必修二數(shù)學(xué)

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高中數(shù)學(xué)必修二

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1、棱柱

定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊

形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五

棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱

'''''EDCBAABCDE?

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平

行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊

形。

2、棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，

由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五

棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐'''''EDCBAP?

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相

似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

3、棱臺

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定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部

分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五

棱臺等

表示：用各頂點字母，如四棱臺ABCD—A'B'C'D'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)

棱交于原棱錐的頂點

4、圓柱

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所

圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半

徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。

5、圓錐

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍

成的幾何體

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幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖

是一個扇形。

6、圓臺

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部

分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③

側(cè)面展開圖是一個弓形。

球體

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何

體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半

徑。

※空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征：面（側(cè)面、上底面、下底面）、棱、頂

點、軸

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1、中心投影與平行投影

中心投影：把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影。

平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。

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2、三視圖

正視圖：從前往后

側(cè)視圖：從左往右

俯視圖：從上往下

畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等

3、直觀圖：斜二測畫法

斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。

用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱

（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，'h

為斜高，l為

母線）

chS?

直棱柱側(cè)面積

rhS?2?

圓柱側(cè)

'

2

1

chS?

正棱錐側(cè)面積rlS??

圓錐側(cè)面積

')(

2

1

21

hccS??

正棱臺側(cè)面積lRrS?)(??

圓臺側(cè)面積??lrrS???2

圓柱表

??lrrS???

圓錐表??22RRlrlrS?????

圓臺表

（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

VSh?

柱

2VShrh???

圓柱

1

3

VSh?

錐

hrV2

3

1

??

圓錐

''

1

()

3

VSSSSh???

臺

''22

11

()()

33

VSSSShrrRRh???????

圓臺

（4）球體的表面積和體積公式：V球=3

4

3

R?

；S球面=24R?

第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

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?平面：公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線

在

此平面內(nèi)。

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只

只有一條過改點的公共直線

?線線關(guān)系：1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a∥b

c∥b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都

適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)

?線面位置關(guān)系

（1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點

（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點

（3）直線在平面平行——沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα

來表示

aαa∩α=Aa∥α

4、面面關(guān)系

平行——沒有公共點；α∥β

相交——有一條公共直線。α∩β＝b

2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

1、線面平行判定

共面直線

=>a∥c

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定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平

面平行，符號表示：

作用：直線與平面的判定定理

2、面面平行

定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，則這兩個平面平

行，

作用：證面面平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、線面垂直

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線與此平面

垂直。

作用：證線面垂直

線面角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角。

※在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的

垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂

直性質(zhì)易得垂線。

2、面面垂直

（1）定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

作用：證面面垂直

（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面

角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)

分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面

角。

（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；

反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

（5）求二面角的方法

?定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱

的射線得到平面角

?垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面兩

個面的交線所成的角為二面角的平面角

3、垂直關(guān)系的性質(zhì)定理

①線面垂直性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條

直線平行。

②面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)

垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

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第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角與斜率

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別

地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，

傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的

斜率。直線的斜率常用k表示。即tank??。斜率反映直線與軸的傾

斜程度。

當(dāng)

????90,0??

時，

0?k

；當(dāng)

????180,90??

時，

0?k

；當(dāng)?90??

時，

k

不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：

)(

21

12

12xx

xx

yy

k?

?

?

?

注意：(1)當(dāng)21

xx?

時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角

為90°；

(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線

上兩點的坐標(biāo)直接求得；

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。

3.2直線的方程

①點斜式：

)(

11

xxkyy???

直線斜率k，且過點

??

11

,yx

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用

點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是

x=x1。

②斜截式：

bkxy??

，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b

③兩點式：

11

2121

yyxx

yyxx

??

?

??

（1212

,xxyy??

）直線兩點

??

11

,yx

，

??

22

,yx

④截矩式：

1

xy

ab

??

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其中直線

l

與x軸交于點

(,0)a,與y

軸交于點

(0,)b,即l

與x軸、

y

軸的截距

分別為,ab。

⑤一般式：

0???CByAx

（A，B不全為0）

注意：○1各式的適用范圍○2特殊的方程如：

平行于x軸的直線：

by?

（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：

ax?

（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（一）平行直線系

平行于已知直線

0

000

???CyBxA

（00

,BA

是不全為0的常數(shù)）的直線

系：

0

00

???CyBxA

（C為常數(shù)）

（二）過定點的直線系

（ⅰ）斜率為k的直線系：

??

00

xxkyy???

，直線過定點

??

00

,yx

；

（ⅱ）過兩條直線

0:

1111

???CyBxAl

，

0:

2222

???CyBxAl

的交點的直

線系方程為

????0

222111

??????CyBxACyBxA?

（?為參數(shù)），其中直線2

l

不在直線系

中。

（6）兩直線平行與垂直

當(dāng)111

:bxkyl??

，222

:bxkyl??

時，

212121

,//bbkkll???

；

1

2121

????kkll

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

3.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式

1、兩條直線的交點

0:

1111

???CyBxAl

0:

2222

???CyBxAl

相交

交點坐標(biāo)即方程組?

?

?

???

???

0

0

222

111

CyBxA

CyBxA

的一組解。

方程組無解21

//ll?

；方程組有無數(shù)解?1

l

與2

l

重合

2、兩點間距離公式：設(shè)1122

(,),AxyBxy，（）

是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，

則22

2121

||()()ABxxyy????

3、點到直線距離公式：一點

??

00

,yxP

到直線

0:

1

???CByAxl

的距離

22

00

BA

CByAx

d

?

??

?

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4、兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。

第四章圓與方程

4.1圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點

為圓心，定長為圓的半徑。

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程

????2

22rbyax????

，圓心

??ba,

，半徑為r；

（2）一般方程

022?????FEyDxyx

當(dāng)

0422???FED

時，方程表示圓，此時圓心為

?

?

?

?

?

?

??

2

,

2

ED

，半徑為

FEDr4

2

1

22???

當(dāng)

0422???FED

時，表示一個點；當(dāng)

0422???FED

時，方程不

表示任何圖形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條

件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來

確定圓心的位置。

4.2直線、圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列

兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線

0:???CByAxl

，圓

????2

22:rbyaxC????，圓心

??baC,

到l

的距離為22BA

CBbAa

d

?

??

?

，則有

相離與Clrd??

；相切與Clrd??；

相交與Clrd??

（2）設(shè)直線0:???CByAxl，圓

????2

22:rbyaxC????

，先將方程聯(lián)立消

元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為?，則有

相離與Cl???0；

相切與Cl???0

；相交與Cl???0

注：如果圓心的位置在原點，可使用公式

2

00

ryyxx??

去解直線與圓相

切的問題，其中

??

00

,yx

表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。

(3)過圓上一點的切線方程：

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①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為

2

00

ryyxx??

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

2、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之

間的大小比較來確定。

設(shè)圓

????2

2

1

2

11

:rbyaxC????，

????2

2

2

2

22

:RbyaxC????

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大

小比較來確定。

當(dāng)

rRd??

時兩圓外離，此時有公切線四條；

當(dāng)

rRd??

時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一

條；

當(dāng)

rRdrR????

時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切

線；

當(dāng)

rRd??

時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；

當(dāng)

rRd??

時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)

0?d

時，為同心圓。

4.3空間直角坐標(biāo)系

（1）定義：如圖，,,,,OBCDDABC?是單位正方體.以A為原點，

分別以O(shè)D,O,A,OB的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。

這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1）O叫做坐標(biāo)原點

2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.

3）過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形

成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指

指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

（3）任意點坐標(biāo)表示：空間一點M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組

(,,)xyz

來

表示，有序?qū)崝?shù)組

(,,)xyz叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，

記作

(,,)Mxyz

（x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做

點M的豎坐標(biāo)）

（4）空間兩點距離坐標(biāo)公式：2

12

2

12

2

12

)()()(zzyyxxd??????