《生活中的數學》

生活中的數學

巧用連比解題

我們學習完了比的應用，在解答比的應用題

時，應先讀懂題目中的前項和后項分別代表什

么，這樣才能確解題正確。我們還學習了連比，

可以將兩個不同的比合二為一。如甲:乙=3:4，

乙:丙=7:9，那么

甲:乙:丙

3:4

7:9

────—

21:28:36

連比對應用題也有很大作用。這里來考考大

家，看看你是否掌握了連比的應用？

小明與小麗的書籍數量之比為1:2，小華的

書籍是小明的1/3還多3本。小華、小明、小麗書

籍之和為43本，他們各有多少本書？

答案:

從題目中，可以知道“小華的書籍是小明的1/3

還多3本”。如果我們把總本數去掉小華多的3本，

那么小華的書籍是小明的1/3，這句話也可以說

成小華的書籍與小明書籍的比是1:3。所以

小華:小明:小麗

1:3

1:2

----------------

1:3:6

40本圖書正好共分成（3+1+6）份，用（43—3）

÷（3+1+6）=4本，求的是1份的本數。再根據連

比，小明有3份，用4×3=12（本）；小華有1份還

多3本，用4×1+3=7（本）；小麗有6份用4×6=24

（本）。

是不是看上去很復雜，但通過將分數與比轉

化，然后應用連比的知識就能很快解答了呢？有

時候把題目中的“拌腳石”拿開之后，再去還原，

這樣就可以快速正確地解答出題目了。

巧用抽屜原理

任意5個不相同的自然數，其中最少有兩個數

的差是4的倍數，這是為什么？

答案：

一個自然數除以4有兩種情況：一是整除為0，

二是有余數1、2、3.如果有2個自然數除以4的余

數相同，那么這兩個自然數的差就是4的倍數。

把0、1、2、3這四種情況看作4個抽屜，把5

個不同自然數看作5個蘋果，必定有一個抽屜里

至少有2個數，而這兩個數的余數是相同的，它

們的差一定是4的倍數。所以任意5個不相同的自

然數，其中至少有兩個數的差是4的倍數。

丟番圖vs齊天大圣（外一則）

話說唐三藏四人從西天取經回來后，孫悟空

就過著山大王的日子。有一天，悟空覺得非常無

聊就出去玩，路過一個墓園，忽然聽有個人在叫

他，就連忙回頭，他看見一個長著翅膀的老人便

問：“您是誰？為什么叫我？”老人回答道：

“我是希臘數學家丟番圖，我是上帝的信使，大

圣可知我有多少歲嗎？你要能答出來，我就帶你

去見上帝！”孫悟空聽了高興得不得了，便說：

“好啊，好啊，俺老孫出世五百多年了還從沒見

過上帝呢！好吧，出題吧！”話音剛落，他們一

下來到了丟番圖的墓碑前，上面寫道：他生命的

六分之一是幸福的童年；再活十二分之一，唇上

長起了細細的胡須；他結了婚，又度過了一生的

七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；

可是兒子只活了父親全部年齡的一半；兒子死

后，他在極度悲痛活了四年，也與世長辭了。

同學們，這是一道刻在墓碑上的難題，許多

年來吸引了不少數學愛好者，你們也來算一算

吧！

答案：

方法一：丟番圖壽84歲。由題意，他的歲數

應是6、12、7、2的公倍數，而這些數的最小公

倍數是84，因為人的年齡目前沒有達到168歲的，

所以他的歲數是84歲。

方法二：設丟番圖壽X歲。列方程：

X/6+X/7+X/12+5+X/2+4=X解得：X=84

方法三：（5+4）/（1-1/6-1/7-1/12-1/2）=84

巧解分數加法

一道計算題：

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128，你會怎么來

做呢？

答案：

一般解法：先將算式中的每個加數通分，然后

根據同分母分數加法的計算法則進行計算：

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=64/128+32/1

28+16/128+8/128+4/128+2/128+1/128=127/128。

可這種算法太麻煩了，有沒有其它簡便點的方法

呢？

巧妙的解法：在算式的后面加上1/128，則1

/128+1/128=1/64，1/64+1/64=1/32，

1/32+1/32=1/16，1/16+1/16=1/8，1/8+1/8=1/4，

1/4+1/4=1/2，1/2+1/2=1，即最終的結果為1，所

以原式等于1減1/128的差，即127/128。

年齡問題

我們每個人都有年齡，也常常要根據所學的知

識解決有關年齡的問題。你能從變化多樣的條件

中尋求解決的途徑嗎？讓我們從最簡單的開始，

將常見的年齡問題整理解答出來。

例1今年許鵬比爸爸小30歲。4年后爸爸的年

齡是許鵬的3倍。問許鵬和爸爸今年各多少歲？

4年后爸爸的年齡是許鵬的3倍，即爸爸的年齡

比許鵬大2倍（3－1＝2倍），剛好是他們年齡的

差（30歲）。所以4年后許鵬的年齡應該是：

30÷（3－l）＝15（歲）；

今年許鵬的年齡是：15－4＝11（歲）；

今年爸爸的年齡是：11＋30＝41（歲）。

例2一家四口人的年齡加在一起是100歲，弟

弟比姐姐小8歲，父親比母親大2歲，十年前他們

全家人年齡的和是65歲。想想看，今年每人的年

齡是多大？

今年全家四口人年齡之和是100歲，那么十年

前全家人口年齡之和應該減少10×4＝40歲；但

100－65＝35，說明十年前還沒有弟弟。這個差

數5，正是弟弟的年齡，從100中減去姐姐和弟弟

年齡就是父母年齡和。由此可知，弟弟今年：

10×4－（100－65）＝5（歲）；

姐姐今年：5＋8＝13（歲）；

父親今年：（100－5－13＋2）÷2＝42（歲）；

母親今年；42－2＝40（歲）。

例3一天宋老師對小芳說：“我像你那么大

時，你才1歲。”小芳說：“我長到您這么大時，

您已經43歲了。”問他們現在各有多少歲？

小芳從1歲到她現在年齡，從她現在年齡到宋

老師現在年齡，和宋老師從現在年齡到43歲，這

中間的間隔是相等的，正好都等于他們倆人的年

齡差，所以宋老師與小芳的年齡差是（43－1）

÷3＝14（歲）。可知小芳現在年齡為：1＋14＝

15（歲），宋老師現在年齡為：15＋14＝29（歲）。

例4當問某人的年齡時，他說：“我后天22

歲，可去年過元旦時，我還不到20歲。”這樣的

事可能嗎？

這是可能的。這個人的生日是元月2日。他說

話時是今年12月31日。這樣一來。他去年元旦時

是19歲，1月2日20歲，今年元月1日還是20歲，

元月2日21歲，明年元月2日就是22歲了。

例5有一家祖孫三人正好同一天生日。這一

天他們的年齡加起來正好100周歲。又知道祖父

的歲數正好等于孫子過的月數，父親過的星期數

恰好等于他兒子過的天數。請你算一算祖孫三人

各有多少歲？

這道題只要弄清“歲數”、“月數”、“星期

數”、“天數”的關系，就可以找到解題線索。

祖父的歲數正好等于孫子過的月數，而一年有

12個月，所以祖父的年齡是孫子的12倍。父親過

的星期數恰好等于他兒子過的天數，所以父親的

年齡是兒子的7倍。

由此可知，如果把孫子的年齡作為1份的話，

那么父親就占7份，祖父占12份。于是可以得到：

孫子的年齡：100÷（1＋7＋12）＝100÷20＝5

（歲）；父親的年齡：5×7＝35（歲）；祖父的年

齡：5×12＝60（歲）。

《數學課外讀物》第八冊

樂樂球里的數學

小舒看電視里做的樂樂球的廣告，覺得樂樂球

挺有意思，就跟爸爸媽媽說，她想要玩樂樂球。

星期天，爸爸帶小舒到玩具店買回了樂樂球。

回到家，她急忙打開塑料袋，拿出來玩。可拿出

記分卡后，她愣住了。心里想：“這怎么記分

呀？”只見記分袋里裝的是寫著這樣一些數的8

張卡片：1、2、2、5、10、10、20、50。小舒急

得喊：“爸爸，快來呀。”“干什么？”爸爸說

著走過來。小舒指著卡片說：“你看這怎么記分

呀？一次得1分，可就這么幾張卡片也不夠啊，

是不是這袋子里裝錯了？我們快去商店換吧。”

爸爸不緊不慢地說：“沒有錯，可以記的，你再

仔細看看動動腦筋。”

小舒皺起眉頭，把8張卡片放在桌子上，看著，

一會兒又動手擺了起來。突然眼睛一亮：“對了，

爸爸我知道了。”小舒說：“你看，得1分時用1，

得2分時把1拿回換上2，得3分時再加上1，得4

分時拿回1，換上2，……這樣用這8張卡片可以

記100以內的所有分數，真有意思。”小舒高興

了。爸爸說：“那我考考你，48分怎么記？”小

舒拿起1張寫著20的卡片，又拿起2張寫著10的卡

片，說：“這就是40。”說完又拿起寫著數字5、

2、1的3張卡片說：“這些放在一起不就是48了

嗎。”爸爸笑了。

《數學課外讀物》

生活中的長方體和正方體

長方體和正方體在我們四周隨處可見，而它

們的表面積也運用得十分廣泛。如，在你家里地

上鋪地磚、木地板，在墻上刷的白漆，用玻璃做

一個長方體的大魚缸等等，都需要用上長方體、

正方體的表面積。可是，在生活中該如何運用長

方體和正方體的知識呢？

大家恐怕都知道，長方體表面積是“長×寬

×2+寬×高×2+長×高×2”，正方體表面積是

“棱長×棱長×6”。但是在生活中可不能就這

樣生搬硬套，因為書上告訴你的是一般情況，生

活中不是這樣，有時，可能不用六個面全算。比

如，讓你給教室刷漆，人們常識性的只會刷上、

左右、前后五個面，而你把公式套上去后，就可

能連地面也給刷了，這個要注意。下面還有一個

實例。

健身中心新建一個游泳池，該游泳池的長

50m，寬20m，深2.5m（也就是公式中所說的高），

現在讓你貼上瓷磚，需要多少瓷磚？

首先，咱們得分析這道題，當然，最好的方

法是聯系生活實際，展開想象。既然是游泳池，

肯定要求底面積，那就用長×寬求得底面積，大

家可能會奇怪，為什么不鋪上面呢？因為上面是

水，鋪上的話就不叫游泳池了。四周肯定也要鋪，

用寬×高×2+長×高×2就得出需要鋪多少平方

米的地磚了。所以，其最終結果是1625平方米的

地磚。還要注意地磚和游泳池面積的平方米是否

一致，不一致還要換算單位。所以說，在解決實

際問題時，正方體和長方體的表面積公式只是

“半成品”，這其中的很多情況是需要你仔細思

考的。

涂色的正方體

通過學習，大家知道什么是長方體和正方體

的表面積，也知道了怎么求表面積。不過下面的

問題不是和求面積相關的，我們換個角度來考考

你對正方體的認識。

一個棱長1分米的正方體木塊，表面涂滿了

紅色，把它切成棱長1厘米的小正方體。在這些

小正方體中：

（1）三個面涂有紅色的有多少個？

（2）兩個面涂有紅色的有多少個？

（3）一個面涂有紅色的有多少個？

（4）六個面都沒有涂色的有多少個？

下面我們結合圖示，分別來看看這幾個問

題。

（1）三個面都涂有紅色的小正方體在大正

方體的頂點處，正方體有8個頂點，所以三個面

涂有紅色的有8個。

（2）兩個面都涂有紅色的小正方體在大正方體

的棱上，每條棱上有8個，正方體有12條棱，所

以兩個面涂有紅色的有8×12=96個。

（3）一個面都涂有紅色的小正方體在大正方體

的面上，每個面上有8×8=64個，正方體有6個面，

所以一個面涂有紅色的有8×8×6=384個。

(4)六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有兩

種算法：

1.1000－8－96－384=512（個）；

2.8×8×8=512（個）。

火柴盒里的連比

一天晚上，小亮的家里停電了，左等右等也

不來電，小亮和姐姐感到枯燥極了，就要求爸爸

出道題考考他們。爸爸說：“既然你們有興趣，

就給你們出道題吧！把361根火柴放進三個盒里，

使第一盒火柴的根數的3/4等于第二盒的1/3，第

二盒的等于第三盒的2/5，問三個盒中各有幾根

火柴？”

小亮一聽完題目就說：“這題不難，碰到這

個量的幾分之幾等于那個量的幾分之幾，我用比

例的方法就能解。瞧，第一盒的根數×3/4＝第

二盒的根數×1/3，根據比例的基本性質，得到：

第一盒的根數：第二盒的根數＝1/3∶3/4

＝4∶9，

同樣道理，第二盒的根數：第三盒的根數＝

3/5∶2/5＝3∶2＝9∶6，所以第一盒的根數：第

二盒的根數：第三盒的根數＝4∶9∶6。然后就

可以解出來了，姐姐，你說怎么樣？”姐姐說：

“我可以用更巧的方法解。先把3/4和1/3變成

3/4和3/9，也就是說把第一盒火柴和第二盒火

柴分別平均分成4和9份，然后各取3份，這兩個3

份同樣多，這說明其中的一份也同樣多，這樣第

一盒火柴是第二盒火柴的4/9；同樣道理，第三

盒火柴是第二盒火柴的2/3。所以第二盒是361÷

（1＋4/9＋2/3）＝171（根），第一、三盒火柴

的根數也就可以解出來了。是不是比你的簡

單？”

小亮這才明白：在解題的時候，要選擇最佳

思路，力求簡潔、靈活！

失蹤的正方形

同學們一定看過劉謙表演的魔術，今天老師也

給你們表演一個數學小魔術。請同學們一起參與

進來。

在一張正方形紙板上，按圖一畫上7×7=49個

小正方形，然后沿圖示直線剪切成5個小塊。當

你按照圖二將這5小塊紙板重新拼起的時候，你

會發現不可思議的事情發生了：中間居然出現了

一個洞！圖一的正方形是由49個小正方形組成

的。圖二中卻只有48個小正方形。哪一個小正方

形沒有了？它到哪兒去了？

魔術揭秘：

原來5個小塊圖形中最大的兩塊2和3對換了一

下位置以后，被那條對角線切開的每個小正方形

都變得高比寬大了一點點。這就意味著這個大正

方形已經不再是嚴格的正方形，它的高增加了，

從而使得面積增加了，所增加的面積恰好等于這

個方洞的面積。

生活中的幾何圖形

江蘇省姜堰市三水學校六（4）班吳璐璐

曾經以為生活是一根線段，簡捷而單調，兩個

端點就是家和學校。每天清晨，在緊張的自行車

鈴聲中，背著書包，跨進學校的大門，開始了一

天的學習旅程；傍晚，伴隨著“回家”的薩克斯

樂聲，我收拾起零亂的文具，背著越發沉重的書

包回家。

隨著年齡的增大，我逐漸知道了：生活其實是

個多邊形，復雜而又豐富。

果園里，燦爛的桃花，嬌艷的杏花，雪白的梨

花下，不時傳來銀鈴般的歡笑聲，我們的身影與

花相映，人比花嬌，花比人艷。恩，生活是個三

角形！

書城里，我努力搜尋著自己的目標，那一部部

長方形的“大塊頭”都是我的摯愛。啊，生活還

是個四邊形！

田野里，和朋友們一起嬉戲，捉蝴蝶，聽蟲鳴，

賞花開……這時，我忽然感到：生活是五角形、

六邊形……

在這么多形狀中，我最喜歡圓形。

圓，所有圖形中最美的圖形，最富有創造性，

最富有人情味，最富有詩意的圖形。

我追求完美。什么事都要求盡善盡美，就像圓

一樣。所有學科我都要爭做第一，語、數、外，

理所當然，甚至就連女孩子們最怕的體育我也要

一爭高下。

我富于想象、創造。每一道數學思考題我都想

別出心裁，都想得出與老師不一樣的解決方法，

就像圓一樣，一個圓心，無數的半徑。因為只有

不停地想象，不斷地創新，我們的未來才更寬廣！

我廣交朋友。“手拉手”的小伙伴，我有一大

堆。陜西、昆明，都有我的朋友，每到屬于我們

的節日，我們都會給對方一份真摯的祝福，即使

遠在天涯海角。“海內存知己，天涯若比鄰”，

就像圓心與圓上的點一樣，心心相印。

“但愿人長久，千里共嬋娟”，人們祈盼團圓，

追求團圓；“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，此

事古難全。”人不可能事事圓滿，就像圓心是固

定的，而半徑是無窮的，是要我們自己去努力拓

展的。

讓我們用無限的半徑去畫出屬于我們自己的圓

吧！朋友，相信你一定能成功！

倒推轉化巧拿硬幣

聽說過拿硬幣游戲嗎？如果沒聽過，就先來

熟悉一下拿硬幣游戲的規則吧！拿硬幣游戲是一

個兩個人玩的游戲，要求每個參加者輪流拿走若

干硬幣，誰拿到最后一枚硬幣誰就算贏。下面我

們來實際進行一次拿硬幣的游戲。

游戲1：桌上放著15枚硬幣，兩個游戲者（你

和你的一位同學）輪流取走若干枚。規則是每人

每次至少取1枚，至多取5枚，誰拿到最后一枚誰

就贏得全部15枚硬幣。

游戲開始了，你一定在想：有沒有能保證你

贏的辦法呢？若有，這辦法又是什么呢？現在你

把自己想象成處于即將贏的狀態，該你取硬幣

了，而且桌面上硬幣恰好不超過5枚，這時，你

可以一次拿走桌上的所有硬幣，成為贏者。現在，

你能不能從這樣的終點狀態往前推，找出一個狀

態，使得只要你的對手處在這一狀態，那么無論

他拿走幾枚硬幣，你都會處于理想的獲勝狀態？

不難發現，如果你的對手處于桌面有6枚硬幣的

狀態，那么無論他拿走幾枚（從1枚到5枚）硬幣，

桌上都會剩下至少1枚至多5枚硬幣，這樣勝利一

定屬于你。也就是說，誰拿走第（15－6＝）9

枚硬幣，誰將獲勝。于是，游戲1獲勝情況就與

下面游戲2結果相同。

游戲2：桌上放著9枚硬幣，兩個游戲者(你和

你的一位同學)輪流取走若干個。規則是每人每

次至少取1枚，至多取5枚，誰拿到最后一枚誰就

贏得15枚硬幣。

由對游戲1的倒推分析，我們不難知道，游戲

2的獲勝情況與下面游戲3結果相同。

游戲3：桌上放著3枚硬幣，兩個游戲者（你

和你的一位同學）輪流取走若干個。規則是每人

每次至少取1枚，至多取5枚，誰拿到最后一枚誰

就贏得15枚硬幣。

在游戲3中，你只要第一個從桌上拿走3枚硬

幣便可贏。可見，你要在游戲1中取勝，只要第

一個取走桌面上的3枚硬幣便一定能贏。

想一想：利用上面的最佳戰略方法和你的小

朋友做下面的游戲：桌上放30枚硬幣，兩個游戲

者（你和你的一位同學）輪流取走若干個。規則

是每人每次至少取2枚，至多取6枚，誰拿到最后

一枚誰就贏得全部30枚硬幣。

相信你，準贏。

買西瓜的學問

1個大西瓜vs.3個小西瓜

去年夏天某日，一個賣西瓜的人在不停地叫

喊著：“1個大西瓜10元錢，買3個小的也是10

元錢。”這時過來一位細心的顧客，他拿了兩種

西瓜，目測大西瓜直徑約8寸，小西瓜直徑約5

寸。

可是他也犯了難，到底買哪種更合算呢？

讓我們來幫幫他吧！

首先，我們從體積上來比一比，球的體積公

式是4/3πr3，或1/6πD3。r是半徑，D是直徑。

求它們體積比時，可省去1/6和π。因此，

大西瓜體積∶3個小西瓜體積之和

＝[8×8×8]∶[(5×5×5)×3]

＝512∶375

由此可見，買3個小西瓜是很吃虧的。

1個大西瓜vs.4個小西瓜

那么，假如再多給你一個小西瓜即一共4個，

你會買大西瓜還是小西瓜呢？

這時從體積上看兩種情況相差不多了。但如

果考慮瓜皮的多少，還是買大西瓜合算。這是由

于球的表面積公式為πD2，所以，

大西瓜的表面積∶4個小西瓜的表面積之和

＝[π×8×8]∶[(π×5×5)×4]

＝64∶100

由此可知，4個小西瓜合在一起的瓜皮，幾

乎比大西瓜的瓜皮多一倍。所以綜合起來考慮，

還是買一個大西瓜合算。

烏鴉喝水的秘密

我們知道，長方體的體積等于長乘以寬再乘

以高，正方體的體積等于棱長的立方。可是你想

過沒有，要想知道一只雞蛋的體積是多少，應該

怎么來求？

面對這個問題，你或許會一籌莫展，因為雞

蛋的外形不規則，沒有現成的公式可用。

其實，這個問題也很簡單。《烏鴉喝水》這

篇文章你一定讀過。烏鴉發現瓶子里有水，但是

瓶口太小，水面又太低，怎么辦呢？聰明的烏鴉

發現周圍有小石子，于是銜來石子，放入瓶中。

每放進一塊小石子，水面就會上升一次；投進的

石子體積越大，水面上升得就越高。這是因為投

入的石子有“體積”，要占據一定的空間，于是，

它就把與它體積相等的水“擠”上去。也就是

說，被“擠”上去的水的體積恰好等于投進石子

的體積。

石頭的體積難以求出，那是因為它的形狀很

不規則。如果我們能計算出被它“擠”上去的水

的體積，那么事情就好辦多了。只要我們用一個

長方體器皿，就很容易算出被“擠”出來的水的

體積了。

假設這個長方體器皿底面是邊長4厘米的正

方形，放入石頭后水面上升了2厘米，那么，石

頭的體積是4×4×2＝32（立方厘米）。到這里，

你一定會高興地叫起來：“那我也會求雞蛋的體

積了。”

烏鴉的聰明之處，在于它借助小石子，使瓶

中的水面上升，從而喝到了它想喝的水。

人類的聰明之處，在于從烏鴉喝水想出了

“等量代換”的妙計。

最小公倍數在生活中的應用

以前，小明一直以為學了最小公倍數這種知

識枯燥無味，整天和求幾和幾的最小公倍數這樣

的問題打交道，真是煩死人，總覺得學習這些知

識在生活中沒有什么用處。然而，有一件事卻改

變了他的看法。

有一天小明和爸爸一起乘公共汽車去青少

年宮。他們倆坐的是3號車，快要出發的時候，1

號車正好和他們同時出發，此時爸爸看著這兩輛

車，突然笑著對他說：“小明，爸爸出個問題考

考你，好不好？”小明胸有成竹地回答道：

“行！”“那你聽好了，如果1號車每3分鐘發車

一次，3號車每5分鐘發車一次。這兩輛車至少再

過多少分鐘后又能出發呢？”稍停片刻，小明

說：“爸爸你出的這道題不能解答。”爸爸疑惑

不解的看著他：“哦，是嗎？”“這道題還缺一

個條件：1號車和3號車起點是同一個地方。”爸

爸聽了他的話，恍然大悟地拍了一下腦袋，笑著

說：“我也有糊涂的時候，出題不夠嚴密，還是

小明想得周全。”小明和爸爸開心地哈哈大笑起

來，此時爸爸說：“好，現在假設在同一個起點

站，你說有什么方法來解答？”小明想了想脫口

而出“15分鐘，因為3和5是互質數，求互質數的

最小公倍數就等于這兩個數的乘積（3×5＝15）

所以15就是它們的最小公倍數。也就是這兩輛車

至少再過15分鐘同時出發。”爸爸聽了夸獎道：

“答案正確！100分。”“耶！”聽了爸爸的話，

小明高興地舉起雙手。

從這件事中小明就懂得了一個道理：數學知

識在生活中無處不在。

伸手指說數

課間，同學們經常會玩一種伸手指說數的游

戲。這種游戲規則是這樣的：兩人各伸出一只手，

一只手只有5個指頭，任意出幾個指頭。一邊出

手，一邊說數，如果誰說的數正好等于兩個人伸

出的指頭數的和，誰就算贏。有人認為，這完全

沒有規律，贏都是靠運氣，雙方贏的機會相同。

其實，仔細分析，其中還和學過的數學知識密切

相關呢。

下面先分析甲出0時的情況，乙可能出0、1、2、

3、4、5，和就是乙出的手指數；

甲出1時，乙可能出0、1、2、3、4、5中的任

意一個，出不同的手指，和也不同，最后的和是

乙每次出的手指數加1。

甲乙兩人手指的組合形式，還有以下24種：

甲出2，乙出0、1、2、3、4、5，和是2、3、4、

5、6、7；

甲出3，乙出0、1、2、3、4、5，和是3、4、5、

6、7、8；

甲出4，乙出0、1、2、3、4、5，和是4、5、6、

7、8、9；

甲出5，乙出0、1、2、3、4、5，和是5、6、7、

8、9、10。

從上面我們可以看出，在這些組合中，指頭和

為0、10的情況各一種；和為1、9的各兩種；和

為2、8的各3種；和為3、7的各4種；和為4、6

的各5種，和為5的共6種。可見，和為5的組合最

多，也就是說，說5贏的機會相對較多。因為不

管對方出幾個指頭，你都可以和它湊成和為5。

除此之外說別的數則不然，比如說2，對方要出2

個以上指頭，你怎么出也不行；再如說8，對方

要出3個以下指頭，你怎么也無濟于事。

你看，數學到處都有，只要你留心，在你的身

邊處處都可以用到數學知識。

充滿數學的旅途

爸爸和聰聰一塊到一個城市旅游，他們來到長

途汽車站。車出站沒多久，就已經通過9公里指

示牌。爸爸指一指那匆匆后移的計程牌對聰聰

說：“在你已經看到的1，2，…，9這9個數字中，

任取8個隨意排列都可組成一個8位數。在這許許

多多8位數中，有些能被12整除，有些則不能。

你能在所有那些可被12整除的8位數中寫出最大

的和最小的嗎？”

聰聰起初感到無從下手，但冷靜一想，只用

了一些算術知識就解決了。下面我們一塊來看看

聰聰的解決思路吧。

聰聰注意到以下4件事：第一，數被12整除

的條件是它既被3整除，也被4整除；第二，數被

3整除的條件是：它的各位數字之和被3整除；第

三，數被4整除的條件是它的十位和個位所成的

兩位數被4整除；第四，在1，2，…，9這9個數

碼中取定幾個用種種次序排列而組成的多位數，

要求這個多位數最大，則大的數字應盡可能放在

高位；反之，要求這個多位數最小，則小的數字

應盡可能放高位。

由于1，2，…，9這9個數字之和是45，棄去

3，6或9以后所剩8個數字之和都可被3整除。于

是，棄去最小的3，再從大到小排列并調整最后

兩位的位置，使之所成的兩位數能被4整除，即

得符合爸爸要求的最大的8位數98765412。類似

地，棄去9再從小到大排列并使最后兩位所成的

兩位數能被4整除，得到最小的12345768。

數學與音樂

音樂是心靈和情感在聲音方面的外化，數學

是客觀事物高度抽象和邏輯思維的產物。那么，

“多情”的音樂與“冷酷”的數學也有關系嗎?

我們的回答是肯定的。甚至可以說音樂與數學是

相互滲透，互相促進的。

孔子說的六藝“禮、樂、射、御、書、數”，

其中“樂”指音樂，“數”指數學。即孔子就已

經把音樂與數學并列在一起。我國的七弦琴(即

古琴)取弦長l，7/8，5/6，4/5，3/4，2/3，3/5，

1/2，2/5，1/3，1/4．1/5，1/6，1/8得所渭的13個

徽位，含純率的1度至22度，非常自然，足很理

想的弦樂器。我國著名古琴家查阜西早就指出，

要學好古琴，必須對數學有一定素養。

世界著名波蘭作曲家和鋼琴家肖邦很注意

樂譜的數學規則、形式和結構，有位研究肖邦的

專家稱肖邦的樂譜“具有樂譜語言的數學特

征”。

數學的抽象美，音樂的藝術美．經受了歲月

的考驗，相互的滲透。如今，有了數學分析和電

腦的顯示技術，眼睛也可辨別音律，成就是多么

激動人心啊!對音樂美更深的奧秘至今還缺乏更

合適的數學工具加以探究，還有待于音樂家和數

學家今后的合作和努力。

生活中的幾何圖形

江蘇省姜堰市三水學校六（4）班吳璐璐

曾經以為生活是一根線段，簡捷而單調，兩個

端點就是家和學校。每天清晨，在緊張的自行車

鈴聲中，背著書包，跨進學校的大門，開始了一

天的學習旅程；傍晚，伴隨著“回家”的薩克斯

樂聲，我收拾起零亂的文具，背著越發沉重的書

包回家。

隨著年齡的增大，我逐漸知道了：生活其實是

個多邊形，復雜而又豐富。

果園里，燦爛的桃花，嬌艷的杏花，雪白的梨

花下，不時傳來銀鈴般的歡笑聲，我們的身影與

花相映，人比花嬌，花比人艷。恩，生活是個三

角形！

書城里，我努力搜尋著自己的目標，那一部部

長方形的“大塊頭”都是我的摯愛。啊，生活還

是個四邊形！

田野里，和朋友們一起嬉戲，捉蝴蝶，聽蟲鳴，

賞花開……這時，我忽然感到：生活是五角形、

六邊形……

在這么多形狀中，我最喜歡圓形。

圓，所有圖形中最美的圖形，最富有創造性，

最富有人情味，最富有詩意的圖形。

我追求完美。什么事都要求盡善盡美，就像圓

一樣。所有學科我都要爭做第一，語、數、外，

理所當然，甚至就連女孩子們最怕的體育我也要

一爭高下。

我富于想象、創造。每一道數學思考題我都想

別出心裁，都想得出與老師不一樣的解決方法，

就像圓一樣，一個圓心，無數的半徑。因為只有

不停地想象，不斷地創新，我們的未來才更寬廣！

我廣交朋友。“手拉手”的小伙伴，我有一大

堆。陜西、昆明，都有我的朋友，每到屬于我們

的節日，我們都會給對方一份真摯的祝福，即使

遠在天涯海角。“海內存知己，天涯若比鄰”，

就像圓心與圓上的點一樣，心心相印。

“但愿人長久，千里共嬋娟”，人們祈盼團圓，

追求團圓；“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，此

事古難全。”人不可能事事圓滿，就像圓心是固

定的，而半徑是無窮的，是要我們自己去努力拓

展的。

讓我們用無限的半徑去畫出屬于我們自己的圓

吧！朋友，相信你一定能成功！

規矩與方圓

我國考古學者曾發掘出公元2世紀漢朝的浮雕

像，其中有女媧手執規，伏羲手執矩的圖像。在

司馬遷所寫的《史記》中，也提到夏禹治水的時

候“左準繩（左手拿著準繩）”，“右規矩（右

手拿著規矩）”。在甲骨文里，就發現有規和矩

這兩個字。其中規字很像一個人手執圓規在畫

圖，矩字像兩個直角，可以說極盡象形文字之妙。

“規”，就是圓規，是用來畫圓的工具；“矩”

很像現在的直角尺，是用來畫方形的工具。正如

俗話所說：“不以規矩不能成方圓。”

據數學史家考證，人類最早是用樹杈來畫圓

的。這種原始圓規由于半徑固定不變，只能畫一

種大小的圓。因為圓有許多重要的性質，人類很

早就認識了圓，使用了圓。

把車輪做成圓形的，是因為圓周上的點到圓心

的距離相等，車子行駛起來平穩；還因為圓輪在

滾動時摩擦力小，車子走起來省力。

把碗和盆做成圓形的，一方面是圓形物體制作

起來比較容易，又沒棱沒角不易損壞；另一方面

是用同樣大小的材料作碗，數圓形的碗裝東西最

多。

把桶蓋和下水道蓋做成圓形的，是因為圓形的

蓋子，不管你怎樣蓋法都不會掉進里面去。而方

形和橢圓形的蓋子。蓋得不合適，就會掉進去。

有的拱形門和屋頂做成半圓形的，是因為圓形

拱門抗壓能力強。

突破習慣思維的束縛

有些問題用我們習慣思維的方式似乎是難以

解決的，如果我們能突破常規去思考，就能使思

維“豁然開朗”，而使問題迎刃而解。請看下面

的例子。

圖1-1中有9個點，試—筆畫出4條直線，把這9

個點連接起來（從何處起頭都行，直線可以交叉，

但不能重合）。

一筆畫出4條直線，難以穿過9個點。這是由于

我們不易想到將直線延伸到9個點的范圍界限之

外。如果能突破這種習慣思維方式的束縛，則如

圖1-2便可一筆畫出4條直線使之通過這9個點。

圖1-1圖1-2

下面我們看這個問題，在一張紙上，挖擊一個

直徑為2厘米的圓（如圖17一12），并要讓您將一

塊直徑為3厘米的硬幣穿過去。你覺得這可能

嗎？應該怎么做？

答案

我們只需將這張紙沿著圓的一條直徑折起來

（如圖1-3），再將半圓弧ACB拉直成線段ACB

（如圖1-4），則線段ACB的長為厘米，而>3，

故可將直徑為3厘米的硬幣穿過去。

圖1-3圖1-4

讀心術的秘密

數學有什么用處呢？枯燥的數字，巧合般的題

目設計，似乎和實際生活相距甚遠。其實，要讓

數學發揮用處，限制不在數學本身，而在數學的

使用者上。讓我們看看，勤于思考，勇于實踐的

數學使用者們，是如何讓數學在生活中處處發揮

作用的。

在現在的網絡游戲中，有一個“吉普賽人祖傳

的神奇讀心術”。據說它能測算出你的內心感

應。游戲是這樣的：任意選擇一個兩位數（或者

說，從10～99之間任意選擇一個數），把這個數

的十位與個位相加，再把任意選擇的數減去這個

和。

例如：你選的數是23，然后2+3=5，然后

23-5=18。在游戲的圖表中找出與最后得出的數

相應的圖形，并把這個圖形牢記心中，然后點擊

網頁上的水晶球。你會發現，水晶球所顯示出來

的圖形就是你剛剛心里記下的那個圖形。水晶球

讓你神奇的感應到它是如何來讀你的心了！你玩

過這個游戲嗎？到底是什么原因呢？

原來這實際上是一個數學游戲。當任何一個兩

位數減去它的各位數字之和的時候，我們注意到

個位數字相互消去了。所以實際上是十位數字的

10倍減去它的一倍，必然是十位數字的9倍，也

就是說所得的數肯定是9的倍數。

證明：設一個兩位數十位是X，個位是Y，則

此兩位數為10X+Y，十位數與個位數之和為

X+Y，那么（10X+Y）－（X+Y）=9X。故此數

必是9的倍數。所以游戲的圖表中，只要將所有9

的倍數的對應的圖片都放成同一張，那么水晶球

只需要顯示一個圖案就可能了。

類似的數字游戲是很多的，往往使用的數學知

識也不復雜。只要遇到之后多分析，多思考，你

也會發現這些游戲的小秘密。

戲說顛倒

浙江有兩個縣，一個是觀錢塘潮的勝地海寧，

另一個則是距離它不遠的寧海。它們名稱中的兩

個漢字正好互相顛倒！這種現象在外國地名中恐

怕是絕無僅有的。其實中國這種現象還不是個別

的，比如西安－安西（甘肅西部），武寧（江西）

－寧武（山西），子長（陜西）－長子（山西），

豐南（河北）－南豐（江西，有特產南豐蜜桔）。

在我國幾千個縣里，類似這樣的例子還不少。

不少書法愛好者知道漢字里有“顛倒十三太

保”的說法。原來，有13個常用字，把它們上下

顛倒過來看，仍然是一個漢字，有些甚至和原來

的字一模一樣。這13個字就是：一，十，中，田，

王，由，甲，口，日，士，干，非，車。它們的

形狀是完全對稱的。當然如果你把“車”寫成簡

體的“車”，一顛倒，就不是什么字了。

由此聯想到現在全世界通用的阿拉伯數字，其

中也可以分為三類：

第一類是上下顛倒后保持原狀的，它們是：0，

1，8。

第二類是上下顛倒后互相轉換的，例如：6和9。

第三類是顛倒后，面目全非的，例如2，3，4，

5，7。

另外，許多畫家對顛倒頭像也十分感興趣，常

有名作問世。下面是一個愁眉苦臉的男人，大概

遇到什么不開心的事。不過你不用替他著急，只

要把圖形顛倒過來一看，他又變得眉開眼笑了。

與顛倒圖形相比，轉成直角的風景或動物插圖更

難構思。下面的另一幅圖片就是一幅名作，叫

“鴨變兔”。你把圖片順時針轉90°看看？

數學與音樂

音樂是心靈和情感在聲音方面的外化，數學

是客觀事物高度抽象和邏輯思維的產物。那么，

“多情”的音樂與“冷酷”的數學也有關系嗎?

我們的回答是肯定的。甚至可以說音樂與數學是

相互滲透，互相促進的。

孔子說的六藝“禮、樂、射、御、書、數”，

其中“樂”指音樂，“數”指數學。即孔子就已

經把音樂與數學并列在一起。我國的七弦琴（即

古琴）取弦長l、7/8、5/6、4/5、3/4、2/3、3/5、

1/2、2/5、1/3、1/4、1/5、1/6、1/8得所謂的13個

徽位，含純率的1度至22度，非常自然，是很理

想的弦樂器。我國著名古琴家查阜西早就指出，

要學好古琴，必須對數學有一定素養。

著名作曲家和鋼琴家肖邦很注意樂譜的數學

規則、形式和結構，有位研究肖邦的專家稱肖邦

的樂譜“具有樂譜語言的數學特征”。

數學的抽象美，音樂的藝術美，經受了歲月的

考驗，相互的滲透。如今，有了數學分析和電腦

的顯示技術，眼睛也可辨別音律，成就是多么激

動人心啊!對音樂美更深的奧秘至今還缺乏更合

適的數學工具加以探究，還有待于音樂家和數學

家今后的合作和努力。

十五的訣竅

當一個農村集市開張時，除了耕牛，所有的人

都很興奮。

今年，王財主開辦了一個叫“十五”的新游

戲，他說：“村民們請留步，游戲的規則非常簡

單。我們只是把硬幣放在這些1至9的數字上，誰

先放都無所謂。你們放銅幣，我放銀幣。誰先放

了三個相加等于15的不同數字，誰就可得到案子

上所有的錢。”

讓我們看一個典型的玩法。一位婦人先把一枚

銅幣放在7上。由于7已被放上，其他人就不能再

放了。對其它數字也是如此。王財主把一枚銀幣

放在8上。婦人下一次將把銅幣放在2上，這樣再

放一次6，三個數字相加為15，就可以贏了。但

王財主把一枚銀幣放在6上，破壞了她的打算。

下一次他放在1上就可以贏了。婦人看出了這一

威脅，先把一枚銅幣放在1上破壞王財主的贏勢。

王財主將下一枚銀幣放在4上時暗自得意。婦人

看到他下一次放在5上就會贏，還得再破壞他。

于是她把銅幣放在5上。但王財主放在3上也贏

了。因為8+4+3=15。可憐的婦人輸掉了4個硬幣。

鎮長先生覺得這個游戲很有意思。經過長時間

的觀察，他斷定王財主利用了一種秘密系統，使

他不可能輸，除非他想輸。

解決此游戲的訣竅在于認識到這在數學上等

同于劃井游戲。為欣賞這一魔方的奇妙．讓我們

列出三個不同數字（除0外）相加等于l5的表，

一共有8組：

1+5+9=15

1+6+8=15

2+4+9=15

2+5+8=15

2+6+7=15

3+4+8=15

3+5+7=15

4+5+6=15

現在仔細觀察獨特的3—3數字魔方：

294

753

618

注意共有8行：3組橫行，3組縱行，2組斜行。

每一行確定的3組數字之和均為15。因此，每一

個贏的組合都是魔方中的一橫、一縱或一斜行。

現在很容易看出，每次游藝比賽實際上相當于劃

井游戲，誰先把自己的棋子占滿一橫、一縱或一

斜行，誰就取勝。

在進行15游戲時，如果玩得正確就不會輸。如

果兩個對手都玩得正確，則游戲結果就是平局。

然而設盤者的對手由于不知道是在玩劃井游戲，

因而處于十分不利的地位。這就使設盤者很容易

設置對己有利的騙局。

比如：

充滿數學的旅途（一）

爸爸和聰聰一塊到一個城市旅游，他們來到

長途汽車站。車出站沒多久，就已經通過9公里

指示牌。爸爸指一指那匆匆后移的計程牌對聰聰

說：“在你已經看到的1，2，…，9這9個數字中，

任取8個隨意排列都可組成一個8位數。在這許許

多多8位數中，有些能被12整除，有些則不能。

你能在所有那些可被12整除的8位數中寫出最大

的和最小的嗎？”

聰聰起初感到無從下手，但冷靜一想，只用了

一些算術知識就解決了。下面我們一塊來看看聰

聰的解決思路吧。

聰聰注意到以下4件事：第一，數被12整除的

條件是它既被3整除，也被4整除；第二，數被3

整除的條件是：它的各位數字之和被3整除；第

三，數被4整除的條件是它的十位和個位所成的

兩位數被4整除；第四，在1，2，…，9這9個數

碼中取定幾個用種種次序排列而組成的多位數，

要求這個多位數最大，則大的數字應盡可能放在

高位；反之，要求這個多位數最小，則小的數字

應盡可能放高位。

由于1，2，…，9這9個數字之和是45，棄去3，

6或9以后所剩8個數字之和都可被3整除。于是，

棄去最小的3，再從大到小排列并調整最后兩位

的位置，使之所成的兩位數能被4整除，即得符

合爸爸要求的最大的8位數98765412。類似地，

棄去9再從小到大排列并使最后兩位所成的兩位

數能被4整除，得到最小的12345768。

伸手指說數

下課了，同學們經常會玩一種伸手指說數的游

戲。這種游戲規則是這樣的：兩人各伸出一只手，

一只手只有5個指頭，任意出幾個指頭。一邊出

手，一邊說數，如果誰說的數正好等于兩個人伸

出的指頭數的和，誰就算贏。有人認為，這完全

沒有規律，贏都是靠運氣，雙方贏的機會相同。

其實，仔細分析，其中還和學過的數學知識密切

相關呢。

下面先分析甲出0時的情況，乙可能出0、1、2、

3、4、5，和就是乙出的手指數；

甲出1時，乙可能出0、1、2、3、4、5中的任

意一個，出不同的手指，和也不同，最后的和是

乙每次出的手指數加1。

甲乙兩人手指的組合形式，還有以下24種：

甲出2，乙出0、1、2、3、4、5，和是2、3、4、

5、6、7；

甲出3，乙出0、1、2、3、4、5，和是3、4、5、

6、7、8；

甲出4，乙出0、1、2、3、4、5，和是4、5、6、

7、8、9；

甲出5，乙出0、1、2、3、4、5，和是5、6、7、

8、9、10。

從上面我們可以看出，在這些組合中，指頭和

為0、10的情況各一種；和為1、9的各兩種；和

為2、8的各3種；和為3、7的各4種；和為4、6

的各5種，和為5的共6種。可見，和為5的組合最

多，也就是說，說5贏的機會相對較多。因為不

管對方出幾個指頭，你都可以和它湊成和為5。

除此之外說別的數則不然，比如說2，對方要出2

個以上指頭，你怎么出也不行；再如說8，對方

要出8個以下指頭，你怎么也無濟于事。

你看，數學到處都有，只要你留心，在你的身

邊處處都可以用到數學知識。