Haven: Yale University Press, 2004

[2] Timoshenko S, Young D H. Advanced Dynamics. New York: McGraw-Hill, 1948

[3] Klein F, Sommerfeld A. über die Theorie des Kreils. Leipzig: Teubner, 1910

[4] Grammel,R. Der Kreil, ine Theorie und ine Anwendungen. New York: Springer, 1950

[5] Jones D E H. The stability of the bicycle. Physics Today, 2006, (9): 51~56

[6] 劉延柱. 自行車的受控運動. 力學與實踐，1995, 17 (4) : 39~42

[7] https://www.eet-china.com/news/201705231414.html

[8] Lowell J, McKell H D. The stability of bicycles. Amer. J. Physics, 1982, 50(12): 1106~1112

（原文注：改寫自劉延柱. 關于自行車的穩定性. 力學與實踐，2012，34(2): 90-93；劉延柱. 再談無人自行車的自穩定性. 力學與實踐. 2020, 42(1): 116-118）

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