一元二次方程應用題

1：某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件盈利44元，在每件降價幅度

不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多售出5件，如果每天要盈

利1600元，每件應降價多少元？

解：設沒件降價為x，則可多售出5x件，每件服裝盈利44-x元，

依題意x≤10

∴(44-x)(20+5x)=1600

展開后化簡得：x2-44x+144=0

即(x-36)(x-4)=0

∴x=4或x=36(舍)

即每件降價4元

要找準關系式

2.游行隊伍有8行12列，后又增加了69人，使得隊伍增加的行·列數相同，

增加了多少行多少列？

解：設增加x

(8+x)(12+x)=96+69

x=3

增加了3行3列

3.某化工材料經售公司購進了一種化工原料,進貨價格為每千克30元.物價

部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元,也不得低于30元.市場調查發(fā)現：單

價每千克70元時日均銷售60kg；單價每千克降低一元,日均多售2kg。在銷售過

程中,每天還要支出其他費用500元（天數不足一天時,按一天計算）.如果日均

獲利1950元,求銷售單價

解:(1)若銷售單價為x元,則每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)

千克,日均銷售量為[60+2(70-x)]千克,每千克獲利(x-30)元.

依題意得:

y=(x-30)[60+2(70-x)]-500

=-2x^2+260x-6500

(30<=x<=70)

(2)當日均獲利最多時：單價為65元，日均銷售量為60+2（70-65）＝70kg，那

么獲總利為1950*7000/70＝195000元,當銷售單價最高時：單價為70元，日均

銷售60kg，將這批化工原料全部售完需7000/60約等于117天,那么獲總利為

（70-30）*7000-117*500＝221500

元,而221500>195000時且221500-195000=26500元.

∴銷售單價最高時獲總利最多,且多獲利26500元.

4..運動員起跑20m后速度才能達到最大速度10m/s,若運動員的速度是均勻

增加的,則他起跑開始到10m處時需要多少s?

5.一輛警車停在路邊,當警車發(fā)現一輛一8M/S的速度勻速行駛的貨車有違

章行為,決定追趕,經過2.5s,警車行駛100m追上貨車.試問

(1)從開始加速到追上貨車,警車的速度平均每秒增加多少m?

(2)從開始加速到行駛64m處是用多長時間?

4解：

（0+10)除2為平均增加為5

（0+5a）除2乘a

5解：

2.5*8=20100-20=8080/8=10

100/【（0+10a）/2】=10解方程為2

64/【（0+2a)/2】=a解方程為8

6.一容器裝滿20L純酒精，第一次倒出若干升后，用水加滿，第二次又倒出

同樣升數的混合液，再用水加滿，容器里只有5L的純酒精，第一次倒出的酒精

多少升？（過程）

解：設第一次倒出x升，則第二次為x（20-x）/20.(此處為剩下的酒精占

總體積20升的多少即比率然后乘上倒出的升數即為倒出的純酒精數

則20-x-x(20-x)/20=5

解得x=10

6.1一個長方體的長與寬的比為5：2，高為5厘米，表面積為40平方厘米。

畫出這個長方體的展開圖，及其過程（設未知數）

解：設寬為2x，長為5x。

2*（2x*5x+2x*5+5x*5）=40

10x的平方+35x-20=0

x=1/2

寬為1厘米，長為2.5厘米

7.用一個白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制作25個盒身，或制作盒底40個，

一個盒身和兩個盒底配成一套罐頭盒。現在有36張白鐵皮，用多少張制盒身，

多少張制盒底可以使盒身和盒底正好配套？

8.用含30%和75%的兩種防腐藥水，配置含藥50%的防腐藥水18kg，兩種藥水各

需取多少？

7、解：設用X張制罐身用Y張制罐底則X+Y=36X=36-Y

25X=40Y/2X=4Y/54Y/5=36-Y

Y=20X=16

8、解：設30%的取X75%的取Y則30%*X+75%Y=50%*186X+15Y=180

X+Y=18X=18-Y

6*18-6Y+15Y=180

Y=8X=10

9.印度古算術書中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八

分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余使二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮，告我總數

共多少，兩隊猴子在一起。”

解：設共有x只猴子，列方程得

x-(x/8)^2=12

解得：X=48

10.現有長方形紙片一張，長19cm，寬15cm，需要剪去邊長多少的小正方形

才能做成底面積為77平方cm的無蓋長方形的紙盒？

解：設邊長x

則(19-2x)(15-2x)=77

4x^2-68x+208=0

x^2-17x+52=0

(x-13)(x-4)=0,當x=13時19-2x<0不合題意,舍去

故x=4

11.某超市一月分銷售額是20萬元，以后每月的利潤都比上個月的利潤增

長10%，則二月分銷售額是多少？3月的銷售額是多少？

12.某企業(yè)2007年利潤為50萬元，如果以后每年的利潤都比上年的利潤增

長x%。那么2009年的年利潤將達到多少萬元？

13.某種藥品兩次降價，價格降低了36%，求每次降價的百分率

14.某廠經過兩年體制改革和技術革新，生產效率翻了一番，求平均每年的

增長率（精確到0.1%）

11解：二月20*（1+0.1）=22三月22*（1+0.1）=24.2

12解：50*（1+x%）^2

13解：設每次降價的百分率x

x^2=36%

x=60%

14解：設平均每年的增長率x

(x+1)^2=2

x=0.414

15.學校組織一次兵乓球比賽,參賽的每兩個選手都要比賽一場,所有比賽一

共有36場,問有多少名同學參賽？用一元二次方程，化成一般形式。

解：設有X名同學參賽，X*(X-1)/2=36，

一般形式：X方-X-72=0

答案：X=9

16.一拖拉機廠，一月份生產出甲、乙兩種新型拖拉機，其中乙型16臺，

從二月份起，甲型每月增產10臺，乙型每月按相同的增長率逐月遞增，又知二

月份甲、乙兩型的產量之比為3：2，三月份甲、乙兩型產量之和為65臺，求乙

型拖拉機每月增長率及甲型拖拉機一月份的產量。

解：設乙的增長率為X，那么二月乙就是16（1+X）臺，甲就是16（1+X）

×3÷2；三月乙就是16（1+X）2臺，甲就是16（1+X）×3÷2+10臺，所以列出

算式16（1+X）2+16（1+X）×3÷2+10=65求解，然后可以分別算出一月二月

乙的產量，然后就可以解得甲的產量了（求解你自己來吧）

17.

解:設M速度x，則N為（x+1），（BC—3x）的平方加上3（x+1）的平方=10

的平方，解得x=1或x=5/3又因為AC=7，所以x=1，M的速度為1m/s，N的速度

2m/s

18.用長為100cm的金屬絲做一個矩形框.李明做的矩形框的面積為400平方

厘米，而王寧做的矩形框的面積為600平方厘米，你知道這是為什么嗎？

解：設矩形一邊長為X厘米，則相鄰一邊長為1/2（100-2X）厘米，即（50-X）

厘米，依題意得：

X*(50-X)=400解之得：X1=40,X2=10;

X*(50-X)=600解之得：X1=20,X2=30；

所以李明做的矩形的長是40厘米，寬是10厘米；

王寧做的矩形的長是30厘米，寬是20厘米。

19.某商品進價為每件40元，如果售價為每件50元，每個月可賣出210件，

如果售價超過50元，但不超過80元，每件商品的售價每上漲10元，每個月少

賣1件，如果售價超過80元后，若再漲價，每件商品的售價每漲1元，每個月

少賣3件。設該商品的售價為X元。

（1）、每件商品的利潤為元。若超過50元，但不超過80元，每

月售件。

若超過80元，每月售件。（用X的式子填空。）

（2）、若超過50元但是不超過80元，售價為多少時利潤可達到7200元

(3)、若超過80元，售價為多少時利潤為7500元。

解：1)x-40210-(x-40)10210-(x-40)10-3(x-80)

(2)設售價為a(a-40)[210-(a-40)10=7200

(3)設售價為b(b-40)[210-(b-40)10-3(b-80)=7500（第2、

3問也可設該商品的售價為X1x2元）

20.某商場銷售一批襯衫，平均每天可出售30件，每件賺50元，為擴大銷

售，加盈利，盡量減少庫存，商場決定降價，如果每件降1元，商場平均每天可

多賣2件，若商場平均每天要賺2100元，問襯衫降價多少元

解：襯衫降價x元

2100=(50-x)(30+2x)=1500+70x-x^2

x^2-70x+600=0

(x-10)(x-60)=0

x-60=0x=60>50舍去

x-10=0x=10

21.在一塊面積為888平方厘米的矩形材料的四角，各剪掉一個大小相同的

正方形（剪掉的正方形作廢料處理，不再使用），做成一個無蓋的長方體盒子，

要求盒子的長為25cm，寬為高的2倍，盒子的寬和高應為多少？

解：設剪去正方形的邊長為x,x同時是盒子的高，則盒子寬為2x;

矩形材料的尺寸：

長：25+2x

寬：4x;

(25+2x)*4x=888,

解得：x1=6,x2=-18.5(舍去）

盒子的寬：12cm；盒子的高：6cm。

22.甲乙二人分別從相聚20千米的A、B兩地以相同的速度同時相向而行，

相遇后，二人繼續(xù)前進，乙的速度不變，甲每小時比原來多走1千米，結果甲到

達B地后乙還需30分鐘才能到達A地，求乙每小時走多少千米？

解：可以設乙每小時走a千米

乙從中點相遇后到A地需要時間10/a

甲從中點相遇后到B地需要時間10/a-0.5

根據題意建立方程

(10/a-0.5)(a+1)=10

a=4

即乙每小時走4千米

23.某企業(yè)2005年初投資100萬元生產適銷對路的產品，2005年底，將獲

得的利潤與年初的投資和作為2006年初的投資。道2006年底，兩年共獲得56

萬元，已知2006年的年獲利率比2005年的年獲利率多10個百分點，求2005

和2006年的年獲利率各是多少

解設2005年獲利率是x

100x+100(1+x)(x+0.1)=56

100x+100x平方+110x+10-56=0

100x平方+210x-46=0

(20x+46)(5x-1)=0

x1=-2.3(舍）x2=0.2

0.2+0.1=0.3

2005年獲利率是20%，2006年獲利率是30%

24.某公司生產開發(fā)了960件新產品，需要經過加工后才能投放市場，現在

有A，B兩個工廠都想參加加工這批產品，已知A工廠單獨加工這批產品比B工

廠單獨加工這批產品要多用20天，而B工廠每天比A工廠多加工8件產品，公

司需要支付給A工廠每天80元的加工費，B工廠每天120元的加工費。

1.A，B兩個工廠每天各能加工多少件新產品？

2.公司制定產品方案如下：可以由每個廠家單獨完成；也可以由兩個廠家

同時合作完成。在加工過程中，公司需要派一名工程師每天到廠進行技術指導，

并負擔每天5元的午餐補助費。請幫助公司選擇哪家工廠加工比較省錢，并說明

理由。

解：1.設A每天加工x件產品，則B每天加工x+8件產品

由題意得960/x-960/(x+8)=20

解得x=16件

所以A每天加工16件產品，則B每天加工24件產品

2.設讓A加工x件，B加工960-x件

則公司費用為x/16*(80+5)+(960-x)/24*(120+5)

化簡為5/48*x+5000

所以x=0時最省錢，即全讓B廠加工

26.

解設甬道寬為X米

（100+180）*80/2/6=2*80X+100X+（180-100)/2/2*X

280*40/6=160X+100X+20X

280X=280*40/6

X=40/6

X約等于6.67

28.某學校以21元的價格購進一批計算器，該學校自行定價，但每只加價不

能超過進價的50％，若每只以a元出售，可賣出（3400—50a）。請根據上列條

件，并提出一個問題，并解答

某商店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，但物價局

限定每件商品加價不能超過進價的30%。若每件商品售價為a元，則可賣出

（350-10a）。商品計劃要賺400元，則需要賣出多少件商品？每件商品售價多少

元？

解：

(a-21)*（350-10a）=400

-10a^2+560a=-7350

a^2-56a=-735

配方得：

a^2-56a+28^2=-735+28^2

(a-28)^2=9

解得：

a=31或25

驗證：

a=31時，（31-21）/21=47.6%不合法，

a=25時，（25-21）/21=19.0%合法。

答：每件商品售價25元，需要賣出100件。

29.一張桌子的桌面長6米寬為4米。長方形臺布的面積是桌面面積的兩

倍。若將臺布鋪在桌子上四邊（四個角除外）垂下的長度相同，求這塊臺布的

長和寬。

解：設垂下的長度為a，

則：（6+a）*（4+a）＝2*4*6

解得：a＝2或a＝-12(舍去)，

臺布的長、寬分別為8、6

30.一元二次方程解應用題將進貨單價為40元的商品按50元出售時，能

賣500個，如果該商品每漲價1元，其銷售量就減少10個。商店為了賺取8000

元的利潤，這種商品的售價應定為多少?應進貨多少？

解：利潤是標價-進價

設漲價x元,則:

(10+x)(500-10x)=8000

5000-100x+500x-10x^2=8000

x^2-40x+300=0

(x-20)^2=100

x-20=10或x-20=-10

x=30或x=10

經檢驗,x的值符合題意

所以售價為80元或60元

所以應進8000/(10+x)=200個或400個

所以應標價為80元或60元

應進200個或400個

31.甲、乙兩名職工接受相同數量的生產任務，開始時，乙比甲每天少做四

件，乙比甲多用了2天時間，這樣甲、乙兩人各剩624件；隨后，乙改進了生產

技術，每天比原來多做6件，而甲每天的工作量不變，結果兩人完成全部生產任

務所用的時間相同。原來甲乙兩人每天各做多少件？沒人的全部生產任務是多

少?應用題過程謝謝

解：設每人的全部生產任務是y件，甲每天做X+4件，乙原來每天做X件，

依題意得：

(y-624)/x=(y-624)/(x+4)+21式（因為開始時，乙比甲每天少做4件，

乙比甲多用了2天的時間，這樣甲、乙兩人各剩624件~~即根據時間關系列等式）

（y-624）/x+624/(x+6)=y/(x+4)2式（結果兩人完成全部生產任務所用

的時間相同~~~也是根據時間關系列等式）

由1，2式得：（X+30）*（X-20）=0

解之得：X=20,X+4=24，，y=864

答：每人的全部生產任務是864件，甲每天做24件，乙原來每天做20件。

32.用22厘米長的鐵絲，折成一個面積為30平方厘米的長方形，求這個長

方形的長和寬。又問：能否折成面積是32平方厘米的長方形呢？為什么？

解：設長方形的長為x厘米，那么寬為11-x厘米

x(11-x)=32

-x2+11x-32=0

由根的判別式：112-4×1×32=121-128=-7<0

沒有實數根

所以無法折成面積是32平方厘米的長方形

長方形的長寬多少？

解：x(11-x)=30

-x2+11x-30=0

x2-11x+30=0

(x-5)(x-6)=0

x=5或6

這個長方形的長和寬為6厘米和5厘米

33.一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35千米/時的速度前進，

突然，1號隊員以45千米/時的速度獨自前進，行進10千米后調轉車頭，仍以

45千米/時的速度往回騎，直到與其他隊員會合，1號隊員從離隊開始到與隊員

重新會合，經過了多少時間

解：設一共用了x小時，得：

35x=10-45(x-10/45)

35x=10-45x+10

80x=20

x=1/4答：1號隊員從離隊開始到與隊員重新會合，經過了1/4小時。

34.參加一次聚會的每兩個人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人

參加聚會？

35.參加一次足球聯賽的每兩個隊之間都進行兩次比賽，共要比賽90場，共有多

少個隊參加比賽？

36.要組織一次籃球聯賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩個隊之間賽一場），計劃安

排15場比賽，應邀請多少個球隊參加比賽？

解：34、n（n-1）2=10

n=5

35、x（x-1）2*2=90

x=10

36、y（y-1)2=15

y=6

37.某公司生產開發(fā)了960件新產品，需要經過加工后才能投放市場，現在

有A，B兩個工廠都想參加加工這批產品，已知A工廠單獨加工這批產品比B工

廠單獨加工這批產品要多用20天，而B工廠每天比A工廠多加工8件產品，公

司需要支付給A工廠每天80元的加工費，B工廠每天120元的加工費。

1.A，B兩個工廠每天各能加工多少件新產品？

2.公司制定產品方案如下：可以由每個廠家單獨完成；也可以由兩個廠家

同時合作完成。在加工過程中，公司需要派一名工程師每天到廠進行技術指導，

并負擔每天5元的午餐補助費。請幫助公司選擇哪家工廠加工比較省錢，并說明

理由。

解：1.設A每天加工x件產品，則B每天加工x+8件產品

由題意得960/x-960/(x+8)=20

解得x=16件

所以A每天加工16件產品，則B每天加工24件產品

2.設讓A加工x件，B加工960-x件

則公司費用為x/16*(80+5)+(960-x)/24*(120+5)

化簡為5/48*x+5000

所以x=0時最省錢，即全讓B廠加工

38.在某場象棋比賽中，每位選手和其他選手賽一場，勝者記2分，敗者記

0分，平局各記1分，今有四位統(tǒng)計員統(tǒng)計了全部選手的得分之和分別是2025

分、2027分、2080分、2085分，經核實，只有一位統(tǒng)計員的結果是正確的，問

這場比賽有幾位選手參加？

解：無論如何，每一局兩人合計都應得2分，所以最終的總得分一定是偶

數，由于2025、2027、2085都是奇數，所以都不符合題意，所以正確的是第三

個記分員

設有x人參加，則一共比了x（x-1）/2局

你的數字似乎有錯，請確認是否為2070，而不是2080（2080得不

出整數解）

x（x-1）/2=2070/2

x2-x-2070=0

（x-46）（x+45）=0

x1=46，x2=-45（舍）

答：一共有46位選手參加.

39.如圖，在一塊長35M，寬26M的矩形地面上，修剪同樣寬的兩條互相垂

直的道路，（兩條道路與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，要使剩余部

分的面積為850M2，道路的寬應為多少？

40.游行隊伍有8行12列，后又增加69人，使得隊伍增加的行、列數相同，

你知道增加了多少行或多少列嗎？

圖是39題的。

據轉換思想

1解：可設道路的寬為Xm

（35-x）（26-x)=850

x^2-61x+60=0

(x-1)(x-60)=0

x1=1，x2=60

x2=60與題意不符

所以x1=1

道路的寬為1m

2解：設增加x行，即x列

8*12+69=（8+x）（12+x）

69=x^2+20x

x^2+20x-69=0

(x-3)(x+23)=0

x1=-23

x2=3

x1=-23與題意不符

所以x=3

41.隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加.據統(tǒng)

計，某小區(qū)2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達到100

輛.

（1）若該小區(qū)2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相

同，求該小區(qū)到2009年底家庭轎車將達到多少輛？

（2）為了緩解停車矛盾，該小區(qū)決定投資15萬元再建造若干個停車位.

據測算，建造費用分別為室內車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實

際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5

倍，求該小區(qū)最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案.

(1).解：設增長率是x.

64(1+x)2=100

x=0.25

2009年有

100(1+0.25)=125

（2）解：設室內車位為X，則室外車位為(150000-5000X)/1000

有條件得到：0<=2X<=(150000-5000X)/1000<=2.5X

得到20<=X<=21.4

X為整數

所以X取20或21

當X=20是，室內車位為50

當X=21時，室內車位45

所以最多能有70個車位

42.為一副長20CM寬16CM的照片配一個鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，

且鏡框所占面積為照片面積的二分之一，鏡框邊的寬度應為多少

解：方法一：

鏡框邊的寬度為xcm,照片長加兩個寬度，寬加兩個寬度，外部變成一個大

長方形，故大長方形的長為(20+2x)cm，寬為(16+2x)cm，大長方形面積減去照片

（小長方形）面積就是鏡框的面積。

(20+2x)(16+2x)-20*16=20*16/2

4x^2+72x-160=0

x^2+18x-40=0

(x+20)(x-2)=0

x=2,x=-20(舍去）

鏡框邊的寬度應為2cm

方法二：

鏡框的面積就是兩個以照片長為長、鏡框邊的寬度為寬的長方形面積，兩個

以照片寬為長、鏡框邊的寬度為寬的長方形面積，四個以鏡框邊的寬度為邊長的

小正方形面積三部分組成。

2(20x)+2(16x)+4x^2=20*16/2

4x^2+72x-160=0

x^2+18x-40=0

(x+20)(x-2)=0

x=2,x=-20(舍去）

鏡框邊的寬度應為2cm

43．將進貨單價為40元的商品按50元出售時，能賣出500個，已知該商品

每降價1元，其銷售量就要減少10個，為了賺8000元利潤，售價應定為多少？

這時進貨應為多少個？

44．某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價，

若每件商品售價為a元，可以賣出（350－10a）件，但物價局限定每件商品加價

不能超過進價的20％，商店計劃要賺400元，需要賣出多少件商品？每件商品

售價多少？

45.目標P

16

實踐與探究

每件商品的成本是120元，在試銷階段發(fā)現每件售價（元）與產品的日銷售

量（件）始終存在下表中的數量關系，但每天的盈利（元）卻不一樣。為找到每

件產品的最佳定價，商場經理請一位營銷策劃員通過計算，在不改變每件售價

（元）與日銷售量（件）之間的數量關系的情況下，每件定價為m元時，每日盈

利可以達到最佳值1600元。請你做營銷策劃員，m的值應為多少？

每件售價130150165

每日銷售705035

46．某商店如果將進貨價8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件，

現采用提高售價，減少進貨量的方法增加利潤，已知這種商品每漲0.5元，其銷

售量就可以減少10元，問應將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出

最大利潤

43解：設售價應定為x元，根據題意列方程得

??8000)40()50(10500?????xx

整理得

04801402???xx

（x－60）（x－80）＝0

解得x

1

＝60，x

2

＝80

答：當x

1

＝60時，進貨量為400個

當x

2

＝80時，進貨量為200個

44解：由題意列方程得，a(350-10a)-21(350-10a)=400

0775562???aa

（a-25）(a-31)=0

解得，a

1

＝25，a

2

＝31

∵

%20

21

2131

?

?

∴a

2

＝31不合題意舍去

350-10a＝100

答：需要賣出100品，商品售價25元

分析：根據表格可以看出每件的售價每降1元時，每日就多銷售1件，根據

這個隱含條件就可以得出此類型題和以上的練習非常相似了

45.解：若定價為m元時，售出的商品為

［70－（m－130）］件

列方程得

??1600)120()130(70?????mm

整理得

???mm

0)160(2??m

∴m

1

＝m

2

＝160

答：m的值是160

46解：設售價定為x元，則每件的利潤為

（x－8）元，銷售量為

]10

5.0

10

200[?

?

?

x

件，列式得（x－8）

]10

5.0

10

200[?

?

?

x

整理得，

720)14(20

)16028(20

2

2

????

???

x

xx

即當x＝14時，所得利潤有最大值，最大利潤是720元

一、增長率問題

例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈

從十一月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了193.6

萬元，求這兩個月的平均增長率.

解設這兩個月的平均增長率是x.，則根據題意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，

即(1+x)2＝1.21，解這個方程，得x

1

＝0.1，x

2

＝－2.1（舍去）.

答這兩個月的平均增長率是10%.

說明這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數和問題

中每一個數據的意義，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.對于負的增長率問

題，若經過兩次相等下降后，則有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.

二、商品定價

例2益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每

件商品售價a元，則可賣出（350－10a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過

20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？

解根據題意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

解這個方程，得a

1

＝25，a

2

＝31.

因為21×(1+20%)＝25.2，所以a

2

=31不合題意，舍去.

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.

答需要進貨100件，每件商品應定價25元.

說明商品的定價問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點.

三、儲蓄問題

例3王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到

期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定

期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本

金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設不計利息稅）

解設第一次存款時的年利率為x.

則根據題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.

解這個方程，得x

1

≈0.0204＝2.04%，x

2

≈－1.63.由于存款利率不能為負數，所以

將x

2

≈－1.63舍去.

答第一次存款的年利率約是2.04%.

說明這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅.

四、趣味問題

例4一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，

旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2米，

二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不

多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？

解設渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.

則根據題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.

解這個方程，得x

1

＝－1.8（舍去），x

2

＝1.

所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

答渠道的上口寬2.5m，渠深1m.

說明求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到

等量關系，列出方程求解.

五、古詩問題

例5讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）.

大江東去浪淘盡，千古風流數人物；

而立之年督東吳，早逝英年兩位數；

十位恰小個位三，個位平方與壽符；

哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？

解設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x，則十位數字為x－3.

則根據題意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解這個方程，得x＝5或x＝

6.

當x＝5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；

當x＝6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.

答周瑜去世的年齡為36歲.

說明本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數字和年齡問題，通過求解同學們應

從中認真口味.

六、象棋比賽

例6象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者

記0分.如果平局，兩個選手各記1分，領司有四個同學統(tǒng)計了中全部選手的得分總數，

分別是1979，1980，1984，1985.經核實，有一位同學統(tǒng)計無誤.試計算這次比賽共有

多少個選手參加.

解設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n－1)個選手比賽一局，共計n(n

－1)局，但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統(tǒng)計了一次，因此實際比賽總局數應

為n(n－1)局.由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n－1)分.顯然(n－1)與n

為相鄰的自然數，容易驗證，相鄰兩自然數乘積的末位數字只能是0，2，6，故總分不

可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n

－1980＝0，解得n

1

＝45，n

2

＝－44（舍去）.

答參加比賽的選手共有45人.

說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照

些方法求解.

七、情景對話

例7春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如圖1對話中收費

標準.

某單位組織員工去天水灣風景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元.請問該

單位這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游？

解設該單位這次共有x名員工去天水灣風景區(qū)旅游.因為1000×25＝25000＜

27000，所以員工人數一定超過25人.

則根據題意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.

整理，得x2－75x+1350＝0，解這個方程，得x

1

＝45，x

2

＝30.

當x＝45時，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x

1

；

當x

2

＝30時，1000－20(x－25)＝900＞700，符合題意.

答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區(qū)旅游.

說明求解本題要時刻注意對話框中的數量關系，求得的解還要注意分類討論，從

中找出符合題意的結論.

八、等積變形

例8將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面

積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）

（1）設計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.

（2）設計方案2（如圖3）花園中每個角的扇形都相同.

以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形

的半徑；若不能符合條件，請說明理由.

解都能.（1）設小路寬為x，則18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，

解這個方程，得x＝，即x≈6.6.

（2）設扇形半徑為r，則3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.

說

明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或

形變積也變，但重量不變，等等.

九、動態(tài)幾何問題

例9如圖4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，點P

從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s

的速度移動.

（1）如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？

（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC

的面積的一半.若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由.

解因為∠C＝90?/SPAN>，所以AB＝＝＝10（cm）.

（1）設xs后，可使△PCQ的面積為8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝

2xcm.

則根據題意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解這個方程，得x

1

＝2，

x

2

＝4.

所以P、Q同時出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2.

（2）設點P出發(fā)x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半.

則根據題意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.

由于此方程沒有實數根，所以不存在使△PCQ的面積等于ABC面積一半的時刻.

說明本題雖然是一道動態(tài)型應用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必須依

據路程＝速度×時間.

十、梯子問題

例10一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.

（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動多少米？

（2）若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少米？

（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是

多少米？

解依題意，梯子的頂端距墻角＝8（m）.

（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設梯子底端滑動xm.

則根據勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，

解這個方程，得x

1

≈1.14，x

2

≈－13.14（舍去），

所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動約1.14m.

（2）當梯子底端水平向外滑動1m時，設梯子頂端向下滑動xm.

則根據勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.

解這個方程，得x

1

≈0.86，x

2

≈15.14（舍去）.

所以若梯子底端水平向外滑動1m，則頂端下滑約0.86m.

（3）設梯子頂端向下滑動xm時，底端向外也滑動xm.

則根據勾股定理，列方程(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，

解這個方程，得x

1

＝0（舍去），x

2

＝2.

所以梯子頂端向下滑動2m時，底端向外也滑動2m.

說明求解時應注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構

成直角三角形.

十一、航海問題

例11如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目

標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D恰好位于AC的中點，島上

有一補給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，

經B到C勻速巡航．一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一

批物品送往軍艦.

（1）小島D和小島F相距多少海里？

（2）已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E

處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）

解（1）F位于D的正南方向，則DF⊥BC.因為AB⊥BC，D為AC的中點，所以DF

＝AB＝100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.

（2）設相遇時補給船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC

－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.

在Rt△DEF中，根據勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－

1200x+100000＝0.

解這個方程，得x

1

＝200－≈118.4，x

2

＝200+（不合題意，舍去）.

所以，相遇時補給船大約航行了118.4海里.

說明求解本題時，一定要認真地分析題意，及時發(fā)現題目中的等量關系，并能從

圖形中尋找直角三角形，以便正確運用勾股定理布列一元二次方程.

十二、圖表信息

例12如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12，劃分成12×12個小正方形格，將

邊長為n（n為整數，且2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地

擺放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個小正方形格，第二張紙

片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n－1)×(n－1)個小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋

住正方形ABCD的右下角為止.

請你認真觀察思考后回答下列問題：

（1）由于正方形紙片邊長n的取值不同，?完成擺放時所使用正方形紙片的張數也

不同，請?zhí)顚懴卤恚?/p>

紙片的邊長n

23456

使用的紙片張數

（2）設正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計一次）為S

1

，未被蓋住的

面積為S

2

.

①當n＝2時，求S

1

∶S

2

的值；

②是否存在使得S

1

＝S

2

的n值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.

解（1）依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.

（2）S

1

＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.

①當n＝2時，S

1

＝－22+25×2－12＝34，S

2

＝12×12－34＝110.

所以S

1

∶S

2

＝34∶110＝17∶55.

②若S

1

＝S

2

，則有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，

解這個方程，得n

1

＝4，n

2

＝21（舍去）.

所以當n＝4時，S

1

＝S

2

.所以這樣的n值是存在的.

說明求解本題時要通過閱讀題設條件及提供的圖表，及時挖掘其中的隱含條件，

對于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進而構造一元二次方程，看得到的一

元二次方程是否有實數根來加以判斷.

十三、探索在在問題

例13將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一

個正方形.

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度

分別是多少?

（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎?若能，求出兩段鐵絲的長度；若

不能，請說明理由.

解（1）設剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20－x）cm.

則根據題意，得+＝17，解得x

1

＝16，x

2

＝4，

當x＝16時，20－x＝4，當x＝4時，20－x＝16，

答這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm.

（2）不能.理由是：不妨設剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20－y）cm.

則由題意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移項并配方，得(y－10)2

＝－4＜0，所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.

說明本題的第（2）小問也可以運用求根公式中的b2－4ac來判定.若b2－4ac≥0，

方程有兩個實數根，若b2－4ac＜0，方程沒有實數根，本題中的b2－4ac＝－16＜0即

無解.

十四、平分幾何圖形的周長與面積問題

例14如圖7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.點E?在下底

邊BC上，點F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數式表示△

BEF的面積；

（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此

時BE的長；若不存在，請說明理由；

（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？

若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.

解（1）由已知條件得，梯形周長為12，高4，面積為28.

過點F作FG⊥BC于G，過點A作AK⊥BC于K.

則可得，FG＝×4，

所以S△BEF

＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.

（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解這個方程，得x

1

＝7，x

2

＝5（不合題

意，舍去），

所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE＝7.

（3）不存在.假設存在，顯然有S△BEF

∶S多邊形AFECD

＝1∶2，

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.則有－x2+x＝，

整理，得3x2－24x+70＝0，此時的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，

所以不存在這樣的實數x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分

成1∶2的兩部分.

說明求解本題時應注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x

2

＝5時，

并不屬于7≤x≤10，應及時地舍去；三是處理第（3）個問題時的實質是利用一元二次

方程來探索問題的存在性.

十五、利用圖形探索規(guī)律

例15在如圖8中，每個正方形有邊長為1的小正方形組成：

（1）觀察圖形，請?zhí)顚懴铝斜砀瘢?/p>

圖8

正方形邊長

1357

?n（奇數）

黑色小正方形個數?

正方形邊長

2468

?n（偶數）

黑色小正方形個數?

（2）在邊長為n（n≥1）的正方形中，設黑色小正方形的個數為P

1

，白色小正方

形的個數為P

2

，問是否存在偶數n，使P

2

＝5P

1

？若存在，請寫出n的值；若不存在，

請說明理由.

解（1）觀察分析圖案可知正方形的邊長為1、3、5、7、?、n時，黑色正方形的

個數為1、5、9、13、2n－1（奇數）；正方形的邊長為2、4、6、8、?、n時，黑色

正方形的個數為4、8、12、16、2n（偶數）.

（2）由（1）可知n為偶數時P

1

＝2n，所以P

2

＝n2－2n.根據題意，得n2－2n＝5

×2n，即n2－12n＝0，解得n

1

＝12，n

2

＝0（不合題意，舍去）.所以存在偶數n＝12，

使得P

2

＝5P

1

.

說明本題的第（2）小問是屬于存在性問題，求解時，可以先假設結論存在，進

而從中找到數量關系，使問題獲解.