直線的方程

直線的一般式方程

[學習目標]1.掌握直線的一般式方程.2.了解關于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、

B不同時為0)都表示直線，且直線方程都可以化為Ax＋By＋C＝0的形式.3.會進行直線方程

不同形式的轉化.

知識點直線的一般式方程

1.在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關于x，y的二元一

次方程；任何關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不

同時為0)叫做直線方程的一般式.

2.對于直線Ax＋By＋C＝0，當B≠0時，其斜率為－

A

B

，在y軸上的截距為－

C

B

；當B＝0時，

在x軸上的截距為－

C

A

；當AB≠0時，在兩軸上的截距分別為－

C

A

，－

C

B

.

3.直線一般式方程的結構特征

(1)方程是關于x，y的二元一次方程.

(2)方程中等號的左側自左向右一般按x，y，常數的先后順序排列.

(3)x的系數一般不為分數和負數.

*

(4)雖然直線方程的一般式有三個參數，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程.

思考(1)當A，B同時為零時，方程Ax＋By＋C＝0表示什么

(2)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化嗎

答(1)當C＝0時，方程對任意的x，y都成立，故方程表示整個坐標平面；

當C≠0時，方程無解，方程不表示任何圖象.

故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直線，只有當A，B不同時為零時，即A2＋B2≠0時才代

表直線.

(2)不是.當一般式方程中的B＝0時，直線的斜率不存在，不能化成其他形式；當C＝0時，

直線過原點，不能化為截距式.但其他四種形式都可以化為一般式.

題型一直線的一般形式與其他形式的轉化

例1(1)下列直線中，斜率為－

4

3

，且不經過第一象限的是()

·

＋4y＋7＝0＋3y＋7＝0

＋3y－42＝0＋4y－42＝0

(2)直線3x－5y＋9＝0在x軸上的截距等于()

B.－5D.－33

答案(1)B(2)D

解析(1)將一般式化為斜截式，斜率為－

4

3

的有：B、C兩項.

又y＝－

4

3

x＋14過點(0,14)即直線過第一象限，

所以只有B項正確.

(2)令y＝0則x＝－33.

,

跟蹤訓練1一條直線經過點A(－2,2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，求此直

線方程.

解設所求直線方程為

x

a

＋

y

b

＝1，

∵點A(－2,2)在直線上，∴－

2

a

＋

2

b

＝1.①

又∵直線與坐標軸圍成的三角形面積為1，

∴

1

2

|a|·|b|＝1.②

由①②可得

?

?

?

?

?a－b＝1，

ab＝2，

或

?

?

?

?

?a－b＝－1，

ab＝－2.

解得

?

?

?

?

?a＝2，

b＝1，

或

?

?

?

?

?a＝－1，

b＝－2.

第二個方程組無解.

故所求直線方程為

x

2

＋

y

1

＝1或

x

－1

＋

y

－2

＝1，

即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.

【

題型二直線方程的應用

例2已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：

(1)過點(－1,3)，且與l平行；

(2)過點(－1,3)，且與l垂直.

解方法一l的方程可化為y＝－

3

4

x＋3，

∴l的斜率為－

3

4

.

(1)∵l′與l平行，∴l′的斜率為－

3

4

.

又∵l′過點(－1,3)，

由點斜式知方程為y－3＝－

3

4

(x＋1)，

即3x＋4y－9＝0.

|

(2)∵l′與l垂直，∴l′的斜率為

4

3

，又l′過點(－1,3)，

由點斜式可得方程為y－3＝

4

3

(x＋1)，

即4x－3y＋13＝0.

方法二(1)由l′與l平行，可設l′的方程為3x＋4y＋m＝0.將點(－1,3)代入上式得m

＝－9.

∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.

(2)由l′與l垂直，可設l′的方程為4x－3y＋n＝0.

將(－1,3)代入上式得n＝13.

∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.

跟蹤訓練2a為何值時，直線(a－1)x－2y＋4＝0與x－ay－1＝0.

%

(1)平行；(2)垂直.

解當a＝0或1時，兩直線既不平行，也不垂直；

當a≠0且a≠1時，直線(a－1)x－2y＋4＝0的斜率為k1＝

－1＋a

2

，b1＝2；

直線x－ay－1＝0的斜率為k2＝

1

a

，b2＝－

1

a

.

(1)當兩直線平行時，由k1＝k2，b1≠b2，

得

1

a

＝

－1＋a

2

，a≠－

1

2

，

解得a＝－1或a＝2.

所以當a＝－1或2時，兩直線平行.

(2)當兩直線垂直時，由k1·k2＝－1，

即

1

a

·

－1＋a

2

＝－1，解得a＝

1

3

.

<

所以當a＝

1

3

時，兩直線垂直.

題型三由含參一般式方程求參數的值或取值范圍

例3(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一條直線，則實數m滿足______.

(2)當實數m為何值時，直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.

①傾斜角為45°；②在x軸上的截距為1.

(1)答案m≠－3

解析若方程不能表示直線，則m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.

解方程組

?

?

?

?

?m2＋5m＋6＝0，

m2＋3m＝0，

得m＝－3，

所以m≠－3時，方程表示一條直線.

(2)解①因為已知直線的傾斜角為45°，

(

所以此直線的斜率是1，

所以－

2m2＋m－3

m2－m

＝1，

所以

?

?

?

?

?m2－m≠0，

2m2＋m－3＝－m2－m，

解得

?

?

?

?

?m≠0且m≠1，

m＝－1或m＝1.

所以m＝－1.

②因為已知直線在x軸上的截距為1，

令y＝0得x＝

4m－1

2m2＋m－3

，

所以

4m－1

2m2＋m－3

＝1，

所以

?

?

?

?

?2m2＋m－3≠0，

4m－1＝2m2＋m－3，

解得

?

?

?

?

?m≠1且m≠－

3

2

，

m＝－

1

2

或m＝2.

所以m＝－

1

2

或m＝2.

(

跟蹤訓練3已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求證：不論a為何值，直線l總經過第一象限；

(2)為使直線l不經過第二象限，求a的取值范圍.

(1)證明直線方程變形為y－

3

5

＝a

?

?

?

?

?

?

x－

1

5

，

它表示經過點A

?

?

?

?

?

?1

5

，

3

5

，斜率為a的直線.

∵點A

?

?

?

?

?

?1

5

，

3

5

在第一象限，

∴直線l必過第一象限.

(2)解如圖所示，直線OA的斜率k＝

3

5

－0

1

5

－0

＝3.

∵直線不過第二象限，

。

∴直線的斜率a≥3.

∴a的取值范圍為[3，＋∞).

一般式求斜率考慮不全致誤

例4設直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－(2m－6)＝0，若此直線的斜率為1，

試確定實數m的值.

分析由直線方程的一般式，可轉化為斜截式，利用斜率為1，建立方程求解，但要注意分

母不為0.

解由題意，得

?

?

?

?

?

－

m2－2m－3

2m2＋m－1

＝1，①

2m2＋m－1≠0.②

由①，得m＝－1或m＝

4

3

.

?

當m＝－1時，②式不成立，不符合題意，故應舍去；

當m＝

4

3

時，②式成立，符合題意.

故m＝

4

3

.

1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A、B應滿足的條件為()

≠0≠0·B≠0＋B2≠0

2.已知ab<0，bc<0，則直線ax＋by＝c通過()

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

）

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

3.過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是()

－2y－1＝0－2y＋1＝0

＋y－2＝0＋2y－1＝0

4.若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實數m等于()

A.－1D.－

1

2

5.已知兩條直線y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，則a＝________.

《

一、選擇題

1.直線x＋y－3＝0的傾斜角的大小是()

°°D.－1

2.直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角為45°，則m的值為()

A.－2C.－3

3.直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，若直線l過原點和二、四象限，則()

＝0，B>0>0，B>0，C＝0

<0，C＝0>0，C＝0

（

4.直線ax＋3my＋2a＝0(m≠0)過點(1，－1)，則直線的斜率k等于()

A.－3D.－

1

3

5.直線y＝mx－3m＋2(m∈R)必過定點()

A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)

6.若三條直線x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3構成三角形，則a的取值范圍是()

≠±1≠1，a≠2

≠－1≠±1，a≠2

7.直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標系中的圖形大致

是()

~

二、填空題

8.已知直線l1：ax＋3y－1＝0與直線l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，則實數a＝_______.

9.若直線mx＋3y－5＝0經過連接點A(－1，－2)，B(3,4)的線段的中點，則m＝______.

10.直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是______________.

11.已知兩條直線a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都過點A(2,3)，則過兩點P1(a1，b1)，

P2(a2，b2)的直線方程為________________.

三、解答題

12.設直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).

(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.

:

—

13.(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.

(2)當a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝

0互相垂直

、

當堂檢測答案

1.答案D

解析方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A、B不能同時為0，即A2＋B2≠0.

2.答案C

解析由ax＋by＝c，得y＝－

a

b

x＋

c

b

，

|

∵ab<0，∴直線的斜率k＝－

a

b

>0，

直線在y軸上的截距

c

b

<0.

由此可知直線通過第一、三、四象限.

3.答案A

解析由題意，得所求直線斜率為

1

2

，且過點(1,0).故所求直線方程為y＝

1

2

(x－1)，即x－

2y－1＝0.

4.答案B

解析由兩直線垂直，得

1

2

×

?

?

?

?

?

?

－

2

m

＝－1，解得m＝1.

5.答案－3或1

解析兩條直線y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，所以

a

3

＝

1

a＋2

≠

－2

1

，解得a＝

－3或a＝1.

>

課時精練答案

一、選擇題

1.答案B

解析直線x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的傾斜角為135°，故選

B.

2.答案D

解析由已知得m2－4≠0，且

2m2－5m＋2

m2－4

＝1，

解得：m＝3.

3.答案D

】

解析通過直線的斜率和截距進行判斷.

4.答案D

解析由點(1，－1)在直線上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直線方程為ax＋3ay

＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－

1

3

.

5.答案A

解析由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3).所以直線必過點(3,2).

6.答案A

解析因為直線x＋ay＝3恒過點(3,0)，所以此直線只需不和x＋y＝0，x－y＝0兩直線平

行就能構成三角形.所以a≠±1.

7.答案C

解析將l1與l2的方程化為斜截式得：

y＝ax＋b，y＝bx＋a，

【

根據斜率和截距的符號可得選C.

二、填空題

8.答案

3

5

解析由兩直線垂直的條件，得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝

3

5

.

9.答案2

解析線段AB的中點為(1,1)，則m＋3－5＝0，即m＝2.

10.答案(－∞，－

1

2

)∪(0，＋∞)

解析當a＝－1時，直線l的傾斜角為90°，符合要求；

當a≠－1時，直線l的斜率為－

a

a＋1

，

只要－

a

a＋1

>1或者－

a

a＋1

<0即可，

、

解得－1

1

2

或者a<－1或者a>0.

綜上可知，實數a的取值范圍是

(－∞，－

1

2

)∪(0，＋∞).

11.答案2x＋3y＋4＝0

解析由條件知

?

?

?

?

?2a1＋3b1＋4＝0，

2a2＋3b2＋4＝0，

易知兩點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直線2x＋3y＋4

＝0上，即2x＋3y＋4＝0為所求.

三、解答題

12.解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距都為0，當然相等，所以a＝2，

方程即為3x＋y＝0.

當a≠2時，截距存在且均不為0，

所以

a－2

a＋1

＝a－2，即a＋1＝1.

{

所以a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.

(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，

所以

?

?

?

?

?－a＋1＞0，

a－2≤0

或

?

?

?

?

?－a＋1＝0，

a－2≤0，

所以a≤－1.

綜上，a的取值范圍是a≤－1.

13.解方法一(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，

l2：mx＋3y－2＝0知：

①當m＝0時，顯然l1與l2不平行.

②當m≠0時，l1∥l2，需

2

m

＝

m＋1

3

≠

4

－2

.

解得m＝2或m＝－3，∴m的值為2或－3.

(2)由題意知，直線l1⊥l2.

①若1－a＝0，即a＝1時，直線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0顯然垂直.

②若2a＋3＝0，即a＝－

3

2

時，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直.

③若1－a≠0，且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－

a＋2

1－a

，k2＝－

a－1

2a＋3

.

當l1⊥l2時，k1·k2＝－1，

即(－

a＋2

1－a

)·(－

a－1

2a＋3

)＝－1，

∴a＝－1.

綜上可知，當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.

方法二(1)令2×3＝m(m＋1)，

解得m＝－3或m＝2.

當m＝－3時，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，

顯然l1與l2不重合，∴l1∥l2.

同理當m＝2時，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，

顯然l1與l2不重合，∴l1∥l2.

∴m的值為2或－3.

(2)由題意知直線l1⊥l2，

∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，

解得a＝±1，

將a＝±1代入方程，均滿足題意.

故當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.

: