宋元四大數學家(宋元四大數學家及著作)

劉徽

劉徽（生卒年不詳），山東淄川（或臨淄）一帶人，魏晉之際的數學家，也是中國古代杰出的數學家。　　劉徽于魏陳留至景元四年（263年）注《九章算術》9卷。并撰有《重差》（《重差》單行，改稱《海島算經》）、《九章重差圖》。對先秦至兩漢時期中國數學的成就，作了系統的闡發和理論總結，并提出許多創造性的見解，從而把我國古代數學提高到一個新水平。他的割圓術、圓周率近似值、四棱錐體積公式證明、出入相補原理等，都為古代數學的發展做出了杰出的貢獻。他處理球體積問題的方法，為祖沖之父子解決這一問題提供了正確途徑。《海島算經》發展了傳統的重差術和勾股測量法。　　劉徽主要 在三國時代，可能死于晉初。《九章》原序說，“徽幼習九章，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探柘之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。”由此可知，劉徽為《九章》作注時年事已較長。后來，宋徽宗大觀三年（1109年）禮部太常寺追封古代數學家爵位，封其為“淄鄉男”。　　劉徽治學嚴謹，刻苦自勵，自幼到長，研究《九章》，最后為之作序。他孜孜不倦，傾畢生精力，勤于數學研究探索。他不迷信古人，不生吞活剝地背誦經典，而是尋根究底，著力吸收前人成就之精華，發展中國的古代數學。　　劉徽一生集前輩之大成，總起來說，在數學方面的成就可概括為兩個方面：一是清理闡發古代數學理論，致力于建立完整的科學理論體系；二是推陳出新，取得一批出色的數學創作。劉徽特別重視和強調數學理論的研究。他認為，數學有應用的一面，也有理論的一面。依據相傳的成法解答具體問題是比較容易掌握的，而探索發現數學的真理則是相當艱巨的工作。在他看來，在學習與應用古代數學的基礎上，開展理論研究是一項十分重要的任務。他具有高度的抽象概括能力。致畢生精力探討和總結數學中的普遍原理原則，解決了許多重大的理論關鍵問題。他在幾何學方面的貢獻尤為顯著。　　《九章算術》是現存最早的中國古典數學名著，它系統總結了先秦至兩漢時期中國數學的重大成就，是中國古代數學體系形成的顯著標志。全書分為9章，采用問題集形式，收集了246個數學問題和有關解題方法。《九章》涉及的數學理論門類繁多，但原書的編排體系，以及它的算法表達形式，使人難以了解其各種算法的數學原理及其內在的邏輯聯系。劉徽的注釋是具有高度創造性的科學論文。他一面闡述每個具體算法的理論依據，一面揭示各種算法之間的內在聯系，使之成為一嚴謹、完整的理論體系。　　西漢時期，主張蓋天說的天文學派有一種測量太陽高、遠的方法，當時的數學家稱其為“重差術”，曾作為“算術”中一個科目的名稱。可是，到了劉徽時代此術幾乎失傳。劉徽通過對天文測量原理的深入鉆研，使此術得以再現和發展。他運用“類推衍化”的方法，使重差術由重表、累矩的兩望（兩次測望），發展為“三望”、“四望”。測望問題在古希臘已有發現，但所測只限于一望。歐洲在15、16世紀的著作中，也只有兩次測望的記載。可見劉徽在古代測望問題方面的成就是卓著的。

趙爽，又名嬰兒，字君卿，中國數學家。東漢末至三國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數學家與天文學家。生平不詳，約182---250年。據載，他研究過張衡的天文學著作《靈憲》和劉洪的《乾象歷》，也提到過"算術"。他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周髀》，該書是我國最古老的天文學著作，唐初改名為《周序算經》該書寫了序言，并作了詳細注釋。該書簡明扼要地總結出中國古代勾股算術的深奧原理。其中一段530余字的"勾股圓方圖"注文是數學史上極有價值的文獻。他詳細解釋了《周霸算經》中勾股定理，將勾股定理表述為:"勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦。"。又給出了新的證明:"按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。"。"又""亦"二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明。

賈憲，11世紀前半葉中國北宋數學家。賈憲是中國十一世紀上半葉(北宋)的杰出數學家.曾撰《黃帝九章算法細草》(九卷)和《算法古集》(二卷)，都已失傳。據《宋史》記載，賈憲師從數學家楚衍學天文、歷算，著有《黃帝九章算法細草》、《釋鎖算書》等書。賈憲著作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，得以保存下來。賈憲的主要貢獻是創造了"賈憲三角"和"增乘開方法"。增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的綜合除法，其原理和程序都與它相仿。增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷，又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性.增乘開方法的計算程序大致和歐洲數學家霍納(公元1819年)的方法相同，但比他早770年。

祖沖之（公元429年─公元500年）是我國杰出的數學家，科學家。南北朝時期人，漢族人，字文遠。祖沖之從小接受家傳的科學知識。青年時進入華林學省，從事學術活動。一生先后任過南徐州（今鎮江市）從事史、公府參軍、婁縣（今昆山市東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻在數學、天文歷法和機械三方面，首次將“圓周率”精算到小數第七位，他提出的“祖率”對數學的研究有重大貢獻。

求算圓周率的值是數學中一個非常重要也是非常困難的研究課題。中國古代許多數學家都致力于圓周率的計算，而公元5世紀祖沖之所取得的成就可以說是圓周率計算的一個躍進。 祖沖之是中國古代偉大的數學家和天文學家。祖沖之于公元429年出生在建康（今江蘇南京），他家歷代都對天文歷法有研究，他從小就接觸數學和天文知識，公元464年，祖沖之35歲時，他開始計算圓周率。　　在中國古代，人們從實踐中認識到，圓的周長是“圓徑一而周三有余”，也就是圓的周長是圓直徑的三倍多，但是多多少，意見不一。在祖沖之之前，中國數學家劉徽提出了計算圓周率的科學方法－－“割圓術”，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長，用這種方法，劉徽計算圓周率到小數點后4位數。 祖沖之在前人的基礎上，經過刻苦鉆研，反復演算，將圓周率推算至小數點后7位數（即3.1415926與3.1415927之間），并得出了圓周率分數形式的近似值。祖沖之究竟用什么方法得出這一結果，現在無從查考。如果設想他按劉徽的“割圓術”方法去求的話，就要計算到圓內接16000多邊形，這需要花費多少時間和付出多么巨大的勞動啊！

祖沖之計算得出的圓周率，外國數學家獲得的同樣結果，已是一千多年以后的事了。為了紀念祖沖之的杰出貢獻，有些外國數學史家建議把圓周率π叫做“祖率”。 除了在計算圓周率方面的成就，祖沖之還與他的兒子一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算。他們當時采用的原理，在西方被稱為“卡瓦列利”（Cavalieri）原理，但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數學家卡瓦列利發現的。為了紀念祖氏父子發現這一原理的重大貢獻，數學上也稱這一原理為“祖原理”。　　祖沖之在數學領域的成就，只是中國古代數學成就的一個方面。實際上，14世紀以前中國一直是世界上數學最為發達的國家之一。比如幾何中的勾股定理，在中國早期的數學專著《周縱算經》（大約于公元前2世紀成書）中即有論述；成書于公元1世紀的另一本重要的數學專著《九章算術》，在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；13世紀時，中國就已經有了十次方程的解法，而直到16世紀，歐洲才提出三次方程的解法。

楊輝（生卒年未詳），字謙光，宋錢塘縣（今杭州）人。精研數學，被列為宋元四大數學家之一。宋景定二年（1261），著《詳解九章算法》，后附《纂類》，共12卷。內有“開方作法本源圖”，即二項式定理系數表。這一方法出于北宋賈憲著《釋鎖算書》，已失傳。楊輝在書中不僅記錄下來，還作了詳盡闡述。這個外形很像一個三角形，后人稱之為“楊輝三角”。歐洲著名的“巴斯加三角”與之相同，但比楊輝遲300余年。景定三年，著《日用算法》2卷，把復雜的乘除法改為簡便的加減法，非常實用。為適合初學，還編有詩話13首，立圖草66問。又采摘古今算術，于咸淳十年（1274）撰《算法通變本末》，分上、中、下3卷。上、中兩卷又名《乘除通變算寶》，書內列有“九歸”口訣，介紹籌算乘除的各種簡捷算法。下卷又名《法算取用本末》，系與史仲榮合撰。十一年，撰《田畝比類乘除捷法》2卷，《續古摘奇算法》2卷。以上7卷，合稱《楊輝算法》。朝鮮、日本等國均有譯本出版，流傳世界。他還曾論證過弧矢公式，時人稱為“輝術”。楊輝對中國和世界數學史都作出了杰出貢獻。

秦九韶（1208—1268），字道古，四川普州（今安岳）人，嘉定元年（1208）春誕生在普州，紹定二年（1229）十月，秦九韶擢郪縣縣尉，紹定四年（1231）八月，秦九韶參與魏了翁平抑瀘州蠻夷，葺其城樓櫓雉堞，紹定五年（1232）八月乙丑進士，紹定六年，秦九韶在魏了翁帶領吳潛等督視潼川府路、成都府路時認識吳潛，魏了翁和吳潛同秦九韶去拜望病中的許奕。端平三年（1236）一月，秦九韶擢升湖北蘄州（今湖北蘄春縣）通判，嘉熙元年（1237）年秋，秦九韶知和州（今安徽和縣）。嘉熙二年（1238），秦九韶回臨安丁父憂，秦九韶在杭州丁父憂期中，發現西溪兩岸的群眾過河很不方便，在西溪上設計修建一座橋，名“西溪橋”，數學家朱世杰為紀念秦九韶，將橋命名為“道古橋”。嘉熙三年（1239），秦九韶在杭州處理完父親的后事之后，便和母親、妻子回到湖州西門外父親早年備置的宅第，繼續丁父憂。秦九韶在湖州丁父憂期中，與知慶元府（浙江寧波）吳潛交尤稔，著手改建父親備置的住宅。淳祐三年六月，吳潛回湖州丁母憂，秦九韶與被奪官的吳潛交往更是密切。淳祐四年（1244），秦九韶以通直郎出任建康（南京）府通判，十一月，秦九韶丁母憂，解官離任，回湖州為近八旬的母親守靈，將潛心研究、用于實踐中的數學成果，著書《數學大略》。此時，吳潛也在湖州丁母憂，兩人交往甚猶。淳祐八年（1248），《數學大略》得見于朝。淳祐九年（1249），目錄學家陳振孫，在編書目時向秦九韶請教，淳祐十年年（1250），秦九韶卸任建康通判，出任蘇州州守。寶祐二年（1254），九韶出任江寧（江蘇南京）府知府、沿江制置司參議官，管理江南十府糧道，寶祐四年去職。寶祐六年（1258），秦九韶由賈似道薦于李曾伯為瓊州守，凡數月去之。開慶元年（1259）十月，吳潛第二次入相，秦九韶有江東（江蘇南京）議幕之除。又除司農丞前去平江（府治在今蘇州市）措置米餫，俱以事罷。景定元年（1260），秦九韶知臨江軍（江西清江縣西臨江鎮，南宋為臨江軍，轄清江、新喻、等縣）。景定二年（1261）六月，秦九韶廣東梅州知軍州事。咸淳四年（1268）二月，秦九韶在梅州治政近六年左右，得知朝廷為吳潛追復爵祿，了卻心中惦念的沉冤，在梅州辭世，時年六十一歲。

秦九韶是一位既重視理論又重視實踐，既善于繼承又勇于創新，既關心國計民生，又體察民間疾苦，主張施仁政，又是支持和參與抗金、抗蒙戰爭的世界著名南宋數學家。他所提出的大衍求一術和正負開方術及其名著《數書九章》，是中國數學史、乃至世界數學史上光彩奪目的一頁，對后世數學發展產生了廣泛的影響。清代著名數學家陸心源（1834－1894）稱贊說：“秦九韶能于舉世不談算法之時，講求絕學，不可謂非豪杰之士。” 德國著名數學史家M．康托爾(Cantor，1829-1920)高度評價了大衍求一術，他稱贊發現這一算法的中國數學家是“最幸運的天才”。美國著名科學史家薩頓(G?Sarton，1884－1956)說過，秦九韶是“他那個民族，他那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數學家之一”。

朱世杰，元代數學家。字漢卿，號松庭。北京附近人。活動時期大約在至元七年（1270）至延祐七年（1320）。著有《算學啟蒙》3卷、《四元玉鑒》3卷。《算學啟蒙》是當時一部較有影響的啟蒙數學書，曾流傳到日本和朝鮮。現存的《算學啟蒙》就是根據1660年朝鮮刻本于1839年翻刻的。他在數學上的重大成就有：高次方程組（最多可包括4個未知數）的解法，高階等差級數求和、找差法等。

徐光啟（1562年4月24日－1633年11月10日），中國明末科學家，農學家，政治家，中西文化交流的先驅之一。字子先，號玄扈，教名保祿。漢族。南直隸松江府上海縣（今上海市）人，天主教徒，并且被稱為“天主教三柱石”之首。萬歷三十二年（1604）進士。通天文、歷算，習火器。入天主教，與意大利人利瑪竇研討學問。四十年前，充歷書纂修官，與傳教士熊三拔共制天、地盤等觀象儀。次年遭暴，稱病去職，屯耕于天津。四十七年，明軍敗于薩爾滸，疏請自效，擢河南道御史，練兵通州。熹宗即位，以志不得展，藉病歸。天啟元年(1621)復職，力請鑄紅夷炮御敵，后勸魏忠賢革職。崇禎元年（1628）召還，奉敕督領歷清軍。三年，疏陳墾田、水利、救荒、鹽法等拯時急務，擢禮部尚書，奉旨與傳教士龍華民、鄧玉函、羅雅各等修正歷法。五年，以禮部尚書兼殿閣大學士入參機務。崇禎六年(1633年)卒于北京。贈少保，謚文定。著有REN《徐氏庖言》、《詩經六帖》，編著《農政全書》、《崇禎歷書》，譯《幾何原本》、《泰西水法》等。

李善蘭（1811—1882），名心蘭，庠名善蘭，字竟芳，號秋紉，別號壬叔，海寧硤石人。自幼聰穎好學，從陳奐治經學，但偏嗜數學。9歲自學通《九章算術》，14歲通歐幾里得《幾何原本》前6卷。后到杭州參加科舉考試，得《測圓海鏡》、《勾股割圓記》等書，帶回家中，潛心鉆研，造詣日深。在中國傳統數學垛積術和極限方法基礎上，發明了“尖錐術”，并據此提出“對數論”。這一獨創成果受到西方學者的高度評價。清道光二十四年（1844），住在嘉興陸家，期間結識江浙一帶數學家顧觀光、張文虎、汪日楨等，經常聚集研究數學問題。并頻頻與外地的數學家羅士琳、徐有壬等通信，切磋學術。咸豐二年（1852），到上海墨海書館，結識英國學者偉烈亞力、艾約瑟、韋廉臣等，共同探討數學。與偉烈亞力合作（偉口述，李筆錄）翻譯了《幾何原本》后9卷、棣么甘《代數學》（我國第一部符號代數學的譯本）以及羅密士《代微積拾級》，對西方近代數學作了系統介紹。與此同時，翻譯了《重學》、《談天》、《植物學》，第一次向我國介紹西方近代物理學、天文學、植物學的最新成就。在歷時8年的翻譯過程中，盡心竭力，譯文達七八十萬字，其中大量科學名詞無先例可參考，善蘭反復衡量，仔細斟酌，創譯了一大批科學名詞，如：代數、函數、指數、微分、積分、軸、坐標、切線、方位、自行、攝動、光行差、分力、合力、質點、細胞等等，一直沿用至今。為我國近代科學的傳播和發展作出了貢獻。十一年，應曾國藩之邀入安慶軍械所，后又至南京主持金陵書局，積極從事與洋務新政有關的科技學術活動。同治三年（1864）七月，向曾國藩提出刻印自己的譯著和所有數學書籍的要求，得到允諾。次年由曾國藩親自書簽，《幾何原本》在南京出版。翌年，又由曾國藩資助，將所有手稿盡數付印，出版《則古昔齋算學》。在安慶曾國藩軍中，善蘭還得以安心寫作《火器真訣》（我國第一部彈道學著作）。七年，經廣東巡撫郭嵩燾推薦，赴京任同文館天文算學總教習，官至戶部郎中、總理衙門章京。十年，發表了我國第一篇關于素數的論文《考根數法》，不僅證明了費爾馬定理，而且指出了它的逆定理之不存在。在《垛積比類》中，為解決三角自乘垛的求和問題提出了一個恒等式，后被國際間命名為“李善蘭恒等式”。對于“李善蘭等式”，著名數學家華羅庚十分推崇，并在《數學歸納法》中加以引用。善蘭是我國教育史上第一位數學教授，在同文館任教的10余年間，悉心培育了100多位科學人才。

李善蘭畢生醉心科學。年輕時，洞房花燭之夜，獨自一人悄悄登上0進行每天例行的天象觀察，至今傳為美談。光緒八年（1882）逝世前幾個月，還著手編著《級數勾股》。　　李善蘭對訓闋詞章也有研究，善詩、嗜酒，年輕時常與“鴛湖吟侶”詩友們相唱和。道光二十二年（1842），英國侵略軍攻陷乍浦，善蘭滿懷悲憤寫下了控訴侵略者的詩篇《乍浦行》、《劉烈女》、《漢奸謠》等，表達了其愛國熱忱。有《則古昔齋遺詩》1卷。　　李善蘭的墓在海寧牽罾橋東北。故居尚存。1982年10月，中國科學技術史學會在杭州舉行學術討論會，紀念李善蘭對中國近代科學發展作出的杰出貢獻。

祖暅，字景爍，范陽遒縣(今河北淶水)人。中國南北朝時期數學家、天文學家，祖沖之之子。同父親祖沖之一起0 解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式，并據此提出了著名的"祖暅原理"。祖沖之父子總結了魏晉時期著名數學家劉徽的有關工作，提出"冪勢既同則積不容異"，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理(或劉祖原理)。祖暅應用這個原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。該原理在西方直到十七世紀才由意大利數學家卡瓦列利(BonaventuraCavalier)發現，比祖暅晚一千一百多年。祖暅是我國古代最偉大的數學家之一。