平行線判定

1

授課主題

平行線

教學目的

１.理解平行線的概念，掌握平行公理及其推論；

2.掌握平行線的判定方法及性質,并能進行簡單的推理

３.掌握命題的定義，知道一個命題是由“題設”和“結論”兩部分組成,對于給定的命

題,能找出它的題設和結論；

教學重點

平行線的判定及性質

教學內容

【知識梳理】

要點一、平行線

１．定義:在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線ａ與b平行，記作a∥b.

要點詮釋：

(1)平行線的定義有三個特征:一是在同一個平面內;二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可;

(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行,兩條線段不相交并不意味著它們就平

行.

（3)在同一平面內，兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線,不屬于

上述任何一種位置關系．

2.平行公理:經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．

3．推論:如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

要點詮釋:

(1)平行公理特別強調“經過直線外一點”,而非直線上的點，要區別于垂線的第一性質.

（２)公理中“有”說明存在;“只有”說明唯一．

(3)“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.

要點二、直線平行的判定

判定方法1：同位角相等,兩直線平行.如上圖,幾何語言:

∵∠3＝∠2

∴ＡB∥CＤ(同位角相等，兩直線平行)

判定方法2:內錯角相等,兩直線平行.如上圖，幾何語言：

∵∠１＝∠2

∴ＡB∥CD（內錯角相等，兩直線平行)

判定方法3：同旁內角互補,兩直線平行.如上圖,幾何語言:

∵∠４+∠2＝１80°

∴AＢ∥ＣD（同旁內角互補,兩直線平行)

要點詮釋：平行線的判定是由角相等或互補,得出平行，即由數推形.

要點三、平行線的性質

性質1：兩直線平行,同位角相等；

性質2：兩直線平行,內錯角相等；

性質3:兩直線平行,同旁內角互補．

2

要點詮釋:?（1)“同位角相等、內錯角相等”、“同旁內角互補”都是平行線的性質的一部分內容，切不可忽

視前提“兩直線平行”．

(2)從角的關系得到兩直線平行，是平行線的判定;從平行線得到角相等或互補關系，是平行線的性質.

要點四、兩條平行線的距離

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線

的距離．

要點詮釋：

（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點,向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條

平行線的距離.

(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個定值,不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距

離處處相等.

要點五、命題、定理、證明

1．命題:判斷一件事情的語句,叫做命題.?要點詮釋：

(1）命題的結構:每個命題都由題設、結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．

(2）命題的表達形式:“如果……，那么…….”，也可寫成:“若……,則……．”

(3）真命題與假命題：

真命題:題設成立結論一定成立的命題，叫做真命題.

假命題：題設成立而不能保證結論一定成立的命題，叫做假命題．

2.定理:定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發，經過推理證實得到的另一個真命題，定理也

可以作為繼續推理的依據．

3.證明:在很多情況下,一個命題的正確性需要經過推理,才能作出判斷,這個推理過程叫做證明.

要點詮釋:

（1)證明中的每一步推理都要有根據,不能“想當然”,這些根據可以是已知條件，學過的定義、基本事實、

定理等.

(2）判斷一個命題是正確的，必須經過嚴格的證明;判斷一個命題是假命題,只需列舉一個反例即可.

要點六、平移

1．定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,圖形的這種移動叫做平移.

要點詮釋:

(1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．

(2)圖形的平移不改變圖形的形狀與大小,只改變圖形的位置.

2．性質：

圖形的平移實質上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小,具體來

說:

(1)平移后,對應線段平行且相等;

（2）平移后，對應角相等；

(3)平移后,對應點所連線段平行且相等；

（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.

3

【典型例題】

類型一、平行線

例1.下列說法正確的是(）

A．不相交的兩條線段是平行線．

B.不相交的兩條直線是平行線.

Ｃ．不相交的兩條射線是平行線.

D．在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線．

【答案】D

例2.在同一平面內，下列說法:（１)過兩點有且只有一條直線;（2）兩條直線有且只有一個公共點;(3)過一

點有且只有一條直線與已知直線垂直;(4)過一點有且只有一條直線與已知直線平行。其中正確的個數為:(）

A．1個B．2個C.3個D．4個

【答案】B

【解析】正確的是:(1)(3).

【變式１】下列說法正確的個數是(）

（１)直線a、b、c、ｄ,如果a∥b、c∥b、c∥d,則ａ∥d.

(2)兩條直線被第三條直線所截，同旁內角的平分線互相垂直.

（3）兩條直線被第三條直線所截,同位角相等.

（４）在同一平面內,如果兩直線都垂直于同一條直線,那么這兩直線平行．

A.1個B.2個C．3個D．4個

【答案】Ｂ

類型二、兩直線平行的判定

例3.如圖,給出下列四個條件：(1）AC=BD；（2)∠DＡC=∠BCＡ;

(3)∠AＢD=∠CDB；（４）∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC的條件有()．

A.(1)（2)B．(３)（4）C．（２）（４）D.(1)(3）（４）

【答案】C

【變式2】一個學員在廣場上駕駛汽車,兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可

能是(）

Ａ.第一次向左拐3０°，第二次向右拐３0°

B．第一次向右拐50°,第二次向左拐1３０°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐１３０°

D.第一次向左拐50°,第二次向左拐1３0°

例4.如圖所示,已知∠B=25°,∠ＢCＤ=45°,∠ＣDE=3０°，∠E=10°.試說明ＡＢ∥EF的理由．

解法1:如圖所示,在∠BCD的內部作∠BＣM=２５°，

在∠ＣＤE的內部作∠EDN＝10°.

∵∠B=25°,∠E＝10°（已知)，

∴∠B=∠BＣM,∠E＝∠EDN(等量代換).

4

∴AB∥ＣM,EF∥ＤN（內錯角相等，兩直線平行).

又∵∠BCD＝45°，∠CDＥ＝30°(已知），

∴∠ＤＣM=20°,∠CDN＝2０°(等式性質)．

∴∠DCM＝∠ＣＤＮ(等量代換)．

∴ＣM∥DＮ(內錯角相等，兩直線平行）．

∵ＡＢ∥CM,EF∥DＮ(已證),

∴AB∥ＥF(平行線的傳遞性)．

解法２：如圖所示,分別向兩方延長線段CＤ交EF于M點、交AＢ于N點.

∵∠ＢCD=45°,∴∠NCＢ=1３5°．

∵∠Ｂ=２5°，

∴∠ＣNB＝１80°－∠NCB-∠B＝２０°（三角形的內角和等于18０°).

又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM=150°．

又∵∠E＝１0°,

∴∠EMD=１80°－∠EＤM-∠E＝20°(三角形的內角和等于１80°).

∴∠CNB=∠EMD（等量代換）．

所以ＡB∥EF(內錯角相等，兩直線平行）.

【變式3】已知,如圖，BＥ平分?ＡＢD,ＤE平分?CDＢ,且?1與?２互余，試判斷直線AB、ＣD的位置關

系,請說明理由．

解:AＢ∥CD,理由如下:

∵BＥ平分∠ABＤ,DＥ平分∠CDB,

∴∠AＢD=2∠1，∠CDB=2∠2.

又∵∠１＋∠2=90°,

∴∠ＡBD+∠CDB＝18０°.

∴ＡB∥ＣD（同旁內角互補,兩直線平行).

【變式4】已知，如圖,ＡB?ＢＤ于B，CD＾BＤ于D,?1+?2＝1８0°,求證：ＣD/／EF.

【答案】

證明：∵AB?BD于B，CD?BD于D,

∴AB∥ＣD.

又∵?1+?2=180°，

∴ＡＢ∥EＦ.

∴CD//EF．

類型三、平行線的性質?

例5．如圖所示，如果ＡB∥DF,ＤE∥BC,且∠１＝６5°．那么你能說出∠

２、∠3、∠４的度數嗎?為什么．

解：∵DE∥BC，

∴∠４=∠１＝65°（兩直線平行,內錯角相等).

5

∠２＋∠１＝１8０°(兩直線平行，同旁內角互補)．

∴∠2＝18０°-∠１＝180°-６5°＝115°．

又∵DF∥AB(已知)，

∴∠3=∠2(兩直線平行，同位角相等).

∴∠3＝１１5°(等量代換).

【變式5】如圖,已知

1234

//,//llll，且∠1=４８°，則∠2=，∠3＝,∠4=.

【答案】48°,1３2°,48°

【變式６】如圖所示,直線l１∥l

2

,點A、B在直線l２上,點C、D在直線l

1

上,若△ABC的面積為Ｓ１,△ABD

的面積為S２,則()

A．S

1

>S

2

Ｂ.S１＝Ｓ

2

Ｃ.S

1

2

Ｄ.不確定

【答案】B

類型四、命題?

例６.判斷下列語句是不是命題,如果是命題，是正確的?還是錯誤的?

①畫直線ＡB;②兩條直線相交,有幾個交點;③若a∥b，b∥ｃ，則a

∥ｃ;④直角都相等;⑤相等的角都是直角;⑥如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角．

【答案】①②不是命題；③④⑤⑥是命題;③④⑥是正確的命題;⑤是錯誤的命題.

【變式８】把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式．

(1)兩直線平行,同位角相等;

(2）對頂角相等；

(3）同角的余角相等．

【答案】

解：（１）如果兩直線平行，那么同位角相等.

（2）如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等．

(３）如果有兩個角是同一個角的余角，那么它們相等．

類型四、平移

例7.(湖南益陽）如圖所示，將△ABC沿直線AB向右平移后到達△ＢDE的

位置,若∠ＣＡB=50°,∠ＡBC＝10０°,則∠CBE的度數為____＿___.

【答案】30°

【變式9】（上海靜安區一模)如圖所示，三角形FDE經過怎樣的平移可以得到三角形ABＣ()

A.沿EC的方向移動DB長

B.沿BD的方向移動BＤ長

C.沿EC的方向移動CD長

D.沿BD的方向移動DC長

6

【答案】A

類型五、平行的性質與判定綜合應用

例8、如圖所示,ＡB∥EF,那么∠BAC+∠AＣＥ+∠CＥF＝()

A．180°B．27０°C.３60°Ｄ．54０°

【答案】C

【解析】過點C作CD∥AB,

∵CＤ∥AB,

∴∠BAC＋∠ACD=180°(兩直線平行，同旁內角互補）

又∵ＥF∥AB

∴ＥＦ∥CD．

∴∠DCE+∠CEF=1８０°(兩直線平行，同旁內角互補）

又∵∠ＡCＥ=∠ACD+∠DCE

∴∠BAC+∠ACE+∠CEＦ=∠ＢAC＋∠ＡCD+∠DCE+∠CEF＝180°+180°＝３６０°

【課后作業】

一、選擇題

1．下列說法中正確的有()

①一條直線的平行線只有一條.

②過一點與已知直線平行的直線只有一條.

③因為a∥b,c∥d,所以a∥d．

④經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．

Ａ.1個B．2個C．3個D．４個

2.如果兩個角的一邊在同一直線上,另一邊互相平行，則這兩個角()

A.相等B.互補Ｃ.互余Ｄ.相等或互補

３.如圖,能夠判定DE∥BC的條件是()

A．∠ＤＣE＋∠DEC＝180°B.∠ＥDC=∠DCB

Ｃ．∠BGＦ＝∠DCBD．CD⊥ＡB,GF⊥ＡB

4.一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同,那么這兩次拐彎的角度可能

是（）．

7

A．第一次向右拐4０°，第二次向右拐140°.

B．第一次向右拐4０°，第二次向左拐40°.

Ｃ．第一次向左拐40°,第二次向右拐1４０°．

D．第一次向右拐１４0°，第二次向左拐4０°.

5．如圖所示,下列條件中，不能推出AB∥CE成立的條件是()

A.∠A＝∠AＣＥB.∠B＝∠ACEC.∠B=∠ECDＤ.∠B+∠BCE=18０°

６.(紹興）學習了平行線后，小敏想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法,她是通過折一

張半透明的紙得到的（如圖,(1）—（4））：

從圖中可知,小敏畫平行線的依據有（)

①兩直線平行，同位角相等．②兩直線平行,內錯角相等.③同位角相等,兩直線平行.

④內錯角相等，兩直線平行.

A.①②B.②③Ｃ.③④D.④①

二、填空題

7.在同一平面內的三條直線,它們的交點個數可能是_＿__＿___.

8．如圖,DF平分∠CＤＥ,∠CDＦ=５５°，∠Ｃ＝70°,則＿＿_____＿∥＿______＿．

９.規律探究:同一平面內有直線a

1

,ａ

2

,ａ３…,a

100

，若a１⊥a２，a２∥a

3

，a

3

⊥a４…,按此規律,a

1

和ａ

100

的位置

是＿__＿＿_＿_.

10．已知兩個角的兩邊分別平行,其中一個角為40°,則另一個角的度數是

11．直線

l

同側有三點A、B、Ｃ,如果A、B兩點確定的直線

l

?與B、C兩點確定的直線

l

??都與

l

平行,則

A、B、C三點，其依據是

12.如圖，ＡB⊥EＦ于點G，CD⊥EF于點H，GP平分∠EGB,ＨQ平分∠ＣＨF,則圖中互相平行的直線

有．

8

三、解答題

13.如圖,∠1＝60°,∠2＝６0°,∠3＝10０°,要使AB∥EF，∠4應為多少度?說明理由．

14.小敏有一塊小畫板（如圖所示）,她想知道它的上下邊緣是否平行,而小敏身邊只有一個量角器，你能幫

助她解決這一問題嗎？

15.如圖,把一張長芳形紙條ABCＤ沿AF折疊，已知∠ＡＤＢ=２０°，那么∠BAF為多少度時,才能使AB′

∥BD?

16.如圖所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ＡＢC,可推出哪兩條線段平行，寫出推理過程，如果推出另兩條線

段平行,則應將以上兩條件之一作如何改變?

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】只有④正確，其它均錯.

2．【答案】Ｄ

３．【答案】B

【解析】內錯角相等，兩直線平行.

４.【答案】B

5.【答案】B

【解析】∠B和∠ACE不是兩條直線被第三條直線所截所得到的角.

6.【答案】C

【解析】解決本題關鍵是理解折疊的過程,圖中的虛線與已知的直線垂直，過點Ｐ的折痕與虛線垂直．

二、填空題

7.【答案】0或1或2或3個;

８．【答案】BC,DE；

9

【解析】∠CFD=１8０°-70°－５5°＝5５°,而∠FＤE=∠CＤF＝55°，所以∠CFD＝∠ＦDE．

9.【答案】ａ

1

∥a

100

;

【解析】為了方便,我們可以記為a

1

⊥ａ２∥ａ

3

⊥a

4

∥a

5

⊥a

6

∥a７⊥a８∥a９⊥a

1０…∥ａ

97

⊥a

98

∥a

99

⊥a

100

,

因為a１⊥a

2

∥a

3

，所以a

1

⊥ａ

3

，而a

3

⊥a４，所以a

1

∥a

4

∥ａ５.同理得a

5

∥a

8

∥a９,ａ９∥ａ

12

∥ａ１3

,…,接著

這樣的規律可以得a

1

∥a

97

∥a１0０,所以ａ１∥a

1０0

.

10.【答案】4０°或140°

1１．【答案】共線，平行公理;

【解析】此題考查是平行公理，它是論證推理的基礎,應熟練應用.

12.【答案】AＢ∥CD，GＰ∥ＨQ；

【解析】

理由：∵ＡB⊥EＦ，CＤ⊥EF．∴∠AＧE＝∠CHG＝9０°．∴AB∥CD.

∵ＡB⊥EF．∴∠EGＢ＝∠2＝９0°.∴GP平分∠EGB．

∴∠１＝

1

2

ＥＧB＝45°.

∴∠PGH=∠1+∠2＝135°.

同理∠ＧHQ=135°,∴∠ＰＧＨ=∠GＨQ.

∴GP∥HＱ.

三、解答題

１3.【解析】

解:∠4=１00°．理由如下：

∵∠1=60°,∠2=60°，

∴∠１＝∠2，∴AB∥ＣD

又∵∠3＝∠4＝100°，

∴CＤ∥EＦ,∴AB∥EF．

14．【解析】

解:如圖所示，用量角器在兩個邊緣之間畫一條線段ＭＮ，用量角器測得∠1＝5０°,

∠２=５0°,因為∠1=∠２，所以由內錯角相等,兩直線平行,可知畫板的上下邊緣是平行的．

15.【解析】

解:要使ＡB′∥ＢD,只要∠B′AD＝∠ＡDＢ＝20°,

∠Ｂ′AB＝∠BＡD+∠Ｂ′ＡD＝90°+20°＝110°．

∴∠ＢAＦ=

1

2

∠Ｂ′ＡB=

1

2

×１１0°=55°．

１6．【解析】

解:可推出AD∥BC．∵BD平分∠AＢC(已知)．

∴∠1＝∠DBC(角平分線定義)．

又∵∠1＝∠2(已知），∴∠2＝∠DBC（等量代換）．

∴AD∥ＢC(內錯角相等，兩直線平行)．

10

把∠１＝∠2改成∠ＤBC＝∠BDC.