定積分的應(yīng)用

--.

--考試資料

院系:經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院

題目:定積分在生活中的應(yīng)用

年級(jí)專(zhuān)業(yè):11級(jí)市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)班

學(xué)生姓名:天鵬

PINGDINGSHANUNIVERSITY

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--考試資料

定積分在生活中的應(yīng)用

定積分作為大學(xué)里很重要的一部分，在生活有廣泛的應(yīng)用。微積分是

與應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來(lái)的，最初牛頓應(yīng)用微積分是為了從萬(wàn)有引力導(dǎo)出行星

三定律，此后，微積分極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天

文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展，而且隨著人類(lèi)

知識(shí)的不斷發(fā)展，微積分正指引著人類(lèi)走向認(rèn)知的殿堂。

一、定積分的概述

1、定積分的定義：

設(shè)函數(shù)??fx在區(qū)間??,ab上有界.

①在??,ab中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

011nn

axxxxb

?

??????,把區(qū)間??,ab分成n

個(gè)小區(qū)間??????

01121

,,,,,,,

nn

xxxxxx

?

且各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為

110

xxx???，

221

xxx???，…，

1nnn

xxx

?

???。

②在每個(gè)小區(qū)間??

1

,

ii

xx

?

上任取一點(diǎn)

i

?，作函數(shù)??

i

f?與小區(qū)間長(zhǎng)度

i

x?的乘積

??

ii

fx??（1,2,,in?），

③作出和??

1

n

ii

i

Sfx?

?

???。記??

12

max,,,

n

Pxxx????作極限??

0

1

lim

n

ii

P

i

fx?

?

?

??

如果不論對(duì)??,ab怎樣分法，也不論在小區(qū)間??

1

,

ii

xx

?

上點(diǎn)

i

?怎樣取法，只要當(dāng)

0P?時(shí)，和S總趨于確定的極限I，這時(shí)我們稱(chēng)這個(gè)極限I為函數(shù)??fx在

--.

--考試資料

區(qū)間??,ab上的定積分（簡(jiǎn)稱(chēng)積分），記作??b

a

fxdx?，即

??b

a

fxdx?=

I

=??

0

1

lim

n

ii

P

i

fx?

?

?

??,

其中??fx叫做被積函數(shù)，??fxdx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a叫做

積分下限，b叫做積分上限，?,ab

?

?

叫做積分區(qū)間。

2．定積分的性質(zhì)

設(shè)函數(shù)??fx和??gx在??,ab上都可積，k是常數(shù)，則??kfx和??fx+??gx都

可積，并且

性質(zhì)1??b

a

kfxdx?=??b

a

kfxdx?;

性質(zhì)2????b

a

fxgxdx?

??

???=??b

a

fxdx?+??b

a

gxdx?

????b

a

fxgxdx?

??

???=??b

a

fxdx?-??b

a

gxdx?.

性質(zhì)3定積分對(duì)于積分區(qū)間的可加性

設(shè)??fx在區(qū)間上可積，且a，b和c都是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則不論a，b和c的

相對(duì)位置如何，都有??c

a

fxdx?=??b

a

fxdx?+??c

b

fxdx?。

性質(zhì)4如果在區(qū)間??,ab上??fx?1，則1b

a

dx?=b

a

dx?=ba?。

性質(zhì)5如果在區(qū)間??,ab上??fx

?0,則??b

a

fxdx??0??ab?。

性質(zhì)6如果在],[ba上,Mxfm??)(,則?????

b

a

abMdxxfabm)()()(

性質(zhì)7（定積分中值定理）如果)(xf在],[ba上連續(xù)，則在],[ba上至少

存一點(diǎn)?使得???

b

a

abfdxxf))(()(?

3．定理

定理1微積分基本定理

如果函數(shù)??fx在區(qū)間??,ab上連續(xù),則積分上限函數(shù)??x?

=??x

a

ftdt?在??,ab上可

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導(dǎo),并且它的導(dǎo)數(shù)是??'x?

=

??x

a

dftdt

dx

?

=??fx??axb??.

定理2原函數(shù)存在定理

如果函數(shù)??fx在區(qū)間??,ab上連續(xù),則函數(shù)??x?

=??x

a

ftdt?就是??fx在??,ab

上的一個(gè)原函數(shù).

定理3如果函數(shù)??Fx是連續(xù)函數(shù)??fx在區(qū)間??,ab上的一個(gè)原函數(shù),

則??b

a

fxdx?=????FbFa?

稱(chēng)上面的公式為牛頓-萊布尼茨公式.

二、定積分的應(yīng)用

1、定積分在幾何中的應(yīng)用

（1）設(shè)連續(xù)函數(shù))(xf和)(xg滿足條件)(xg?)(xf，?x

],[ba．求曲線

?y)(xf，?y)(xg及直線bxax??,所圍成的平面圖形的面積S．（如圖1）

解法步驟：

第一步：在區(qū)間],[ba上任取一小區(qū)間],[dxxx?，并考慮它上面的圖形的

面積，這塊面積可用以)]()([xgxf?為

高，以dx為底的矩形面積近似，于是

dxxgxfdS)]()([??．

第二步：在區(qū)間],[ba上將dS無(wú)限求

和，得到???b

a

dxxgxfS)]()([.

（2）上面所訴方法是以x為積分變量進(jìn)

行微元，再求得所圍成圖形的面積；我

們還可以將y作為積分變量進(jìn)行微元，

再求圍成的面積。由連續(xù)曲線)(yx??、

)(yx??其中)()(yy???與直線cy?、

dy?所圍成的平面圖形（圖2）的面積

為：

???d

c

dyyyS)]()([??

例1求由曲線xysin?，xycos?及

圖2

--.

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直線0?x，??x所圍成圖形的面積A．

解（1）作出圖形，如圖所示．

易知，在],0[?上，曲線xysin?與

xycos?

的交點(diǎn)為)

2

2

,

4

(

?

；

（2）取x為積分變量，積分區(qū)間為],0[?．從圖中可以看出，所圍成的

圖形可以分成兩部分；

（3）區(qū)間]

4

,0[

?

上這一部分的面積

1

A和區(qū)間],

4

[?

?

上這一部分的面積

2

A

分別為

???4

0

1

)sin(cos

?

dxxxA，???

?

?

4

2

)cos(sindxxxA，

所以，所求圖形的面積為

21

AAA??=??4

0

)sin(cos

?

dxxx+??

?

?

4

)cos(sindxxx

????22sincoscossin

4

4

0

???????

?

?

xxxx．

例2求橢圓22

22

1

xy

ab

??的面積.

解橢圓關(guān)于x軸,y軸均對(duì)稱(chēng),故所求面積為第一象限部分的面積的4

倍,即

1

0

44aSSydx???利用橢圓的參數(shù)方程

cos

sin

xat

ybt

?

?

?

?

?

應(yīng)用定積分的換元法,sindxatdt??,且當(dāng)0x?時(shí),,

2

txa

?

??時(shí),0t?,于是

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--考試資料

0

2

2

2

0

2

0

4sin(cos)

4sin

1cos2

4

2

1

4sin2

2

24

0

Sbtatdt

abtdt

t

abdt

t

abtab

?

?

?

?

?

??

?

?

?

??

???

??

??

?

?

?

2．求旋轉(zhuǎn)體體積

用類(lèi)似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積，例

如一個(gè)木塊的體積，我們可以將此木塊作分割bxxxaT

n

???????

10

:劃分

成許多基本的小塊，每一塊的厚度為),,2,1(nix

i

???，假設(shè)每一個(gè)基本的小

塊橫切面積為),,2,1)((nixA

i

??，)(xA為??ba,上連續(xù)函數(shù)，則此小塊的體積大

約是

ii

xxA?)(，將所有的小塊加起來(lái)，令0?T，我們可以得到其體積：

?

????

?

?

b

a

n

i

ii

T

dxxAxxAV)()(lim

1

0

。

例2求由曲線4?xy,直線1?x,4?x,0?y繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的

立體體積.

解先畫(huà)圖形，因?yàn)閳D形繞x軸旋轉(zhuǎn)，所以取x為積分變量，x的變化

區(qū)間為[1,4]，相應(yīng)于[1，4]上任取一子區(qū)間[x,x+xd]的小窄條，繞x軸旋轉(zhuǎn)

而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為xd，底面積為2πy的小圓柱體體積近似代

替，

即體積微元為

Vd=2πyxd=π2)

4

(

x

xd,

于是，體積

V=π?4

1

2d)

4

(x

xOx

xx+dx

xy=4

y

1

4

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--考試資料

=16π?4

1

2

d

1

x

x

??16π4

1

1

x

=12π.

3.求曲線的弧長(zhǎng)

（1）設(shè)曲線)(xfy?在??ba,上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)（如下圖）,利用微元法，

取x為積分變量，在??ba,上任取小區(qū)間??xxxd,?，切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段

MT的長(zhǎng)度近似代替一段小弧MN的長(zhǎng)度，即dsl

MN

?.得弧長(zhǎng)微元為：

dxyyxMTs222)(1)d()d(d

?

?????,再對(duì)其積分，

則曲線的弧長(zhǎng)為：dxxfdxydssb

a

b

a

b

a????

??

?

???22)]([1)(1

（2）參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長(zhǎng)計(jì)

算，設(shè)曲線

?

?

?

?

?

)(

)(

ty

tx

?

?

上??,t???一段的弧

長(zhǎng).這時(shí)弧長(zhǎng)微元為：

????22

22dxdy

dsdxdydt

dtdt

????

????

????

????

即

????22dsttdt????

??

則曲線的弧長(zhǎng)為

dtttdss???

?

?

??

?

?

?

?

??22)]([)]([

例3(1)求曲線2

3

3

2

xy?上從0到3一段弧的長(zhǎng)度

解由公式s=xyb

a

d12??

?（ba?）知,弧長(zhǎng)為

s=xyd13

0

2??

?=xx??3

0

d1=

3

2

3

0

2

3

)1(x?=

3

16

3

2

?=

3

14

.

(2)求擺線

(sin),

(1cos)

xatt

yat

??

?

?

??

?

在?20??t上的一段弧的長(zhǎng)度（0?a）．

解取t為積分變量，積分區(qū)間為]2,0[?．由擺線的參數(shù)方程，得

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--考試資料

)cos1(tax??

?，taysin?

?，

tatayx222222sin)cos1(???

?

?

?

|

2

sin|2)cos1(2

t

ata???．

于是，由公式（16-13），在

?20??t上的一段弧的長(zhǎng)度為

22

00

2|sin|2sin

22

tt

sadtadt

??

????2

0

4cos8

2

t

aa

???

???

??

??

2、定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

（1）、由經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際，求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的增量

根據(jù)邊際成本，邊際收入，邊際利潤(rùn)以及產(chǎn)量x的變動(dòng)區(qū)間[,]ab上的改

變量（增量）就等于它們各自邊際在區(qū)間[,]ab上的定積分：

()()()b

a

RbRaRxdx

?

???（1）

()()()b

a

CbCaCxdx

?

???（2）

()()()b

a

LbLaLxdx

?

???（3）

例1已知某商品邊際收入為0.0825x??（萬(wàn)元/t），邊際成本為5（萬(wàn)元

/t），求產(chǎn)量x從250t增加到300t時(shí)銷(xiāo)售收入()Rx，總成本C()x，利潤(rùn)()Ix的

改變量（增量）。

解首先求邊際利潤(rùn)

()()()0.082550.0820LxRxCxxx

???

?????????

所以根據(jù)式（1）、式（2）、式（3），依次求出：

300

250

(300)(250)()RRRxdx

?

???300

250

(0.0825)xdx????=150萬(wàn)元

300300

250250

(300)(250)()CCCxdxdx

?

?????=250萬(wàn)元

300300

250250

(300)(250)()(0.0820)LLLxdxxdx

?

???????=?100萬(wàn)元

（2）、由經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率，求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率

--.

--考試資料

設(shè)某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率為()ft，則稱(chēng)2

1

21

()t

t

ftdt

tt?

?

為該經(jīng)濟(jì)函數(shù)在時(shí)間間隔

21

[,]tt

內(nèi)的平均變化率。

例2某銀行的利息連續(xù)計(jì)算，利息率是時(shí)間

t

（單位：年）的函數(shù)：

()0.080.015rtt??

求它在開(kāi)始2年，即時(shí)間間隔[0，2]內(nèi)的平均利息率。

解由于

22

00

()(0.080.015)rtdttdt????2

0

0.160.010.160.022tt????

所以開(kāi)始2年的平均利息率為

2

0

()

0.080.012

20

rtdt

r???

?

?

0.094?

例3某公司運(yùn)行

t

（年）所獲利潤(rùn)為()Lt（元）利潤(rùn)的年變化率為

5()3101Ltt

?

???（元/年）求利潤(rùn)從第4年初到第8年末，即時(shí)間間隔[3，

8]內(nèi)年平均變化率

解由于

3

88

5585

2

3

33

()3101210(1)3810Ltdttdtt

?

???????????

所以從第4年初到第8年末，利潤(rùn)的年平均變化率為

8

5

3

()

7.610

83

Ltdt

?

??

?

?

（元/年）

即在這5年內(nèi)公司平均每年平均獲利57.610?元。

（3）、由貼現(xiàn)率求總貼現(xiàn)值在時(shí)間區(qū)間上的增量

設(shè)某個(gè)項(xiàng)目在

t

（年）時(shí)的收入為()ft（萬(wàn)元），年利率為r，即貼現(xiàn)

率是()rtfte?，則應(yīng)用定積分計(jì)算，該項(xiàng)目在時(shí)間區(qū)間[,]ab上總貼現(xiàn)值的增量

為()b

rt

a

ftendt??。

--.

--考試資料

設(shè)某工程總投資在竣工時(shí)的貼現(xiàn)值為A（萬(wàn)元），竣工后的年收入預(yù)計(jì)

為a（萬(wàn)元）年利率為r，銀行利息連續(xù)計(jì)算。在進(jìn)行動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析時(shí)，把

竣工后收入的總貼現(xiàn)值達(dá)到A，即使關(guān)系式

0

T

rtaedtA???

成立的時(shí)間T（年）稱(chēng)為該項(xiàng)工程的投資回收期。

例4某工程總投資在竣工時(shí)的貼現(xiàn)值為1000萬(wàn)元，竣工后的年收入預(yù)

計(jì)為200萬(wàn)元，年利息率為0.08，求該工程的投資回收期。

解這里1000A?，200a?，0.08r?，則該工程竣工后T年內(nèi)收入的總

貼現(xiàn)值為0.080.080.08

0

0

200

2002500(1)

0.08

T

ttTTedtee??????

?

?

令0.082500(1)Te??=1000，即得該工程回收期為

110001

ln(1)ln0.6

0.0825000.08

T?????=6.39（年）

3、定積分在物理中的應(yīng)用

1、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

我們知道，作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v=v

(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分，即()b

a

svtdt??

例1、一輛汽車(chē)的速度一時(shí)間曲線如圖

所示．求汽車(chē)在這1min行駛的路程．

解：由速度一時(shí)間曲線可知：

3,010,

()30,1040

1.590,4060.

tt

vtt

tt

??

?

?

???

?

?

????

?

因此汽車(chē)在這1min行駛的路程是：

104060

01040

3[30(1.590)stdtdttdt????????

--.

--考試資料

21040260

01040

33

|30|(90)|1350()

24

ttttm??????

答：汽車(chē)在這1min行駛的路程是1350m.

總結(jié)：從上面的論述中可以看出，定積分的應(yīng)用十分的廣泛，利用定

積分來(lái)解決其他學(xué)科中的一些問(wèn)題，是十分的簡(jiǎn)潔、方便，由此可對(duì)見(jiàn)向

學(xué)習(xí)、思維的妙處.因此我們要學(xué)會(huì)橫向?qū)W習(xí)，各個(gè)學(xué)科之間都是有聯(lián)系的，

若我們能夠在學(xué)習(xí)中把這些聯(lián)系找出來(lái)并加以分析、總結(jié)并應(yīng)用，則不僅

能加深對(duì)知識(shí)的理解，貫通了新舊知識(shí)，還能拓寬知識(shí)的應(yīng)用范圍、活躍

思維，無(wú)論從深度上還是廣度上都是質(zhì)的飛躍.