時間的沙漏

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應用力學原理分析沙漏重量隨時間變化

關系

沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置，它由兩個玻璃球

和一個狹窄的連接管道組成的。通過充滿了沙子的玻璃球從上面

穿過狹窄的管道流入底部玻璃球所需要的時間來對時間進行測

量。但沙漏在運行時的重量卻不是保持不變的，沙子正在下落的

部分使其變輕，而沙子對底部的撞擊卻會使其變重，本文將對此

問題展開研究，詳細解釋沙漏工作過程中其重量變化的問題。

1理論分析

當沙漏工作時沙子會從上部的錐形瓶通過狹窄的通道進入

下部的錐形瓶，可按照其工作順序逐步將其分解為六個階段，除

此以外，為了對沙漏工作時的重量和時間的關系進行分析，建立

以下三點假設：（1）沙子的體積相較于錐形瓶的體積足夠小。（2）

沙子落入下部錐形瓶后將均勻分散于底部，即忽略其形成的錐形

沙堆的影響。（3）沙子下落的初速度為零，且沙子下落時均勻連

續。

用M表示整個沙漏的質量，D和H分別表示沙漏中間部位

的直徑和到底部的高度，ρ表示沙子的密度T表示沙子下落的時

間，Fi表示第i階段沙漏重量。

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1.1第一階段與第二階段

第二階段是沙漏開始工作，沙子剛好開始下落，但沒有落到

底部的過程。此時可將下落的沙子看作是下落的圓柱。設沙子經

過時間T=t1落到底部，沙子末端下落的速度為u，下落過程中

沙子的質量為m。則根據牛頓第二定律可以求出

所以當下落時間為t時，有質量為m的沙子處于完全失重

的狀態，此時沙漏整體的重量為

可以看出第二階段沙漏的重量小于靜止時候的重量，且隨著

時間的增加會不斷減小。

1.2第三階段與第四階段

第三階段是從沙子接觸到漏斗底部到這部分剛接觸底部的

沙子速度變為零的過程。當沙子剛好接觸漏斗底部時，時間為t1，

用F2end表示第二階段末尾時沙漏重量，將（2）帶入（7）中得

由于第三階段時間極短，所以可將第三階段看作是沙漏重量

突變的過程，沙漏重量由小于Mg突變到大于Mg。

第四階段則是從“第一批”落到底部的沙子速度變為零的時

刻開始到沙漏上半部沙子全部漏出去的時刻。由于第四階段沙漏

所處的狀態與第三階段末尾時刻沙漏所處狀態相同，所以

此階段沙漏重量為常數，保持不變且大于沙漏靜止時重量。

沙漏工作時大部分時間處于第四階段。

1.3第五階段與第六階段

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第五階段是從沙漏上半部分沙子剛好完全流出，到沙子全部

都落到底部速度減為零的過程。這個階段沙漏的重量同第四階段

相比，不同之處在于處于下落過程中的沙子在隨時間減少。即與

第二階段正好相反（此階段越來越多的沙子處于失重狀態），沙

子逐漸落到底部，處于失重狀態的沙子逐漸減少，由于下落失去

的重量又“回來了”，且重量“恢復”的速率與第二階段重量減少的

速率相同。此時沙漏的重量F5即為第四階段重量加上逐漸恢復

的重量。用t2表示第五階段開始的時刻，則恢復的重量為

第六階段即為沙漏中沙子全部到達底部之后的階段，此時沙

漏處于靜止狀態，重量

2實驗與討論

沙漏中沙子落下后，會在底部形成一個“沙堆”，后續沙子下

落的高度會逐漸減小，且沙子落下后會從“沙堆”上滾落，速度并

不會立即變為零，這將會對實驗帶來一些誤差，所以為了盡可能

使實驗趨于理想情況，制做了一個可以調節高度的沙漏，如圖5。

實驗時將沙漏高度調到最大，漏沙口距離沙漏底部13.97cm，增

大沙子落下的速率，以此減小“沙堆”對實驗產生的影響。實驗時

是用密度為2.17g/cm3的食用鹽來代替沙子，沙漏（不含食鹽）

的總重為36.0g。

由于沙漏重量的變化不是很大，即使對于一個很大的120厘

米高的裝置，在10秒鐘內排空，重量的最大變化也只有49毫

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克。所以不能用通常的物理實驗室設備測量。因此使用更精密的

分析天平來測量沙漏的重量，開始稱重之前，將分析天平與電腦

連接，通過超級終端將動態的沙漏重量導入到電腦中。實驗開始

時將139.7g的食用鹽裝入裝置中，將沙漏放好后，打開沙漏的

漏沙口，讓沙漏自由工作，沙漏完全靜止后停止稱重，將稱得的

沙漏重量數據繪制成圖，得到沙漏工作過程中實際重量的變化曲

線（圖4右）。再將實驗過程中的相關參數帶入上述理論分析得

到的結論中，用繪圖軟件繪制了沙漏重量變化的理想曲線。通過

實驗曲線與理想曲線的對比，可以看出，實際沙漏工作時重量的

變化與理論分析得到的沙漏重量變化擬合良好，驗證出上述理論

分析正確。