初一數(shù)學(xué)試題

基礎(chǔ)鞏固篇

第一講有理數(shù)

重點(diǎn)分析：

1.回顧以前學(xué)過(guò)的關(guān)于“數(shù)”的知識(shí)，進(jìn)一步理解自然數(shù)、分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的實(shí)際背景，

通過(guò)學(xué)生身邊的例子體驗(yàn)自然數(shù)與分?jǐn)?shù)的意義以及它們?cè)谟?jì)數(shù)、測(cè)量、排序、編碼等方面的

應(yīng)用.

2.從相反意義的量的表示，理解正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念，理解有理數(shù)產(chǎn)生的必然性、合理性.

3.有理數(shù)的分類：按有理數(shù)的整分性可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)；按有理數(shù)的正負(fù)性可以分為正有

理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零.

難點(diǎn)分析：

1.分?jǐn)?shù)都可以化為小數(shù)，有些小數(shù)(有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)）可以化為分?jǐn)?shù).

2.相反意義的量包含兩個(gè)要素：一是它們的意義要相反；二是它們都具有數(shù)量(必須是同一

類量，數(shù)量大小可以不相等）.

下列說(shuō)法中，正確的是(）.

①0是整數(shù)；②0是有理數(shù)；③0是自然數(shù)；④0是正數(shù)；⑤0是負(fù)數(shù)；⑥0是非負(fù)數(shù)．

A.①②③⑥B.①②⑥C.①②③D.②③⑥

思路點(diǎn)撥0是自然數(shù)，是整數(shù)，不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，但屬于非負(fù)數(shù)，根據(jù)題意描述進(jìn)行

判斷即可．

解題過(guò)程①②③⑥正確，0不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，所以④⑤錯(cuò)誤，故選A．

方法歸納本題考查了有理數(shù)的定義，注意掌握0這個(gè)特殊的數(shù)，它是自然數(shù)，也是整數(shù)，

它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．

易錯(cuò)誤區(qū)數(shù)擴(kuò)大到有理數(shù)范圍后，注意0的特殊性，特別注意0是整數(shù)，0既不是正數(shù)，

也不是負(fù)數(shù)，但它是非負(fù)數(shù)．

把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：

-3，0.2，3.14，8，0，-2，20,

1

4

,-6.5，17%，-2

1

8

.

整數(shù)：{…}；

分?jǐn)?shù)：{…}；

正數(shù)：{…}；

負(fù)數(shù)：{…}；

自然數(shù)：{…}；

負(fù)有理數(shù)：{…}．

思路點(diǎn)撥有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分

數(shù)，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．

解題過(guò)程整數(shù)：{-3，8，0，-2，20，…}；

分?jǐn)?shù)：{0.2，3.14,

1

4

,-6.5，17%，-2

1

8

，…}；

正數(shù)：{0.2，3.14，8，20,

1

4

,17%，…}；

負(fù)數(shù)：{-3，-2，-6.5，-2

1

8

，…}；

自然數(shù)：{8，0，20，…}；

負(fù)有理數(shù)：{-3，-2，-6.5，-2

1

8

，…}．

方法歸納本題考查了有理數(shù)的定義，理解有理數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵.注意：有理數(shù)包

括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)．

易錯(cuò)誤區(qū)本題數(shù)據(jù)比較多，大部分?jǐn)?shù)據(jù)承擔(dān)多種角色，所以要注意不重不漏.

(1）已知4個(gè)礦泉水空瓶可以換1瓶礦泉水，現(xiàn)有15個(gè)礦泉水空瓶，若不付錢，最多可以

喝瓶礦泉水.

(2）師生共52人外出春游，到達(dá)后，班主任把買礦泉水的錢給班長(zhǎng)，要他給每人買一瓶礦

泉水.班長(zhǎng)到商店后，發(fā)現(xiàn)商店正在進(jìn)行促銷活動(dòng)，規(guī)定每5個(gè)空瓶可換1瓶礦泉水.班長(zhǎng)只

要買瓶礦泉水，就可以保證每人一瓶.

思路點(diǎn)撥(1）看15里面有幾個(gè)4，再看余下的空瓶包含幾個(gè)4，把個(gè)數(shù)相加即可.(2）因?yàn)?/p>

5個(gè)空瓶=1個(gè)空瓶+1瓶的水，可知4個(gè)空瓶可以換1瓶的水，因此花4瓶的錢可以喝到5

瓶水，所以花40瓶的錢可以喝到50瓶水，還差2瓶單買.

解題過(guò)程(1）15÷4=3(組)……3(瓶)，可先換3瓶礦泉水，喝完后還剩3+3=6個(gè)空瓶，拿

出4個(gè)空瓶換1瓶礦泉水，還剩3個(gè)空瓶，找人借1個(gè)空瓶湊齊4個(gè)空瓶換1瓶礦泉水，喝

完還剩1個(gè)空瓶，再把這個(gè)空瓶還給那個(gè)人，故最多可以喝5瓶礦泉水.

(2）52÷5=10（組）……2（瓶）；4×10+2=42（瓶）.∴班長(zhǎng)只要買42瓶礦泉水，就可以保

證每人一瓶.

方法歸納本題考查的知識(shí)點(diǎn)是推理與論證，題（2）關(guān)鍵要抓住“5個(gè)空瓶可換1瓶礦泉

水”這個(gè)條件，據(jù)此得出“買4瓶就可以喝到5瓶水”這一結(jié)論，然后再列式計(jì)算.

易錯(cuò)誤區(qū)換來(lái)的礦泉水喝完又是空瓶，可以繼續(xù)換.

（1）若m＞0，n＜0，|n|＞|m|，用“＜”號(hào)連接m，n，|n|，-m，請(qǐng)結(jié)合數(shù)軸解答.

（2）由小到大排列下列各分?jǐn)?shù)：

6

11

，

10

17

，

12

19

，

15

23

，

20

33

，

60

91

.

思路點(diǎn)撥（1）首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)；然后根據(jù)

當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“＜”號(hào)連接起來(lái)即可.

（2）本題是比較分?jǐn)?shù)的大小，常規(guī)方法是通分，將分母化成相同的數(shù)，再比較分子的大小，

但本題通分比較復(fù)雜，而如果先把分子通分，即化成分子相同的分?jǐn)?shù)，再比較分母的大小就

比較簡(jiǎn)單了.

解題過(guò)程（1）如圖，∴n＜-m＜m＜|n|.

方法歸納本題考查的是有理數(shù)的大小比較，比較有理數(shù)的大小通常有數(shù)軸法、作差法、作

商法、分類討論法等，題（1）利用數(shù)軸法比較，題（2）是比較多個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，可以通分

比較大小，通分既可以通分母，也可以通分子.

易錯(cuò)誤區(qū)（1）注意：當(dāng)n<0時(shí)，|n|=-n，關(guān)鍵要知道各個(gè)數(shù)表示的點(diǎn)所在的位置.（2）分

子的最小公倍數(shù)是60，通分子與通分母的方法一樣，但要注意分子相同的情況下分母越大

分?jǐn)?shù)值越小.

分子為1、分母是等于2或大于2的自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位.早在三千多年前，古埃及人

就利用分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行書寫和計(jì)算.將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分為幾個(gè)不同的分?jǐn)?shù)單位之和是一個(gè)古老且

有意義的問(wèn)題.例如：.

(1）仿照上例，分別把分?jǐn)?shù)

5

8

和

3

5

拆分成兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)單位之和.

58=；35=.

(2）在上例中，

3

4

=

1

4

+

1

2

，又因?yàn)?/p>

1

2

=

3

6

=

12

6

?

=

1

6

+

2

6

=

1

6

+

1

3

，所以

3

4

=

1

4

+

1

6

+

1

3

，即

3

4

可以寫成三個(gè)不同的分?jǐn)?shù)單位之和.按照這樣的思路，它也可以寫成四個(gè)，甚至五個(gè)不同的

分?jǐn)?shù)單位之和.根據(jù)這樣的思路，探索分?jǐn)?shù)

5

8

能寫成哪些兩個(gè)以上的不同的分?jǐn)?shù)單位之和.

思路點(diǎn)撥(1）由分?jǐn)?shù)單位的意義可知，將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分為幾個(gè)不同的分?jǐn)?shù)單位之和，就是

利用同分母分?jǐn)?shù)的加法或約分的性質(zhì)，把這個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)，使其中一個(gè)分子是

1，另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子能整除分母.(2）只要根據(jù)分?jǐn)?shù)單位的轉(zhuǎn)化方法，把其中一個(gè)分?jǐn)?shù)單位

利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)繼續(xù)拆分即可.

解題過(guò)程(1）.

(2）.(答案不唯一)

方法歸納本題考查了分?jǐn)?shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用、同分母分?jǐn)?shù)的相加以及約分方法，也考查了學(xué)

生的觀察能力.

易錯(cuò)誤區(qū)分子為1、分母是等于或大于2的自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，最大的分?jǐn)?shù)單位

是

1

2

.

請(qǐng)根據(jù)各數(shù)之間的關(guān)系，找規(guī)律填空.

(1）

(2）

(3）

思路點(diǎn)撥(1）觀察圖形中的數(shù)可知：(9+6）×1=15；(6+7）×4=52；(5+8）×3=39；由此

可得，每個(gè)三角形中：(上面的數(shù)+左下的數(shù)）×右下的數(shù)=中間的數(shù).(2）根據(jù)圖形中的數(shù)可

知：中間的數(shù)=上下數(shù)之差，左邊的數(shù)=中間的數(shù)×右邊的數(shù)，由此即可解答.(3）觀察每組

圖形中三個(gè)數(shù)的特點(diǎn)可知：下邊的數(shù)由三部分組成，最左邊的數(shù)字是右上方的數(shù)的十位上的

數(shù)字，最右邊的數(shù)字是左上方的數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字，中間的數(shù)字是左上方的數(shù)的十位上的數(shù)

字與右上方的數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和，由此即可解答.

解題過(guò)程(1）(11+3）×2=28.故？=28.

(2）61-56=5，5×3=15.故△=5，？=15.

(3）最左邊的數(shù)字是6，最右邊的數(shù)字是8，中間的數(shù)字是1+1=2，所以這個(gè)數(shù)是628.故？

=628.

方法歸納本題主要考查了學(xué)生通過(guò)對(duì)特例進(jìn)行分析從而歸納總結(jié)出一般規(guī)律的能力.對(duì)于

找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部

分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.

易錯(cuò)誤區(qū)規(guī)律的確定通常至少要三個(gè)特例，從一個(gè)或兩個(gè)特例中總結(jié)出的結(jié)論不一定正

確，所以歸納出的一般規(guī)律要進(jìn)行檢驗(yàn)，使每一個(gè)特例都滿足規(guī)律.

拓展訓(xùn)練

A組

1.小軍家的門牌號(hào)是256號(hào)，其中自然數(shù)的應(yīng)用屬于(）.

A.計(jì)數(shù)B.測(cè)量C.標(biāo)號(hào)D.排序

2.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（）.

①-247是負(fù)分?jǐn)?shù)；②1.5不是整數(shù)；③非負(fù)有理數(shù)不包括0；④正整數(shù)、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為有理

數(shù)；⑤0是最小的有理數(shù)；⑥3.14不是有理數(shù)．

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.超市某品牌食品包裝袋上“質(zhì)量”標(biāo)注：500g±20g.下列待檢查的各袋食品中質(zhì)量合格的

是（）.

A.530gB.519gC.470gD.459g

4.比較-1

3

5

，

12

13

，-1

2

3

，

17

15

的大小，結(jié)果正確的是（）.

5.一個(gè)紙環(huán)鏈，按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則

被截去部分紙環(huán)的個(gè)數(shù)可能是(）.

A.2018B.2019C.2020D.2021

(第5題）

6.在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锩娈嬌稀啊獭?

有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)自然數(shù)

-7

-3.14

0

2

3

7.氣象臺(tái)記錄了某地本周七天的氣溫變化情況(如下表），其中正號(hào)表示的數(shù)據(jù)是比前一天上

升的溫度，負(fù)號(hào)表示的數(shù)據(jù)是比前一天下降的溫度.已知上周日氣溫為3℃，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，

請(qǐng)你判斷該地本周最低氣溫是℃.

星期一二三四五六日

氣溫變化（℃）+2-4-1-2+3-5-3

8.某登山隊(duì)從大本營(yíng)出發(fā)，在向上攀登的過(guò)程中，測(cè)得所在位置的氣溫y（℃）與向上攀登

的高度x（km）的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：

向上攀登的高度x（km）0.51.01.52.0

氣溫y（℃）2.0-0.9-4.1-7.0

若每向上攀登1km，所在位置的氣溫下降幅度基本一致，則向上攀登的海拔高度為2.5km時(shí)，

登山隊(duì)所在位置的氣溫約為℃.

9.將一列數(shù)排成如圖所示的形式，按此規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第9個(gè)數(shù)

是.

（第9題）

10.在奧運(yùn)五環(huán)圖案內(nèi)，分別填寫五個(gè)數(shù)a，b，c，d，e，如，其中a，b，

c是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(a＜b＜c），d，e是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)(d＜e），且滿足a+b+c=d+e，例如

.請(qǐng)你在0～20之間選擇另一組符合條件的數(shù)填入五環(huán)圖案內(nèi).

11.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：

1，-0.1，

1

4

，-789，|-25|，0，-（+20），-3.14，-590，-

1

2

，0.81.

非負(fù)整數(shù)：{…};

負(fù)分?jǐn)?shù)：{…};

正有理數(shù)：{…}.

B組

12.下列說(shuō)法中，正確的有(）.

①整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)；②零是整數(shù)，但不是自然數(shù)；③分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)；④

正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；⑤一個(gè)有理數(shù)，它不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

13.一種“拍7”的游戲規(guī)定：把從1起的自然數(shù)中含7的數(shù)稱作“明7”，把7的倍數(shù)稱作

“暗7”，那么在1~100的自然數(shù)中，“明7”和“暗7”共有(）.

A.22個(gè)B.29個(gè)C.30個(gè)D.31個(gè)

14.已知數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則a，-a，

1

a

，-

1

a

的大小關(guān)系是（）.

（第14題）

A.-

1

a

＜-a＜

1

a

＜aB.

1

a

＜a＜-

1

a

＜-a

C.-a＜-

1

a

＜

1

a

＜aD.

1

a

＜a＜-a＜-

1

a

15.已知下列各數(shù)：-3.14，24，+17，-7

1

2

,

5

16

,-0.01，0，其中整數(shù)有個(gè)，負(fù)分?jǐn)?shù)有

個(gè)，非負(fù)數(shù)有個(gè)．

16.分子是1、分母是等于或大于2的自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，如

1

2

,

1

3

,

1

4

，…，某些分

數(shù)單位可以拆分成兩個(gè)分母是相鄰自然數(shù)的分?jǐn)?shù)單位的差，如

1

6

=

1

2

-

1

3

,

1

12

=

1

3

-

1

4

,

1

20

=

1

4

-

1

5

，則在分?jǐn)?shù)單位

1

2

,

1

3

,

1

4

,…,

1

100

中，不能按上述要求拆分

的有個(gè).

17.如圖，一只甲蟲(chóng)在5×5的方格（每小格邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度）上沿著網(wǎng)格線運(yùn)動(dòng)，它從

A處出發(fā)去看望B，C，D處的其他甲蟲(chóng).規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負(fù).如果從A

到B記為：A→B（+1，+4），從D到C記為：D→C（-1，+2），其中第一個(gè)數(shù)表示左右方

向，第二個(gè)數(shù)表示上下方向．

（1）圖中從A到C可以記為A→C（，），從B到C可以記為B→C

（，）.

（2）從D到可以記為D→（-4，-2）.

（3）若這只甲蟲(chóng)的行走路線為A→B→C→D，則該甲蟲(chóng)走過(guò)的路程長(zhǎng)度為個(gè)單位長(zhǎng)

度.

（4）若這只甲蟲(chóng)從A處去P處的行走路線依次為（+1，+3），（+3，-2），（-2，+1），請(qǐng)?jiān)?/p>

圖中標(biāo)出P的位置．

(第17題）

18.把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)括起來(lái)，相鄰兩個(gè)數(shù)之間用逗號(hào)隔開(kāi)，如：{1，2}，{1，4，7}，…，

我們稱之為集合，其中的每一個(gè)數(shù)稱為該集合的元素.如果一個(gè)所有元素均為有理數(shù)的集合

滿足：當(dāng)有理數(shù)x是集合的一個(gè)元素時(shí)，2020-x也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們

又稱為黃金集合.例如{0，2020}就是一個(gè)黃金集合.

（1）集合{2020}(填“是”或“不是”，下同)黃金集合，集合{-1，2021}黃

金集合.

（2）若一個(gè)黃金集合中最大的一個(gè)元素為4020，則該集合是否存在最小的元素？如果存在，

請(qǐng)直接寫出答案；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若一個(gè)黃金集合所有元素之和為整數(shù)M，且24200＜M＜24300，則該集合共有幾個(gè)元

素？說(shuō)明你的理由．

走進(jìn)重高

1.【瀘州】在-2，0，

1

2

，2四個(gè)數(shù)中，最小的是（）.

A.-2B.0C.

1

2

D.2

2.【聊城】悉尼、紐約與北京的時(shí)差如下表（正數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的時(shí)數(shù)，負(fù)數(shù)

表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間晚的時(shí)數(shù)）：

城市悉尼紐約

時(shí)差（時(shí)）+2-13

北京6月15日23時(shí)，悉尼、紐約的時(shí)間分別是（）.

A.6月16日1時(shí)，6月15日10時(shí)

B.6月16日1時(shí)，6月14日10時(shí)

C.6月15日21時(shí)，6月15日10時(shí)

D.6月15日21時(shí)，6月16日12時(shí)

3.南水北調(diào)工程中線自2014年12月正式通水以來(lái)，沿線多座大中城市受益，河南、河北、

北京及天津四個(gè)省（市）的水資源緊張態(tài)勢(shì)得到緩解，有效促進(jìn)了地下水資源的涵養(yǎng)和恢復(fù).

若與上年同期相比，北京地下水的水位下降記為負(fù)，回升記為正，記錄從2013年底以來(lái)，

北京地下水水位的變化得到下表：

下列關(guān)于2013年以來(lái)北京地下水水位的說(shuō)法，不正確的是（）.

A.從2014年底開(kāi)始，北京地下水水位的下降趨勢(shì)得到緩解

B.從2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升

C.2013年以來(lái)，每年年底的地下水位與上年同比的回升量最大的是2018年

D.2018年9月底的地下水水位低于2012年底的地下水水位

4.實(shí)際測(cè)量一座山的高度時(shí)，可在若干個(gè)觀測(cè)點(diǎn)中測(cè)量每?jī)蓚€(gè)相鄰可視觀測(cè)點(diǎn)的相對(duì)高度，

然后用這些相對(duì)高度計(jì)算出山的高度.下表是某次測(cè)量數(shù)據(jù)的部分記錄（用A-C表示觀測(cè)點(diǎn)

A相對(duì)觀測(cè)點(diǎn)C的高度），根據(jù)這次測(cè)量的數(shù)據(jù)，可得觀測(cè)點(diǎn)A相對(duì)觀測(cè)點(diǎn)B的高度是m.

A-CC-DE-DF-EG-FB-G

90m80m-60m50m-70m40m

5.規(guī)定[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，例如[4.3]＝4.若m＝[π+1]，n＝[2.1]，則[m+

9

4

n]在此

規(guī)定下的值為.

6.2018年國(guó)慶節(jié)放假七天，高速公路免費(fèi)通行，各地風(fēng)景區(qū)游人如織，其中聞名于世的“三

孔”，在10月1日的游客人數(shù)就已經(jīng)達(dá)到了10萬(wàn)人，接下來(lái)的六天中，每天的游客人數(shù)變

化（單位：萬(wàn)人）如下表（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)）：

（1）10月3日的游客人數(shù)為萬(wàn)人.

（2）這七天，游客人數(shù)最多的是多少萬(wàn)人？最少呢？

（3）這7天參觀的總?cè)藬?shù)約為多少萬(wàn)人？

高分奪冠

1.10個(gè)互不相等的有理數(shù)，每9個(gè)的和都是“分母為22的既約真分?jǐn)?shù)(分子與分母無(wú)公約數(shù)

的真分?jǐn)?shù)）”，則這10個(gè)有理數(shù)的和為(）.

A.

1

2

B.

11

18

C.

7

6

D.

5

9

2.已知a＝20212021×999，b＝20202020×1000，則a與b的大小關(guān)系是ab.

3.記|a，b|的值為a，b兩數(shù)中最大的數(shù)，例如|3，5|＝5.若m滿足|2，2-m|＝3-2m，則m＝.

4.找規(guī)律，在空格里填上合適的數(shù).

(第4題）

5.某路公交車從起點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)A，B，C，D四站到達(dá)終點(diǎn)，途中上下乘客情況如下表(正數(shù)

表示上車的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示下車的人數(shù)）：

起點(diǎn)ABCD終點(diǎn)

上車的人數(shù)181512750

下車的人數(shù)0-4-5-9-12

(1）到終點(diǎn)站下車的有多少人？填在表格中相應(yīng)位置.

(2）車行駛在哪兩站之間時(shí)，車上的乘客最多？站和站.

(3）若每人乘坐一站需買票0.5元，問(wèn)該車出車一次能收入多少錢？要求寫出算式.

第二講數(shù)軸和絕對(duì)值

重點(diǎn)分析：

1.數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向.

2.理解有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的點(diǎn)不一定表示有理數(shù).

3.相反數(shù)：實(shí)數(shù)a與－a互為相反數(shù)，零的相反數(shù)仍是零.若a，b互為相反數(shù)，則a+b＝0.

4.倒數(shù)：若兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積為1，就稱這兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，零沒(méi)有倒數(shù).

5.絕對(duì)值的幾何意義：表示這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離或數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)之間的

距離.

6.比較有理數(shù)大小的兩種基本方法：利用數(shù)軸比較大小；利用法則比較大小.

難點(diǎn)分析：

1.數(shù)軸涉及數(shù)和形兩個(gè)方面，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具.

2.絕對(duì)值具有非負(fù)性，去絕對(duì)值問(wèn)題往往會(huì)涉及較復(fù)雜的符號(hào)問(wèn)題.

若有理數(shù)m在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，且滿足|m|＞1且m＜0，則下列數(shù)軸表示正確的是(）.

A.B.

C.D.

思路點(diǎn)撥根據(jù)絕對(duì)值的意義得到m在原點(diǎn)的左側(cè)，且離原點(diǎn)的距離大于1，然后利用數(shù)軸

表示數(shù)的方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

解題過(guò)程∵|m|＞1，m＜0，∴m＜-1.故選D．

方法歸納本題考查了數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸的三要

素：原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向．

易錯(cuò)誤區(qū)注意絕對(duì)值的幾何意義是指數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，或點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．

已知a是最大的負(fù)整數(shù)的相反數(shù)，|b+4|＝2，且|c-5|+|d+3|＝0.

（1）寫出a，b，c，d的值.

（2）計(jì)算|a+c|+|b|-|d|的值.

思路點(diǎn)撥（1）根據(jù)有理數(shù)的概念求出a，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出b，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

列方程求解即可得到c，d.（2）將a，b，c，d的值代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

解題過(guò)程（1）∵a是最大的負(fù)整數(shù)的相反數(shù)，∴a＝1.

∵|b+4|＝2，∴b+4＝2或b+4＝-2.

∴b＝-2或b＝-6.

∵|c-5|+|d+3|＝0，∴c-5＝0，d+3＝0，解得c＝5，d＝-3.

∴a＝1，b＝-2或-6，c＝5，d＝-3.

（2）|a+c|+|b|-|d|＝|1+5|+|-2|-|-3|＝6+2-3＝5，或|a+c|+|b|-|d|＝|1+5|+|-6|-|-3|

＝6+6-3＝9，

∴|a+c|+|b|-|d|的值為5或9.

方法歸納本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0；還考

查了絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的概念.

易錯(cuò)誤區(qū)由|b+4|＝2得到的b的值有兩個(gè)，所以本題需要分類討論，特別注意不要漏解.

如圖，數(shù)軸上標(biāo)出了7個(gè)點(diǎn)，相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等，點(diǎn)A表示-4，點(diǎn)G表示8.

(1）點(diǎn)B表示的有理數(shù)是，表示原點(diǎn)的是點(diǎn).

(2）圖中的數(shù)軸上另有點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)G的距離之和為13，則這樣的點(diǎn)M表示的有理數(shù)

是.

(3）若相鄰兩點(diǎn)之間的距離不變，將原點(diǎn)取在點(diǎn)D，則點(diǎn)C表示的有理數(shù)是，此時(shí)

點(diǎn)B與點(diǎn)表示的有理數(shù)互為相反數(shù).

思路點(diǎn)撥(1）先根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式求出點(diǎn)A到點(diǎn)G的距離，再求出相鄰兩點(diǎn)

之間的距離即可解答.(2）設(shè)點(diǎn)M表示的有理數(shù)是m，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的定義即可

求出m的值.(3）根據(jù)相鄰兩點(diǎn)間的距離是2可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)相反數(shù)的定義即可

求出結(jié)論.

解題過(guò)程(1）∵數(shù)軸上標(biāo)出了7個(gè)點(diǎn)，相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等，已知點(diǎn)A表示-4，點(diǎn)

G表示8，∴AG=｜8+4｜=12.∴相鄰兩點(diǎn)之間的距離=

12

6

=2.

∴點(diǎn)B表示的有理數(shù)是-4+2=-2，點(diǎn)C表示的有理數(shù)是-2+2=0.

故答案為：-2，C.

(2）設(shè)點(diǎn)M表示的有理數(shù)是m，則｜m+4｜+｜m-8｜=13，∴m=-4.5或m=8.5.

故答案為：-4.5或8.5.

(3）若將原點(diǎn)取在點(diǎn)D，∵每?jī)牲c(diǎn)之間的距離為2，∴點(diǎn)C表示的有理數(shù)是-2.

∵點(diǎn)B與點(diǎn)F在原點(diǎn)D的兩側(cè)且到原點(diǎn)的距離相等，

∴此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)F表示的有理數(shù)互為相反數(shù).

故答案為：-2,F.

方法歸納本題考查的是數(shù)軸的特點(diǎn)及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的定義，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的

距離公式是解答本題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)誤區(qū)第(2）題中A，G兩點(diǎn)間的距離為12，所以數(shù)軸上到點(diǎn)A、點(diǎn)G距離之和為13

的點(diǎn)M在線段AG外，這樣的點(diǎn)有兩個(gè).

如圖，數(shù)軸上從左到右的三個(gè)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，c，其中點(diǎn)A、點(diǎn)B兩點(diǎn)

間的距離AB的長(zhǎng)是2019，點(diǎn)B、點(diǎn)C兩點(diǎn)間的距離BC的長(zhǎng)是1000.

（1）若以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的數(shù).

（2）若原點(diǎn)O在A，B兩點(diǎn)之間，求|a|+|b|+|b-c|的值.

（3）若O是原點(diǎn)，且OB＝19，求a+b-c的值.

思路點(diǎn)撥（1）根據(jù)數(shù)軸的定義可求點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的數(shù).（2）先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求得

|a|+|b|＝2019，|b-c|＝1000，再代入計(jì)算即可求解.（3）分兩種情況：原點(diǎn)O在點(diǎn)B的左

邊；原點(diǎn)O在點(diǎn)B的右邊，進(jìn)行討論即可求解.

解題過(guò)程（1）點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是-1000-2019＝-3019，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是-1000.

（2）當(dāng)原點(diǎn)O在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，|a|+|b|＝2019，|b-c|＝1000，|a|+|b|+|b-c|＝2019+1000

＝3019.

（3）若原點(diǎn)O在點(diǎn)B的左邊，則點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a＝-2000，b＝19，c＝1019，

則a+b-c＝-2000+19-1019＝-3000.

若原點(diǎn)O在點(diǎn)B的右邊，則點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a＝-2038，b＝-19，c＝981，

則a+b-c＝-2038+（-19）-981＝-3038.

方法歸納本題主要考查了數(shù)軸及絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是能把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把

“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

易錯(cuò)誤區(qū)一方面要正確找到表示數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，另一方面要注意位置不確定的情

況下要分類討論.

（1）如圖，一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，右端與點(diǎn)B重合．

若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)

為20；若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，它的左端在數(shù)軸上所

對(duì)應(yīng)的數(shù)為5（單位：cm），由此可得木棒的長(zhǎng)為cm.

（2）由題（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你借助“數(shù)軸”這個(gè)工具幫助小紅解決下列問(wèn)題：

問(wèn)題：一天，小紅去問(wèn)曾當(dāng)過(guò)數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說(shuō)：“我若是你現(xiàn)

在這么大，你還要34年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就116歲了，是老壽星了，哈哈!”

請(qǐng)求出爺爺現(xiàn)在多少歲了.

思路點(diǎn)撥（1）本題關(guān)鍵是正確識(shí)圖，由數(shù)軸觀察知木棒的3倍長(zhǎng)是20-5=15（cm），則此

木棒長(zhǎng)為5cm.(2）在求爺爺?shù)哪挲g時(shí)，借助數(shù)軸，把小紅與爺爺?shù)哪挲g差看作木棒AB，類

似地，爺爺是小紅那么大時(shí)看作當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為-34，小紅是

爺爺這么大時(shí)看作當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為116，所以可知爺爺比小紅

大［116-（-34）］÷3=50(歲)，從而可求得爺爺?shù)哪挲g．

解題過(guò)程（1）如圖1，觀察數(shù)軸可知木棒的3倍長(zhǎng)是20-5=15（cm），則此木棒長(zhǎng)為5cm．故

答案為：5．

圖1圖2

（2）如圖2，借助數(shù)軸，把小紅與爺爺?shù)哪挲g差看作木棒AB，類似地爺爺是小紅那么大時(shí)

看作當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為-34；小紅是爺爺那么大時(shí)看作當(dāng)點(diǎn)A移

動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為116．

∴爺爺比小紅大［116-（-34）］÷3=50（歲），則爺爺?shù)哪挲g為116-50=66（歲）．故爺爺現(xiàn)

在66歲．

方法歸納本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵是把爺爺與小紅的年齡差看

作一個(gè)整體（木棒AB）．

易錯(cuò)誤區(qū)解題時(shí)要用好數(shù)軸，在數(shù)軸上準(zhǔn)確地畫圖，注意所使用的線段AB的實(shí)際意義．

觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離：4與-2，3與5，-2與-6，-4與3，回答下

列各題.

(1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？

(2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為―1，則點(diǎn)A與點(diǎn)B兩點(diǎn)間的距離可以

表示為.

(3）結(jié)合數(shù)軸求得｜x-2｜+｜x+3｜的最小值為，取得最小值時(shí)x的取值范圍

為.

(4）滿足｜x+1｜+｜x+4｜>3的x的取值范圍為.

思路點(diǎn)撥(1）通過(guò)觀察容易得出結(jié)論.(2）在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置，點(diǎn)A可以位于

數(shù)軸上的任意位置，分三種情況進(jìn)行分類討論.(3）(4）根據(jù)(2）中的結(jié)論，利用數(shù)軸分析.

解題過(guò)程(1）相等.

(2）結(jié)合數(shù)軸，分以下三種情況：

當(dāng)x≤-1時(shí)，距離為-x-1

當(dāng)-1

當(dāng)x>0時(shí)，距離為x+1

綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為x+1.

(3）｜x-2｜，即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x(chóng)與2之間的距離；｜x+3｜=｜

x-(-3）｜,即x與-3的差的絕對(duì)值，它也可以表示數(shù)軸上x(chóng)與-3之間的距離.

如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：

圖1圖2圖3

圖2符合題意，∴｜x-2｜+｜x+3｜的最小值為5，取得最小值時(shí)x的取值范圍為-3≤x≤2.

(4）同理｜x+1｜表示數(shù)軸上x(chóng)與-1之間的距離，｜x+4｜表示數(shù)軸上x(chóng)與-4之間的距離.

∴本題即求當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)x與-1之間的距離加上x(chóng)與-4之間的距離會(huì)大于3.

借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1.

方法歸納借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的距離問(wèn)題，反之，有關(guān)數(shù)軸上

的距離問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問(wèn)題.這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問(wèn)題時(shí)可以帶來(lái)方便.事實(shí)

上，｜a-b｜表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離.這是一個(gè)很有

用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)解決了(3）(4）這兩道難題.

易錯(cuò)誤區(qū)｜a-b｜表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b這兩點(diǎn)之間的距離，｜

a+b｜表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)-b這兩點(diǎn)之間的距離.

拓展訓(xùn)練

A組

1.如圖，數(shù)軸上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，其中到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)是(）.

(第1題）

A.點(diǎn)B與點(diǎn)DB.點(diǎn)A與點(diǎn)CC.點(diǎn)A與點(diǎn)DD.點(diǎn)B與點(diǎn)C

2.符號(hào)語(yǔ)言“|a|＝-a（a≤0）”所表達(dá)的意思是（）.

A.正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身B.負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)

C.非正數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)D.負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)

3.如圖，點(diǎn)A表示的有理數(shù)是a，則a，-a，1的大小順序?yàn)?）.

A.a＜-a＜1B.-a＜a＜1C.a＜1＜-aD.1＜-a＜a

4.如圖，將刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分別

對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的3和0，那么刻度尺上“5.4cm”對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)為（）.

A.5.4B.-2.4C.-2.6D.-1.6

5.已知點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置如圖，則點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是.

6.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)Q、點(diǎn)P、點(diǎn)R、點(diǎn)S和點(diǎn)T分別表示五個(gè)數(shù)，如果點(diǎn)R和點(diǎn)T表示的數(shù)

互為相反數(shù)，那么這五個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)中，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)絕對(duì)值最大.

7.推理題.

(1）5的相反數(shù)是-5，-5的相反數(shù)是，那么-x的相反數(shù)是,m+12n的相反

數(shù)是.

(2）數(shù)軸上到點(diǎn)2和點(diǎn)6距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)是4，有這樣的關(guān)系4=12(2+6），那么到點(diǎn)

100和到點(diǎn)999距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)是，到點(diǎn)m和點(diǎn)-n距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)

是.

(3）數(shù)軸上點(diǎn)4和點(diǎn)9之間的距離為5個(gè)單位，有這樣的關(guān)系5=9-4，那么點(diǎn)10和點(diǎn)-3之

間的距離是，點(diǎn)m和點(diǎn)n之間的距離是.

8.閱讀：因?yàn)橐粋€(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以當(dāng)a≥0

時(shí)，｜a｜=a；當(dāng)a<0時(shí)，｜a｜=-a.根據(jù)以上閱讀完成：

(1）｜3.14-π｜=.

(2）計(jì)算：|1-

1

2

|+|

1

2

-

1

3

|+|

1

3

-

1

4

|+…+|

1

99

-

1

100

|.

9.已知|x-2|+|y+3|+|z-5|＝0，求：

（1）x，y，z的值.

（2）|x|+|y|+|z|的值.

10.結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：

（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是；表示-3和2的兩點(diǎn)之間的距離

是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m-n|.如果表示數(shù)a

和-2的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么a=.

（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-4與2之間，求|a+4|+|a-2|的值．

11.有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，且a，b，c滿足條件10｜a｜=5｜b｜=2｜c(diǎn)｜

=10.

(1）求a，b，c的值.

(2）求｜a-2b｜+｜b-2c｜+｜c(diǎn)-2a｜的值.

(第11題）

12.如圖1，已知數(shù)軸上有三點(diǎn)A，B，C，它們對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，c，且c-b＝b-a，點(diǎn)C

對(duì)應(yīng)的數(shù)是10.

（1）若BC＝15，求a，b的值.

（2）如圖2，在（1）的條件下，O為原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P向左

運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，N為

OP的中點(diǎn)，M為BQ的中點(diǎn).

①用含t的代數(shù)式表示PQ，MN.

②在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ與MN存在一個(gè)確定的等量關(guān)系，請(qǐng)指出它們之間的關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

B組

13.對(duì)于任何有理數(shù)a，下列一定為負(fù)數(shù)的是(）.

A.-(-3+a）B.-aC.-｜a+1｜D.-｜a｜-1

14.有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖，則下列四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）.

A.a＜b＜-b＜-aB.a＜-b＜-a＜bC.a-b＞0D.-a+b＞0

15.如圖，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度.在該圓的4等分點(diǎn)處分別標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3，先讓

圓周上表示數(shù)字0的點(diǎn)與數(shù)軸上表示數(shù)-1的點(diǎn)重合，再將數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞在該圓上，

則數(shù)軸上表示數(shù)-2020的點(diǎn)與圓周上表示數(shù)字（）的點(diǎn)重合．

A.0B.1C.2D.3

16.根據(jù)給出的數(shù)軸，解答下面的問(wèn)題.

(第16題）

(1）請(qǐng)你根據(jù)圖中A，B(在－2，－3的正中間）兩點(diǎn)的位置，分別寫出它們所表示的有理數(shù)

A：，B：.

(2）在數(shù)軸上畫出與點(diǎn)A的距離為2的點(diǎn)(用不同于A，B，M，N的其他字母表示），并寫出

這些點(diǎn)所表示的數(shù)：.

(3）若經(jīng)過(guò)折疊，點(diǎn)A與－3表示的點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與數(shù)表示的點(diǎn)重合.

(4）若數(shù)軸上M，N兩點(diǎn)之間的距離為9(M在N的左側(cè)），且M，N兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)(3）中的折疊后

重合，那么M，N兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是：M，N.

17.如圖，從數(shù)軸上的原點(diǎn)開(kāi)始，先向左移動(dòng)2cm到達(dá)點(diǎn)A，再向左移動(dòng)4cm到達(dá)點(diǎn)B，然后

向右移動(dòng)10cm到達(dá)點(diǎn)C.

（1）用1個(gè)單位長(zhǎng)度表示1cm，請(qǐng)你在題中所給的數(shù)軸上表示出A，B，C三點(diǎn)的位置.

（2）把點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離記為CA，則CA＝cm.

（3）若點(diǎn)B以每秒3cm的速度向左移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)A，C分別以每秒1cm，5cm的速度向右移

動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0），試探究CA-AB的值是否會(huì)隨著t的變化而變化,請(qǐng)說(shuō)明理

由.

（第17題）

18.當(dāng)x為何值時(shí)，下列各式有最小值？請(qǐng)求出它們的最小值.

(1)|x+1|+|x-2|+|x-3|.

(2)|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-1|.

(3)|x-2|+|x-4|+|x-6|+…+|x-20|.

走進(jìn)重高

1.【婁底】已知點(diǎn)M，N，P，Q在數(shù)軸上的位置如圖，則其中對(duì)應(yīng)的數(shù)的絕對(duì)值最大的點(diǎn)是

（）.

.Q

（第1題）（第2題）

2.【貴陽(yáng)】如圖，數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度為1，有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，若點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反

數(shù)，則圖中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）.

A.-2B.0C.1D.4

3.【福建】已知A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別

是1，3，如圖.若BC＝2AB，則點(diǎn)C表示的數(shù)是.

（第3題）（第5題）

4.如果一個(gè)零件的實(shí)際長(zhǎng)度為a，測(cè)量結(jié)果是b，則稱|b-a|為絕對(duì)誤差，

||ba

a

?

為相對(duì)誤

差.現(xiàn)有一零件實(shí)際長(zhǎng)度為5.0cm，測(cè)量結(jié)果是4.8cm，則本次測(cè)量的相對(duì)誤差是.

5.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為1，現(xiàn)點(diǎn)A做如下移動(dòng)：第1次點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度

至點(diǎn)A1，第2次從點(diǎn)A1向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A2，第3次從點(diǎn)A2向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)

度至點(diǎn)A3……按照這種移動(dòng)方式進(jìn)行下去，點(diǎn)A2019表示的數(shù)是.

6.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B，其中點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)

C，使得AC+BC＝n，則稱點(diǎn)C為點(diǎn)A，B的“n節(jié)點(diǎn)”.例如：若點(diǎn)C表示的數(shù)為0，有AC+BC

＝2+2＝4，則稱點(diǎn)C為點(diǎn)A，B的“4節(jié)點(diǎn)”.

請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定回答下列問(wèn)題：

（1）若點(diǎn)C為點(diǎn)A，B的“n節(jié)點(diǎn)”，且點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-4，求n的值.

（2）若點(diǎn)D是數(shù)軸上點(diǎn)A，B的“5節(jié)點(diǎn)”，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)D表示的數(shù)：.

（3）若點(diǎn)E在數(shù)軸上（不與點(diǎn)A，B重合），滿足BE=

1

2

AE，且此時(shí)點(diǎn)E為點(diǎn)A，B的“n節(jié)

點(diǎn)”，求n的值.

圖1圖2圖3

（第6題）

高分奪冠

1.如圖，在數(shù)軸上有A，B，C，D四個(gè)整數(shù)點(diǎn)（即各點(diǎn)均表示整數(shù)），且2AB＝BC＝3CD.若A，

D兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為-5和6，E為線段BD的中點(diǎn)，則中點(diǎn)E表示的數(shù)為（）.

A.0B.1C.2D.3

2.已知a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則

|1|

||1

a

a

?

?

的值為．

(第3題）

3.如圖，正方形的周長(zhǎng)為8個(gè)單位.在該正方形的4個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上0，2，4，6，先讓正

方形上表示數(shù)字6的點(diǎn)與數(shù)軸上表示-3的點(diǎn)重合，再將數(shù)軸按順時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞在該正方形

上，則數(shù)軸上表示2021的點(diǎn)與正方形上表示數(shù)字的點(diǎn)重合．

4.【歸納】

（1）觀察下列各式的大小關(guān)系：

|-2|+|3|＞|-2+3|，|-6|+|3|＞|-6+3|，|-2|+|-3|＝|-2-3|，|0|+|-8|＝|0-8|.

歸納：|a|+|b||a+b|（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）.

【應(yīng)用】

（2）根據(jù)上題中得出的結(jié)論，若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，求m的值.

【延伸】

（3）當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|.

5.已知x1，x2，…，x2020都是不等于0的有理數(shù)，請(qǐng)你探究以下問(wèn)題：

（1）若y1=1

1

||x

x

，則y1=.

（2）若y2=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

，則y2=.

（3）若y3=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

+3

3

||x

x

，求y3的值.

（4）由以上探究可知,y2020=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

+…+2020

2020

||x

x

,共有個(gè)不同的值；在y2020這些

不同的值中，最大的值和最小的值的差等于，y2020的這些所有的不同的值的絕對(duì)值

的和等于．

第三講有理數(shù)的加減

重點(diǎn)分析：

1.有理數(shù)加法法則：(1）同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.(2）絕對(duì)值不等的異號(hào)

加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值，互為相反數(shù)的兩個(gè)

數(shù)相加得0.(3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

2.加法交換律:a+b=b+a，兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.加法結(jié)合律:a+b+c=(a+b）

+c=a+(b+c），三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變.

3.有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)非零的數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).其中，兩變：減法運(yùn)算

變加法運(yùn)算，減數(shù)變成它的相反數(shù)；一不變：被減數(shù)不變.可以表示成：a－b=a+(－b）.

難點(diǎn)分析：

1.在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0，從而

確定用哪一條法則.在應(yīng)用過(guò)程中，一定要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”，熟練以后就不會(huì)出

錯(cuò)了.

2.在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，一般采取：(1）互為相反數(shù)的先加(抵消）.(2）同號(hào)的先加.(3）

同分母的先加.(4）能湊整數(shù)的先加.(5）異分母分?jǐn)?shù)相加，先通分，再計(jì)算.

計(jì)算：(1）-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28.

(2）(-3

2

3

)-(-2

3

4

)-(-1

2

3

)-1.75.

思路點(diǎn)撥(1）注意運(yùn)算過(guò)程中的簡(jiǎn)便方法，讓能夠湊成整十的兩個(gè)數(shù)相結(jié)合.(2）首先化

簡(jiǎn)，然后利用有理數(shù)的加法法則和加法的交換律進(jìn)行計(jì)算.

解題過(guò)程(1）原式=(-6-8-2-4.72-5.28）+(3.54+16.46）=-26+20=-6.

(2）原式=-3

2

3

+2

3

4

+1

2

3

-1

3

4

=(-3

2

3

+1

2

3

)+(2

3

4

-1

3

4

)=-2+1=-1.

方法歸納在計(jì)算時(shí)要靈活運(yùn)用運(yùn)算定律使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便.

易錯(cuò)誤區(qū)當(dāng)使用運(yùn)算定律后不能使運(yùn)算更簡(jiǎn)便的，就按一般運(yùn)算順序計(jì)算.

若|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，且|a+b-c|＝a+b-c，求a+b+c的值.

思路點(diǎn)撥根據(jù)絕對(duì)值先求出a，b，c的值，再進(jìn)行分類討論，即可解答.

解題過(guò)程∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，

∴a＝±1，b＝±2，c＝±4.

∵|a+b-c|＝a+b-c，∴a+b-c≥0.

∴

∴a+b+c的值為-1或-5或-3或-7.

方法歸納本題考查了絕對(duì)值的定義及有理數(shù)的加減運(yùn)算，解答時(shí)要注意對(duì)a，b，c值的限

制以及分類討論.

易錯(cuò)誤區(qū)本題根據(jù)a+b-c的結(jié)果為非負(fù)數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí)，要做到不重不漏.

用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

(1）111.1+(-12）+0.9.(2）(+13）+(-21）+(+28）+(-10）.

(3）4.33+(-7.52）+(-4.33）.(4）

5

6

+(-

1

7

)+(-

1

6

)+(-

6

7

).

思路點(diǎn)撥(1）能湊整的先湊整，簡(jiǎn)稱湊整結(jié)合法.(2）把正數(shù)與負(fù)數(shù)分別結(jié)合在一起再相

加，簡(jiǎn)稱同號(hào)結(jié)合法.(3）有相反數(shù)的先把相反數(shù)相加，簡(jiǎn)稱相反數(shù)結(jié)合法.(4）遇到分?jǐn)?shù)，

先把同分母的數(shù)相加，簡(jiǎn)稱同分母結(jié)合法.

解題過(guò)程(1）原式=111.1+0.9+(-12）=112+(-12）=100.

(2）原式=［(+13）+(+28）］+［(-21）+(-10）］=(+41）+(-31）=10.

(3）原式=(-7.52）+［(+4.33）+(-4.33）］=(-7.52）+0=-7.52.

(4）原式=[

5

6

+(-

1

6

)]+[(-

1

7

)+(-

6

7

)]=

2

3

+(-1）=-

1

3

.

方法歸納認(rèn)真觀察算式的特點(diǎn)，合理利用簡(jiǎn)便計(jì)算規(guī)則：①湊整結(jié)合法；②同號(hào)結(jié)合法；

③相反數(shù)結(jié)合法；④同分母結(jié)合法.

易錯(cuò)誤區(qū)不是所有的計(jì)算都有簡(jiǎn)便方法的.

某檢修小組從A地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為

負(fù)，一天中七次行駛記錄如下表（單位：km）：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

-3+8-9+10+4-6-2

（1）在第次記錄時(shí)距A地最遠(yuǎn).

（2）求收工時(shí)距A地多遠(yuǎn).

（3）若每千米耗油0.3升，每升汽油需7.2元，問(wèn)檢修小組工作一天需汽油費(fèi)多少元？

思路點(diǎn)撥（1）分別計(jì)算出每次距A地的距離，進(jìn)行比較即可.（2）收工時(shí)距A地的距離

等于所有記錄數(shù)字的和的絕對(duì)值.（3）所有記錄數(shù)的絕對(duì)值的和乘0.3升，就是共耗油數(shù)，

再乘汽油單價(jià)即可.

解題過(guò)程（1）由題意得，第一次距A地|-3|＝3（km），第二次距A地-3+8＝5（km），第

三次距A地|-3+8-9|＝4（km），第四次距A地|-3+8-9+10|＝6（km），第五次距A地

|-3+8-9+10+4|＝10（km），而第六次、第七次是向相反的方向又行駛了共8km，∴在第五次

記錄時(shí)距A地最遠(yuǎn).故答案為：五.

（2）根據(jù)題意得，|-3+8-9+10+4-6-2|＝2(km)，∴收工時(shí)距A地2km.

（3）根據(jù)題意得，檢修小組走的路程為|-3|+|+8|+|-9|+|+10|+|+4|+|-6|+|-2|＝42（km），

42×0.3×7.2＝90.72（元）.∴檢修小組工作一天需汽油費(fèi)90.72元.

方法歸納本題主查考查正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用及有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，要將實(shí)際問(wèn)

題中的數(shù)量關(guān)系正確地用算式表示出來(lái).

易錯(cuò)誤區(qū)注意題（3）與題（2）的區(qū)別，題（3）是求油耗，需要求路程，即需要求絕對(duì)

值的和.

問(wèn)題：能否將1，2，3，4，…，10這10個(gè)數(shù)分成兩組，使它們的差為5？

解：1+2+3+…+10＝55，要使差為5，需將這10個(gè)數(shù)分成兩組，一組的和為30，另一組的和

為25，然后把它們相減.

下面給出一種分法，例如：（6+7+8+9）-（1+2+3+4+5+10）＝5.

應(yīng)用：在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個(gè)數(shù)前面任意添上“+”號(hào)或“-”號(hào).

（1）能否使它們的和等于-7？

（2）能否使它們的和等于-2？若能，給出一種分法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路點(diǎn)撥（1）要讓其計(jì)算的和為-7，10個(gè)數(shù)的和是負(fù)奇數(shù)，相鄰的數(shù)分為5組，每組兩

個(gè)數(shù)相減得-1，5組得-5，與-7相差-2，可考慮選擇兩組相鄰奇數(shù)與相鄰偶數(shù)相減求和.（2）

根據(jù)數(shù)的和的奇偶性原則，一組數(shù)的和的奇偶性是不變的，1+2+3+…+10＝55是一個(gè)奇數(shù)，

即可得出答案.

解題過(guò)程（1）能使它們的和等于-7，例如：1-2+3-4+5-6+7-9+8-10＝-7.

（2）不能.理由如下：

∵1+2+3+…+10＝55是一個(gè)奇數(shù)，

∴無(wú)論怎樣分，結(jié)果不可為偶數(shù).

方法歸納本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則及整數(shù)和的奇偶性的運(yùn)用.

易錯(cuò)誤區(qū)本題要靈活運(yùn)用整數(shù)的奇偶性解題：一組整數(shù)的和、差的奇偶性永遠(yuǎn)不變.另外

題(1)中要靈活分組，多次嘗試，準(zhǔn)確計(jì)算.

觀察下列等式：，將以上三個(gè)等式兩邊分別

相加得：.

(1）猜想并寫出：=.

(2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：

①=.

②）=.

(3）探究并計(jì)算：.

(4）計(jì)算：.

思路點(diǎn)撥（1）觀察可得分子為1、分母為兩個(gè)相鄰整數(shù)的分?jǐn)?shù)可化為這兩個(gè)整數(shù)的倒數(shù)

之差，即.(2）根據(jù)此規(guī)律把各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)

算.(3）先提出

1

4

，然后按照前面的運(yùn)算方法計(jì)算即可.(4）先提出

1

2

，然后按照前面的方

法計(jì)算即可.

方法歸納本題考查了關(guān)于數(shù)的變化規(guī)律：通過(guò)觀察數(shù)之間的變化規(guī)律，得到一般性的結(jié)論，

再利用此結(jié)論解決問(wèn)題.

易錯(cuò)誤區(qū)(3）(4）要注意觀察算式的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為第(2）題中的運(yùn)算方法.

在有理數(shù)的范圍內(nèi)，我們定義三個(gè)數(shù)之間的新運(yùn)算“#”法則：

a#b#c=．

如：（-1）#2#3==5.

（1）計(jì)算：4#（-2）#（-5）=.

(2）計(jì)算：3#（-7）#（

11

3

）=.

(3）在-

6

7

，-

5

7

，…，-

1

7

，0,

1

9

,

2

9

，…，

8

9

這15個(gè)數(shù)中：

①任取三個(gè)不同的數(shù)作為a，b，c的值，進(jìn)行“a#b#c”運(yùn)算，求所有計(jì)算結(jié)果的最小值.

②若將這15個(gè)數(shù)任意分成五組，每組三個(gè)數(shù)，進(jìn)行“a#b#c”運(yùn)算，得到五個(gè)不同的結(jié)果，

由于分組不同，所以五個(gè)運(yùn)算的結(jié)果也不同，那么五個(gè)結(jié)果之和的最大值是．

思路點(diǎn)撥（1）（2）根據(jù)題中所給出的新運(yùn)算法則列式計(jì)算即可.(3）①分a＜b+c與a≥b+c

兩種情況把原式化簡(jiǎn)，即可得出最小值.②將

1

9

，

2

9

，…，

8

9

分別賦予b，c，同時(shí)賦予a

四個(gè)負(fù)數(shù)，最后一組a=0，b，c賦予兩個(gè)負(fù)數(shù)即可．

方法歸納本題考查的是有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，根據(jù)題意列出有理數(shù)相加減的式子是解答

本題的關(guān)鍵．

易錯(cuò)誤區(qū)本題是新定義運(yùn)算題，閱讀量較大，不易理解，要綜合文字和算式準(zhǔn)確理解題意．

拓展訓(xùn)練

A組

1.下面的數(shù)中，與－3的和為0的是(）.

A.3B.-3C.

1

3

D.-

1

3

2.下列結(jié)論中，不正確的是(）.

A.若a＞0，b＜0，且a＞|b|，則a+b＜0

B.若a＜0，b＞0，且|a|＞b，則a+b＜0

C.若a＞0，b＞0，則a+b＞0

D.若a＜0，b＜0，則a+b＜0

3.把(+5）-(+3）-(-1）+(-5）寫成省略括號(hào)的和的形式是(）.

A.-5-3+1-5B.5-3-1-5C.5+3+1-5D.5-3+1-5

4.絕對(duì)值大于2且小于5的所有整數(shù)的和是（）.

A.7B.-7C.0D.5

5.若|a|+|b|＝|a+b|，則a，b的關(guān)系是（）.

A.a，b的絕對(duì)值相等

B.a，b異號(hào)

C.a+b的和是非負(fù)數(shù)

D.a，b同號(hào)或a，b其中一個(gè)為0

6.若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，則x-y的值是（）.

A.2或12B.2或-12C.-2或12D.-2或-12

7.若在1，2，3，…，2022這些數(shù)前任意添加一個(gè)正號(hào)或者負(fù)號(hào)，則(）.

A.它們的和是奇數(shù)

B.它們的和是偶數(shù)

C.若有奇數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)，則它們的和是奇數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)，則它們的和是偶數(shù)

D.若有奇數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)，則它們的和是偶數(shù)；若有偶數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)，則它們的和是奇數(shù)

8.計(jì)算的結(jié)果為．

9.計(jì)算：

（1）（-3.6）+（+2.5）.（2）-

3

7

-（-3

1

2

）-2

4

7

+

1

2

.

（3）（-49）-（+91）-（-5）+（-9）.（4）-5-（-11）+2

1

3

-（-

2

3

）.

（5）3

1

2

-（-

1

3

）+2

2

3

+（-

1

2

）.（6）

2

5

-|-1

1

2

|-（+2

1

4

）-（-2.75）.

（7）（-7）-（-11）+（-9）-（+2）.（8）（-4

1

4

）-（+5

1

3

）-（-4

1

4

）．

10.王先生到某中心大樓辦事，假定乘電梯向上一樓記作+1，向下一樓記作-1，王先生從1

樓出發(fā)，電梯上下樓層依次記錄如下（單位：層）：+6，-3，+10，-8，+12，-7，-10.

（1）請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明王先生最后是否回到出發(fā)點(diǎn)1樓.

（2）該中心大樓每層高3m，電梯每向上或下1m需要耗電0.2度，根據(jù)王先生現(xiàn)在所處位

置，請(qǐng)你算算，他辦事時(shí)電梯需要耗電多少度？

11.已知｜ab-2｜與｜a-1｜互為相互數(shù)，試求下式的值：

.

12.在班級(jí)元旦聯(lián)歡會(huì)上，主持人邀請(qǐng)李強(qiáng)、張華兩位同學(xué)參加一個(gè)游戲，游戲規(guī)則是每人

每次抽取四張卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的數(shù)；如果抽到黑色卡片，那么減

去卡片上的數(shù)，比較兩人所抽4張卡片的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果小的為同學(xué)們唱歌.李強(qiáng)抽到如圖

1的四張卡片，張華抽到如圖2的四張卡片.李強(qiáng)、張華誰(shuí)會(huì)為同學(xué)們唱歌？

(第12題）

B組

13.定義新運(yùn)算：對(duì)任意有理數(shù)a，b，都有a?b=

1

a

+

1

b

.例如,2?3=

1

2

+

1

3

=

5

6

,那么3⊕（-4）

的值是（）.

A.-

7

12

B.-

1

12

C.

1

12

D.

7

12

14.若a+b+c＝0，且|c|＞|b|＞|a|，則下列說(shuō)法中可能成立的是（）.

A.a，b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)

B.a，c為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)

C.b，c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù)

D.a，b，c均為負(fù)數(shù)

15.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，如果a＞0，b＜0且|a|＜|b|，那么下列等式中成立的是（）.

A.a+b=|a|+|b|B.a+b=-（|a|+|b|）

C.a+b=-（|a|-|b|）D.a+b=-（|b|-|a|）

16.在實(shí)際生活中，八點(diǎn)五十五通常可以說(shuō)成九點(diǎn)差五分，有時(shí)這樣表達(dá)更清楚，受此啟發(fā)，

我們?cè)O(shè)計(jì)了一種新的加減計(jì)數(shù)法.例如：7寫成13，13=10-3；191寫成209，209=200-9；3651

寫成4351，4351＝4000-350+1＝3651.按這個(gè)方法請(qǐng)計(jì)算：23125＝.

17.規(guī)定一種新運(yùn)算：a※b＝(a＋1）－(b－1），右邊的運(yùn)算是正常的加減運(yùn)算.例如：(－5）

※(－2）＝(－5＋1）－(－2－1）＝(－4）－(－3）＝－4＋3＝－1，由以上規(guī)定計(jì)算：(0※1）

＋(1※2）＋(2※3）＋(3※4）＋…＋(2019※2020）=.

18.小明在電腦中設(shè)置了一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算程序：輸入數(shù)a，加“*”鍵，再輸入數(shù)b，就可

以得到運(yùn)算：a*b=（a-b）-|b-a|．

（1）求（-3）*2的值.

（2）求（3*4）*（-5）的值．

19.把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)圍起來(lái)，中間用逗號(hào)斷開(kāi)，例如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我們

稱之為集合，其中的數(shù)稱為集合的元素.如果一個(gè)集合滿足：當(dāng)有理數(shù)a是集合的元素時(shí)，

有理數(shù)8-a也是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們稱其為好的集合.

（1）請(qǐng)你判斷集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合.

（2）請(qǐng)你寫出滿足條件的兩個(gè)好的集合的例子.

20.從2開(kāi)始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們和的情況如下表：

(1）如果n=8，那么S的值為.

（2）根據(jù)表中的規(guī)律猜想：用含n的代數(shù)式表示S的公式為S=2+4+6+8+…+2n=.

(3）根據(jù)上面的規(guī)律計(jì)算102+104+106+…+2022的值(寫出計(jì)算過(guò)程）.

走進(jìn)重高

1.【赤峰】|（-3）-5|等于（）.

A.-8B.-2C.2D.8

2.【銅仁】計(jì)算的值為（）.

A.

1

100

B.

99

100

C.

1

99

D.

100

99

3.【江西】中國(guó)人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將

算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù).如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，

觀察圖1，可推算圖2中所得的數(shù)值為.

4.【六盤水】計(jì)算1+4+9+16+25+…的前29項(xiàng)的和是.

5.古代埃及人在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)，只使用分子是1的分?jǐn)?shù)，因此這種分?jǐn)?shù)也叫做埃及分?jǐn)?shù).

我們注意到，某些真分?jǐn)?shù)恰好可以寫成兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的和，例如：

7

12

=

1

3

+

1

4

.

（1）請(qǐng)將

11

30

寫成兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的和的形式：.

（2）若真分?jǐn)?shù)

13

x

可以寫成兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的和的形式，請(qǐng)寫出兩個(gè)x不同的取值：.

6.閱讀材料：對(duì)于可以按如下計(jì)算：

上面這種方法叫拆數(shù)法，仿照上面的方法，請(qǐng)你計(jì)算：（-2020

5

6

）+（-2019

2

3

）+4040

3

4

+

（-1

1

2

）.

高分奪冠

1.將1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字分別填在如圖所示的九個(gè)空格中，要求每一行

從左到右的數(shù)字逐漸增大，每一列從上到下的數(shù)字也逐漸增大.當(dāng)數(shù)字2，4固定在圖中所示

的位置時(shí)，按規(guī)則填寫空格，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）.

A.4種B.6種C.8種D.9種

2.數(shù)學(xué)上，為了簡(jiǎn)便，把從1到n的連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的乘積記作n!，即n!=1×2×3×…×(n-1）

×n，將上述n個(gè)自然數(shù)的和記作k=，即k=1+2+3+…+n，則i的

值為.

3.如圖的號(hào)碼是由14個(gè)數(shù)字組成的，把每一個(gè)數(shù)字寫在下面的方格中，若任意相鄰的三個(gè)

數(shù)字之和都等于14，則x的值等于.

4.計(jì)算:

（1）

1

2

+（

1

3

+

2

3

）+（

1

4

+

2

4

+

3

4

）+…+（

1

99

+

2

99

+…+

97

99

+

98

99

）.

（2）1-2+3-4+5-6+…+2019-2020+2021.

5.對(duì)于任意有理數(shù)a，b，定義運(yùn)算如下：a*b=a+b-

2021

2

，a*b*c=a+b+c-

2021

2

×2,…，計(jì)

算1*2*3*4*…*2020*2021的值．

6.將九個(gè)數(shù)填在3×3（3行3列）的方格中，如果滿足每一橫行、每一豎列和每條對(duì)角線上

的三個(gè)數(shù)之和都相等，這樣的圖稱為“廣義的三階幻方”.如圖1就是一個(gè)滿足條件的廣義

三階幻方.圖2、圖3的廣義三階幻方中分別給出了三個(gè)數(shù)．

（1）請(qǐng)直接將圖2、圖3的其余6個(gè)數(shù)全填上.

（2）就圖3加以說(shuō)明這樣填寫的理由．

圖1圖2圖3

(第6題）

第四講有理數(shù)的乘除

重點(diǎn)分析：

1.有理數(shù)乘法法則：

(1）兩數(shù)相乘，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.

(2）任何數(shù)同0相乘，都得0.

2.有理數(shù)乘法運(yùn)算律:

(1）乘法交換律：a×b=b×a.

(2）乘法結(jié)合律：(a×b）×c=a×(b×c）.

(3）分配律：a×(b+c）=a×b+a×c.

3.有理數(shù)除法法則：

(1）除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)(注意：0沒(méi)有倒數(shù)）.

(2）兩數(shù)相除，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相除.

難點(diǎn)分析：

1.幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為

負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正.

2.幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0時(shí)，積為0.

3.乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù).

如圖是小明的計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答下列問(wèn)題．

（1）解題過(guò)程中有兩處錯(cuò)誤：

第1處是第步，錯(cuò)誤原因是；

第2處是第步，錯(cuò)誤原因是.

(2）請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程．

思路點(diǎn)撥（1）首先根據(jù)有理數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，從第一步到第二步，先計(jì)算除

法，再計(jì)算乘法，所以第1處是第二步，錯(cuò)誤原因是運(yùn)算順序錯(cuò)誤；然后根據(jù)有理數(shù)除法的

運(yùn)算方法，可得第2處是第三步，錯(cuò)誤原因是符號(hào)錯(cuò)誤.(2）根據(jù)有理數(shù)除法、乘法的運(yùn)算

方法，從左向右，求出算式的值是多少即可．

解題過(guò)程（1）根據(jù)分析，可得：

第1處是第二步，錯(cuò)誤原因是運(yùn)算順序錯(cuò)誤；

第2處是第三步，錯(cuò)誤原因是符號(hào)錯(cuò)誤．

方法歸納本題主要考查了有理數(shù)除法的運(yùn)算方法，要熟練掌握，解答本題的關(guān)鍵是要明確：

除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．

易錯(cuò)誤區(qū)運(yùn)算順序和符號(hào)是有理數(shù)運(yùn)算中最常見(jiàn)的兩類錯(cuò)誤，尤其是符號(hào)，運(yùn)算時(shí)一定要

先確定符號(hào)．

對(duì)于有理數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”：a※b=a·b-a-b-2.

(1）計(jì)算(-2）※3的值.

(2）填空：4※(-2）(-2）※4(填“＞”“＜”或“=”）.

(3）我們知道：有理數(shù)的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算滿足交換律.那么，由(2）的計(jì)算結(jié)果，你認(rèn)

為這種運(yùn)算“※”是否滿足交換律？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1）將a=-2，b=3代入運(yùn)算公式a※b=a·b-a-b-2，即可得到(-2）※3

的值.(2）運(yùn)用運(yùn)算公式分別計(jì)算出4※(-2）和(-2）※4的值即可比較大小.(3）是否滿足

交換律關(guān)鍵是利用公式分別計(jì)算出a※b和b※a的結(jié)果，再利用乘法交換律和加法交換律看

看是否相等.

(1）(-2）※3=(-2）×3-(-2）-3-2=-9.

(2）4※(-2）=4×(-2）-4-(-2）-2=-12.

(-2）※4=(-2）×4-(-2）-4-2=-12.

故答案為：=.

(3）這種運(yùn)算“※”滿足交換律.

理由是：∵a※b=a·b-a-b-2，

b※a=b·a-b-a-2=a·b-a-b-2，

∴a※b=b※a.∴這種運(yùn)算“※”滿足交換律.

本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，還考查了運(yùn)用乘法交換律和加法交換律

證明公式的性質(zhì).

第(3）題中說(shuō)明該運(yùn)算滿足交換律時(shí)不能用特殊值法，這樣證明不全面.

（1）原式第一、三項(xiàng)結(jié)合，第二、四項(xiàng)結(jié)合，約分即可得到結(jié)果.(2）

原式利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果.(3）原式第一項(xiàng)因式變形后，利用乘法分配律計(jì)算

即可得到結(jié)果.(4）原式逆用乘法分配律即可得到結(jié)果．

本題考查了有理數(shù)的乘法法則和簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題

的關(guān)鍵．

題（4）是逆用乘法分配律，特別要注意添加括號(hào)時(shí)各項(xiàng)符號(hào)的變化．

在計(jì)算時(shí)先對(duì)整式進(jìn)行觀察，選擇合適的方法有利于提高解題效率.

在除法運(yùn)算中，當(dāng)除數(shù)是多個(gè)數(shù)時(shí)，不能應(yīng)用分配律.

現(xiàn)有7個(gè)數(shù)：-1，-2，-2，-4，-4，-8，-8，將它們填入圖1（3個(gè)圓兩兩相交分成

7個(gè)部分）中，使得每個(gè)圓內(nèi)部的4個(gè)數(shù)之積相等，設(shè)這個(gè)積為m，如圖2給出了一種填法，

此時(shí)m＝64，在所有的填法中，m的最大值為.

圖1圖2

觀察圖形可知，這7個(gè)數(shù)分別可能被乘了1次、2次或3次.要使每個(gè)圓內(nèi)

部的4個(gè)數(shù)之積相等且最大，-8，-8必須放在被乘兩次的位置，與-8，-8同圓的只能是-1，

-2，其中-2放在中心位置，可得m＝128.

觀察圖形可知，這7個(gè)數(shù)分別可能被乘了1次、2次或3次.要使每個(gè)圓

內(nèi)部的4個(gè)數(shù)之積相等且最大，-8，-8必須放在被乘兩次的位置，與-8，-8同圓的只能是

-1，-2，其中-2放在中心位置，如圖.

∴m＝（-8）×（-8）×（-1）×（-2）＝128.

本題考查有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是找出圓內(nèi)各個(gè)部分的特點(diǎn)從而得到各部

分可能的數(shù)值，先確定兩個(gè)-8的位置，再去確定圖中其他各個(gè)部分的數(shù)值.

本題的題意不容易理解，同時(shí)要注意計(jì)算每個(gè)圓內(nèi)部4個(gè)數(shù)之積時(shí)各個(gè)

部分的數(shù)被乘的次數(shù)，多比較、多嘗試可以求得正確答案.

（1）分三種情況討論：一是a，b同為正數(shù)；二是a，b同為負(fù)數(shù)；三是a，

b一正一負(fù).（2）仿照題（1）分四種情況討論即可求解.（3）根據(jù)已知得到b+c＝-a，a+c

＝-b，a+b＝-c，a，b，c兩正一負(fù)，利用(2)的結(jié)論進(jìn)一步計(jì)算即可求解.

（1）已知a，b是有理數(shù)，ab≠0，

①當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，

a

a

+

b

a

=-1-1＝-2.

②當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，

a

a

+

b

b

=1+1＝2.

③當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，

a

a

+

b

b

=1-1=0.

∴

a

a

+

b

b

=±2或0.

（2）已知a，b，c是有理數(shù)，abc≠0，

①當(dāng)a＜0，b＜0，c＜0時(shí)，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1-1-1＝-3.

②當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，

a

a

+

b

b

+

c

c

=1+1+1＝3.

③當(dāng)a，b，c兩負(fù)一正時(shí)，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1-1+1＝-1.

④當(dāng)a，b，c兩正一負(fù)時(shí)，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1+1+1＝1.

∴

a

a

+

b

b

+

c

c

=±1或±3.

（3）∵a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，

∴b+c＝-a，a+c＝-b，a+b＝-c，a，b，c兩正一負(fù).∴

a

a

+

b

b

+

c

c

=1.

∴

a

Cb?

+

b

Ca?

+

c

ba?

＝-

a

a

-

b

b

-

b

b

=-1.

本題考查了有理數(shù)的乘除以及絕對(duì)值，利用絕對(duì)值的性質(zhì)求出xx的值

可求得結(jié)果，要注意xx的值的不確定性.

分類討論是本題的難點(diǎn)，利用x的正負(fù)來(lái)確定xx的值有多種情況，保證

分類不重不漏是關(guān)鍵.

已知a，b，c為有理數(shù).

(1）如果ab＞0，a+b＞0，試確定a，b的正負(fù).

(2）如果ab＞0，abc＞0，bc＜0，試確定a，b，c的正負(fù).

由有理數(shù)的運(yùn)算法則即可判斷所求字母的正負(fù)性.

(1）∵ab＞0，∴a，b同號(hào).又∵a+b＞0，∴a，b都為正數(shù).

(2）∵ab＞0，∴a，b同號(hào).又∵abc＞0，∴c＞0.

又∵bc＜0，∴b，c異號(hào)，即b＜0，故a＜0.

∴a，b為負(fù)數(shù)，c為正數(shù).

積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因

數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正.

解決此類判斷正負(fù)的問(wèn)題，單個(gè)條件無(wú)法判斷時(shí)，要綜合幾個(gè)所給條件

考慮.

拓展訓(xùn)練

A組

1.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是(）.

A.任何有理數(shù)都有倒數(shù)B.互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為1

C.互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)同號(hào)D.2和12互為倒數(shù)

2.計(jì)算(-1）÷(-5）×?

?

?

?

?

?

?

5

1

的結(jié)果是(）.

A.-1B.1C.-

25

1

D.-25

3.下列說(shuō)法中，不正確的是(）.

A.一個(gè)數(shù)（不為0）與它的倒數(shù)之積是1

B.一個(gè)數(shù)與它的相反數(shù)之和為0

C.兩個(gè)數(shù)的商為-1，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)

D.兩個(gè)數(shù)的積為1，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)

4.若2019×24＝m，則2019×25的值可表示為（）.

A.m+1B.m+24C.m+2019D.m+25

6.若有理數(shù)a，b，c滿足a+b+c＞0，且abc＜0，則a，b，c中正數(shù)有（）個(gè).

A.0B.1C.2D.3

7.若

b

a

=2，

c

b

=6，則

c

a

=.

8.已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，那么式子

36

1833

?

??

cd

ba

的值是.

9.學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算后，薛老師給同學(xué)們出了這樣一道題.

計(jì)算：

16

15

71×(-8），看誰(shuí)算得又對(duì)又快.下面是前兩名同學(xué)給出的解法：

小強(qiáng)：原式=-

16

1151

×8=-

16

9208

=-575

2

1

;

小莉：原式=?

?

?

?

?

?

?

16

15

71×(-8）=71×(-8）+

16

15

×(-8）=-575

2

1

.

(1）對(duì)于以上兩種解法，你認(rèn)為誰(shuí)的解法比較好？其理由是什么？對(duì)你有何啟發(fā)？

(2）此題還有其他解法嗎？如果有，用另外的方法把它解出來(lái).

10.計(jì)算:

(1）-1+5÷?

?

?

?

?

?

?

6

1

×(-6）.(2）

2

1

1×

7

5

-?

?

?

?

?

?

?

7

5

×

2

1

2+-?

?

?

?

?

?

?

2

1

×

7

5

.

11.如圖，小明有5張寫著不同數(shù)的卡片，請(qǐng)你按照題目要求抽出卡片，完成下列問(wèn)題.

（1）從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)的乘積最大，如何抽取？最大值是多少？

（2）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？

（第11題）

12.某公司去年1～3月份平均每月盈利2萬(wàn)元，4～6月份平均每月虧損1.6萬(wàn)元，7～10

月份平均每月虧損1.4萬(wàn)元，11～12月份平均每月盈利3.4萬(wàn)元(假設(shè)盈利為正，虧損為負(fù)）.

(1）去年該公司是盈利還是虧損？

(2）去年該公司平均每月盈利(或虧損）多少萬(wàn)元？

B組

13.下列結(jié)論：①若|x|＝2，則x一定是2；②若干個(gè)有理數(shù)相乘，若負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，

則乘積一定是負(fù)數(shù)；③若|a+b|＝a-b，則a≥0，b＝0或a＝0，b≤0；④若a，b互為相反數(shù)，

則ab=-1.其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

14.定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)（n）＝3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

F（n）=n2k[其中k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)]，兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行，例如:取n＝24，

則：

若n＝13，則第2020次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（）.

A.1B.4C.2020D.42020

15.已知a，b為任意非零有理數(shù)，則

a

a

+

b

b

+

ab

ab

的可能取值是(）.

A.-3或1B.3或1或-1C.1或3D.-1或3

16.已知有理數(shù)a，b滿足ab＜0，|a|＞|b|，2（a+b）＝|b-a|，則ba的值為.

17.小華在課外書中看到這樣一道題：

計(jì)算：

36

1

÷

4

1

+

12

1

-

18

7

-

36

1

+)

36

1

18

7

12

1

4

1

???

?

?

?

÷

36

1

.

她發(fā)現(xiàn)，這個(gè)算式反映的是前后兩部分的和，而這兩部分之間存在著某種關(guān)系，利用這種關(guān)

系，她順利地解答了這道題.

（1）前后兩部分之間存在著什么關(guān)系？

（2）先計(jì)算哪部分比較簡(jiǎn)便？請(qǐng)計(jì)算比較簡(jiǎn)便的那部分.

（3）利用（1）中的關(guān)系，直接寫出另一部分的結(jié)果.

（4）根據(jù)以上分析，求出原式的結(jié)果.

18.教室里一般都裝日光燈來(lái)照明，已知每根燈管每小時(shí)的平均耗電量約為0.04千瓦時(shí)（俗

稱為度），而1千瓦時(shí)電的價(jià)格是0.75元.設(shè)教室每天平均開(kāi)燈10小時(shí)，請(qǐng)計(jì)算并回答以下

問(wèn)題：

（1）若每所中小學(xué)平均有30間教室，每間教室配有12根燈管，則一所中小學(xué)所有教室一

天的耗電量是多少千瓦時(shí)？

（2）某市約有500所中小學(xué)，一年若按210個(gè)工作日（即上學(xué)時(shí)間）計(jì)，則每年該市中小

學(xué)所有教室的照明電費(fèi)約為多少元？

19.1+2+3+…+100＝？經(jīng)過(guò)研究，這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=

2

1

n(n+1)，其中n

是正整數(shù).

現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）＝？

觀察下面三個(gè)特殊的等式：

1×2=

3

1

（1×2×3-0×1×2）；

2×3=

3

1

（2×3×4-1×2×3）；

3×4=

3

1

（3×4×5-2×3×4）.

將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

3

1

×3×4×5＝20.

讀完上述材料，請(qǐng)你思考后回答下列問(wèn)題：

（1）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：

①1×2+2×3+3×4+…+10×11＝.

②1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝.

（2）探究并計(jì)算：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）＝.

（3）請(qǐng)利用（2）的探究結(jié)果，直接寫出下式的計(jì)算結(jié)果：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12＝.

走進(jìn)重高

1.【大慶】已知兩個(gè)有理數(shù)a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（）.

A.a＞0，b＞0B.a＜0，b＞0

C.a，b同號(hào)D.a，b異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值較大

2.【赤峰】若正整數(shù)x，y滿足（2x-5）（2y-5）＝25，則x+y等于（）.

A.18或10B.18C.10D.26

3.若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝

4×3×2×1，…，則50！48！的值為（）.

A.

48

50

B.49！C.2450D.2！

5.已知非零有理數(shù)m，n滿足

m

m

+

n

n

=-2，則

mn

mn

=.

6.【杭州】計(jì)算6÷?

?

?

?

?

?

2

1

，方方同學(xué)的計(jì)算過(guò)程如下：原式＝6÷-12+6÷13=-12+18＝6.

請(qǐng)你判斷方方的計(jì)算過(guò)程是否正確，若不正確，請(qǐng)你寫出正確的計(jì)算過(guò)程.

7.在1，-2，3，-4，-5中任取兩個(gè)數(shù)相乘，最大的積是a，最小的積是b.

（1）求ab的值.

（2）若|x-a|+|y+b|＝0，求（-x-y）·y的值.

高分奪冠

1.某種藥品的說(shuō)明書上貼有如圖所示的標(biāo)簽，一次服用這種藥品的劑量范圍是(）.

(第1題）

A.15mg～30mgB.20mg～30mg

C.15mg～40mgD.20mg～40mg

2.已知a1=

321

1

??

×

2

1

=

3

2

，a2=

432

1

??

+

3

1

=

8

3

，a3=

432

1

??

+

4

1

=

15

4

，…，依據(jù)上述

規(guī)律，則a99==．

3.如圖，一個(gè)啤酒瓶的高度為30cm，瓶中裝有高度為12cm的水，將瓶蓋蓋好后倒置，這時(shí)

瓶中水面高度是20cm，則瓶中水的體積和瓶子的容積之比為(瓶底的厚度不計(jì)）.

(第3題）

4.一本書的頁(yè)碼是連續(xù)的自然數(shù)：1，2，3，4，…，當(dāng)將這些頁(yè)碼加起來(lái)的時(shí)候，某個(gè)頁(yè)碼

加了兩次，得到不正確的結(jié)果2020，則這個(gè)被加了兩次的頁(yè)碼是.

5.一個(gè)能被13整除的自然數(shù)我們稱為“十三數(shù)”，“十三數(shù)”的特征是：這個(gè)自然數(shù)的末

三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被13整除.例如：判斷383357能不能被13整除，

這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字是357，末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)是383，這兩個(gè)數(shù)的差是383-357

＝26，26能被13整除，因此383357是“十三數(shù)”.

（1）判斷3253和254514是否為“十三數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若一個(gè)四位自然數(shù)，千位數(shù)字和十位數(shù)字相同，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，則稱這個(gè)

四位數(shù)為“間同數(shù)”.

①求證：任意一個(gè)四位“間同數(shù)”能被101整除.

②若一個(gè)四位自然數(shù)既是“十三數(shù)”，又是“間同數(shù)”，求滿足條件的所有四位數(shù)的最大值

與最小值之差.

6.分析判斷：

(1）如果ab＜0，a＜b，試確定a，b的正負(fù).

（2）如果ab<0，a+b<0，｜a｜>｜b｜，試確定a，b的正負(fù).

（3）如果ab＜0，abc＜0，bc<0，試確定a，b，c的正負(fù).

第五講有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算

重點(diǎn)分析：

1.乘方可以看作乘法的特殊情況.規(guī)律：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，

負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù).互為相反數(shù)的兩數(shù)的奇次冪仍互為相反數(shù)，它們的偶次冪則相等.

2.有理數(shù)的混合運(yùn)算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號(hào)的，則先算括號(hào)里

面的.

3.準(zhǔn)確數(shù)和近似數(shù)是應(yīng)用有理數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題所必需的.

4.科學(xué)計(jì)數(shù)法：把一個(gè)實(shí)數(shù)表示成±a×10n(1≤a＜10，n為整數(shù)）的形式.

難點(diǎn)分析：

有理數(shù)的混合運(yùn)算需要運(yùn)用多種法則，較復(fù)雜的符號(hào)判別和運(yùn)算順序是本講的難點(diǎn).

(1）先算括號(hào)內(nèi)或者直接運(yùn)用乘法分配律來(lái)計(jì)算都可以.(2）先相乘，再

加減或者直接逆用乘法分配律來(lái)計(jì)算.(3）先算乘方，再算乘除，最后相加減.

對(duì)于有理數(shù)的混合運(yùn)算首先要仔細(xì)觀察所求式子，看是否能運(yùn)用運(yùn)算律

使運(yùn)算簡(jiǎn)便，然后按照有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)

的要先算括號(hào)里面的.

對(duì)于(1）(2）小題運(yùn)用乘法分配律時(shí)要注意運(yùn)算符號(hào)；(3）小題注意-22

表示2個(gè)2相乘的相反數(shù)，其結(jié)果為-4.

比較6111，3222，2333的大小.［提示：amn=(am)n］

由于3個(gè)冪的底數(shù)與指數(shù)都不相同，觀察發(fā)現(xiàn)，它們的指數(shù)有最大公約數(shù)

111，所以可將3個(gè)冪都轉(zhuǎn)化為指數(shù)是111的冪的形式，然后只需比較它們的底數(shù)即可.

∵3222=(32）111=9111，2333=(23）111=8111，

又∵9111＞8111＞6111，

∴3222＞2333＞6111.

本題主要考查了冪的大小的比較方法.一般說(shuō)來(lái)，比較幾個(gè)冪的大小，

可以把它們的底數(shù)變?yōu)橄嗤蛘甙阉鼈兊闹笖?shù)變?yōu)橄嗤俜謩e比較它們的指數(shù)或底數(shù).

當(dāng)冪的底數(shù)和指數(shù)都不同時(shí)，不能直接比較出大小.

閱讀理解：

已知（ab）2=a2b2，（ab）3=a3b3，（ab）4=a4b4.

（1）用特例驗(yàn)證上述等式是否成立.

(2）通過(guò)上述驗(yàn)證，猜一猜：（ab）100=，歸納得出：（ab）n=.

(3）上述性質(zhì)可以用來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，反之仍然成立，即：anbn=（ab）n.

應(yīng)用上述等式計(jì)算：-

4

1

2019×42020．

（1）任取一組a,b的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.(2）根據(jù)（1）中的各數(shù)的值找

出規(guī)律即可解答.(3）逆用（2）中的規(guī)律計(jì)算即可．

（1）令a=2，b=3，

則（2×3）2=22×32=36，（2×3）3=23×33=216，（2×3）4=24×34=1296，故（ab）n=anbn.

（2）a100b100anbn

本題考查的是有理數(shù)的乘方及規(guī)律的歸納總結(jié).解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)

（1）中各數(shù)的特點(diǎn)找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．

冪的運(yùn)算要特別注意概念，弄清底數(shù)、指數(shù)和運(yùn)算法則，還要注意結(jié)果

的符號(hào)．

我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，十進(jìn)制數(shù)要

用10個(gè)數(shù)碼(又叫數(shù)字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在電子計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制數(shù)，

只要2個(gè)數(shù)碼：0和1，如二進(jìn)制數(shù)110=1×22+1×21+0×20，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的6；

110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的53.那么二進(jìn)制中的數(shù)

101011等于十進(jìn)制數(shù)中的哪個(gè)數(shù)？(提示：非零有理數(shù)的零次冪都為1)

認(rèn)真觀察給出的兩個(gè)式子：110=1×22+1×21+0×20和

110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，得出規(guī)律再計(jì)算即可.

101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=32+0+8+0+2+1=43.

解答本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，按照規(guī)律進(jìn)行計(jì)算.

最右邊的數(shù)字乘20，不是乘21，20=1.

若a，b，c均為整數(shù)，且｜a-b｜2021+｜c(diǎn)-a｜2020=1，則｜a-c｜+｜c(diǎn)-b｜+｜b-a｜

的值為(）.

A.1B.2C.3D.2021

本題可分類討論，分別計(jì)算｜a-b｜=1，｜c(diǎn)-a｜=0和｜a-b｜=0，｜c(diǎn)-a｜

=1這兩種情況下所求代數(shù)式的值，然后得到結(jié)果.

∵a，b，c均為整數(shù)，且｜a-b｜2021+｜c(diǎn)-a｜2020=1，

∴｜a-b｜=1，｜c(diǎn)-a｜=0或｜a-b｜=0，｜c(diǎn)-a｜=1.

當(dāng)｜a-b｜=1，｜c(diǎn)-a｜=0時(shí)，可得c=a，

∴｜a-c｜+｜c(diǎn)-b｜+｜b-a｜=｜a-a｜+｜a-b｜+｜b-a｜=0+1+1=2；

當(dāng)｜a-b｜=0，｜c(diǎn)-a｜=1時(shí)，可得b=a，

∴｜a-c｜+｜c(diǎn)-b｜+｜b-a｜=｜a-c｜+｜c(diǎn)-a｜+｜a-a｜=1+1+0=2；

綜上可知：｜a-c｜+｜c(diǎn)-b｜+｜b-a｜的值為2.

故選B.

本題主要考查了絕對(duì)值和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是要分類討論.

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，即｜a-b｜=｜b-a｜.

若a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，且|a|＝|b|.

（1）計(jì)算：100-99a-99b.

（2）確定（a-b）（b-c）（a-c）的符號(hào).

（3）化簡(jiǎn)：|a|-|a+b|+|c-a|+|c-b|.

（1）先由圖判斷出a，b，c的符號(hào)，再根據(jù)|a|＝|b|這一條件計(jì)算即可.

（2）先確定a-b，b-c，a-c的符號(hào)，從而可以判斷（a-b）（b-c）（a-c）的符號(hào).（3）根據(jù)

a，a+b,c-a,c-b的符號(hào)，先去絕對(duì)值符號(hào)，再化簡(jiǎn)即可.

由圖可知，a＞0，b＜c＜0.

∵|a|＝|b|，∴a＝-b.

（1）100-99a-99b＝100-99（-b）-99b＝100+99b-99b＝100.

（2）∵a-b＞0，b-c＜0，a-c＞0，

∴（a-b）（b-c）（a-c）＜0.

∴（a-b）（b-c）（a-c）的符號(hào)為“-”.

（3）|a|-|a+b|+|c-a|+|c-b|＝a-0+a-c+c-b＝2a-b.

本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算以及數(shù)軸的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸

判斷出各整式的符號(hào)，再計(jì)算就簡(jiǎn)單了.

題（3）中需要先確定絕對(duì)值中的數(shù)（或式）的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的意

義及有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22020的值.

解：設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+22020①，

將等式兩邊同時(shí)乘2得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，

②-①得S＝22021-1，即S＝1+2+22+23+24+…+22020＝22021-1.

請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：

（1）1+2+22+23+24+…+210.

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數(shù)）.

（1）設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+210，兩邊同時(shí)乘2后得到關(guān)系式，與已知等

式相減，變形即可求出所求式子的值.（2）同理可得到所求式子的值.

（1）設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+210①，

將等式兩邊同時(shí)乘2得2S＝2+22+23+24+…+210+211②，

②-①得S＝211-1，即S＝1+2+22+23+24+…+210＝211-1.

（2）設(shè)S＝1+3+32+33+34+…+3n①，

將等式兩邊同時(shí)乘3得3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，

②-①得2S＝3n+1-1，即S=1+3+32+33+34+…+3n=

2

1

（3n+1-1）.

本題考查了有理數(shù)的乘方，題中求和的方法通常被稱為錯(cuò)位相減法.

使用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，要注意不要出現(xiàn)多項(xiàng)、漏項(xiàng)等項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng)導(dǎo)

致的錯(cuò)誤，還要注意求最后的結(jié)果時(shí)不要漏乘系數(shù).

拓展訓(xùn)練

A組

1.(-3）4表示(）.

A.4個(gè)(－3）相乘的積B.－3乘4的積

C.3個(gè)(－4）相乘的積D.4個(gè)(－3）相加的和

2.若a2＝1，b是2的相反數(shù)，則a+b的值為（）.

A.-3B.-1C.-1或-3D.1或-3

3.若0

A.x

4.中國(guó)是嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，人均淡水資源為世界人均水平的四分之一，所以我們要節(jié)約

用水.若每人每天浪費(fèi)水0.32L，則100萬(wàn)人每天浪費(fèi)的水，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為(）.

A.3.2×107LB.3.2×106LC.3.2×105LD.3.2×104L

5.如圖，數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1，如果P，Q表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么圖中的4個(gè)點(diǎn)中，哪

一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)的平方值最大(）.

（第5題）

.T

6.【巴中】2017年四川省經(jīng)濟(jì)總量達(dá)到3.698萬(wàn)億元，居全國(guó)第6位，在全國(guó)發(fā)展大局中

具有重要地位.把3.698萬(wàn)億用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示（精確到0.1萬(wàn)億）為（）.

A.3.6×1012B.3.7×1012C.3.6×1013D.3.7×1013

7.【赤峰】8月份是新學(xué)期開(kāi)學(xué)準(zhǔn)備季，東風(fēng)和百惠兩書店對(duì)學(xué)習(xí)用品和工具書實(shí)施優(yōu)惠銷

售.優(yōu)惠方案分別是：在東風(fēng)書店購(gòu)買學(xué)習(xí)用品或工具書累計(jì)花費(fèi)60元后，超出部分按50%

收費(fèi)；在百惠書店購(gòu)買學(xué)習(xí)用品或工具書累計(jì)花費(fèi)50元后，超出部分按60%收費(fèi).郝愛(ài)同學(xué)

準(zhǔn)備買價(jià)值300元的學(xué)習(xí)用品和工具書，她在哪家書店消費(fèi)更優(yōu)惠（）.

A.東風(fēng)B.百惠C.兩家一樣D.不能確定

8.現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算“*”：a*b=ab，如3*2=32=9，則

2

1

*3=.

9.瑞士的一位中學(xué)教師巴爾末從光譜數(shù)據(jù)

5

9

，

12

16

，

21

25

，

32

36

，…中，成功地發(fā)現(xiàn)了其規(guī)律，

從而得到了巴爾末公式，繼而打開(kāi)了光譜奧妙的大門.請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫出第9個(gè)

數(shù)：.

10.計(jì)算：

(1）(-3）2.(2）-(-2）5.(3）-22×(-3）2.(4）?

?

?

?

?

?

?

5

3

×?

?

?

?

?

?

?

3

2

14.

11.計(jì)算：

（1）871-87.21+53

21

19

-12.79+43

21

2

.（2）4×（-3）2+6.

（3）-0.52+14-|-32-9|-

3

2

1

1

?

?

?

?

?

?

?×

27

16

.

（4）?

?

?

?

?

?

??

12

7

2

1

5

3

×?

?

?

?

?

?

?????

7

5

60

7

3

60

7

1

60.

12.一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們做了一個(gè)找朋友的游戲：有六個(gè)同學(xué)A，B，C，D，E，

F分別藏在六張大紙牌的后面，如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)所持的紙牌的前面分別寫有六個(gè)算

式：66；63+63；（63）3；（2×62）×（3×63）；（22×32）3；（64）3÷62.游戲規(guī)定：所持算式的

值相等的兩個(gè)人是朋友.如果現(xiàn)在由同學(xué)A來(lái)找他的朋友，他可以找誰(shuí)呢？說(shuō)說(shuō)你的看法．

（第12題）

B組

13.計(jì)算（-2）101+（-2）100的結(jié)果是（）.

A.2100B.-2C.-2100D.-1

14.為求1+2+22+23+…+22000的值，可令S=1+2+22+23+…+22000，則2S=2+2

2+23+…+22001，因此2S-S=22001-1.仿照以上推理，計(jì)算出1+5+52+53+…+52020的值為

（）.

A.52020-1B.52021-1C.

4

152020?

D.

4

152021?

15.某公園劃船項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

某班18名同學(xué)一起去該公園劃船，若每人劃船的時(shí)間均為1小時(shí)，則租船的總費(fèi)用最低為

元.

17.有3個(gè)有理數(shù)x，y，z，若，且x與y互為相反數(shù)，y是z的倒數(shù).

（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，你能求出x，y，z這三個(gè)數(shù)嗎？當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，你能求出x，y，z這

三個(gè)數(shù)嗎？若能，請(qǐng)計(jì)算并寫出結(jié)果；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，計(jì)算：xy-yn-（y-z）2020.

18.你能比較20202021與20212020的大小嗎？

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先寫出它的一般形式，即比較nn+1與(n+1）n(n是自然數(shù)）的大

小.然后我們分析當(dāng)n=1，n=2，n=3，…時(shí)從中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論：

(1）通過(guò)計(jì)算，比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小，在空格中填上“>”“<”或“=”.

①1221.②2332.③3443.④4554.⑤5665.

(2）將題(1）的結(jié)果經(jīng)過(guò)歸納，可以猜想出當(dāng)n≥3時(shí)，nn+1和(n+1）n的大小關(guān)系是.

(3）經(jīng)過(guò)上面的歸納猜想，試比較20202021與20212020的大小.

19.材料：

一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab（即

logab＝n）.例如：3b（即logab＝n）.例如：3b＝n）.例如：34＝81，則4叫做以3為底

81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381＝4）.

問(wèn)題：

（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：log24＝，log216＝，log264＝.

（2）仔細(xì)觀察，（1）中4，16，64三數(shù)之間滿足的關(guān)系式為，log24，log216，log264之間

滿足的關(guān)系式為.

（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？直接寫出結(jié)論，無(wú)須證明.

logaM+logaN＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）.

走進(jìn)重高

1.【河北】等于（）.

2.【南京】計(jì)算12+（-18）÷（-6）-（-3）×2的結(jié)果是（）.

A.7B.8C.21D.36

3.【宜昌】2017年5月18日，新華社電訊：我國(guó)利用世界唯一的“藍(lán)鯨1號(hào)”，在南海實(shí)

現(xiàn)了可燃冰（即天然氣水合物）的安全可控開(kāi)采.據(jù)介紹，“藍(lán)鯨1號(hào)”擁有27354臺(tái)設(shè)備，

約40000根管路，約50000個(gè)MCC報(bào)驗(yàn)點(diǎn)，電纜拉放長(zhǎng)度估計(jì)1200km.其中準(zhǔn)確數(shù)是（）.

A.27354B.40000C.50000D.1200

4.【牡丹江】請(qǐng)你只在“加、減、乘、除和括號(hào)”中選擇使用，可以重復(fù)，將四個(gè)數(shù)-2，4，

-6，8組成算式（四個(gè)數(shù)都用且每個(gè)數(shù)只能用一次），使運(yùn)算結(jié)果為24，你列出的算式是

（只寫一種）.

6.定義：如果10b＝n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b＝d（n）.

（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知d（10）＝1，d（102）＝2，那么d（103）＝.

（2）勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：

若m，n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n），d?

?

?

?

?

?

n

m

＝d（m）-d（n）.

根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)填空：

①

??

???

?

?

?

?

?

?

?

2

25

d

d

=.

②若d（3）＝0.48，則d（9）＝，d（0.3）＝.

高分奪冠

(第2題）

1.如果n是正整數(shù)，那么

8

1

［1-(-1）n］(n2-1）的值(）.

A.一定是零B.一定是偶數(shù)

C.是整數(shù)但不一定是偶數(shù)D.不一定是整數(shù)

2.將正整數(shù)從1開(kāi)始依次按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)數(shù)陣，其中，2在第1個(gè)拐角處，3在

第2個(gè)拐角處，5在第3個(gè)拐角處，7在第4個(gè)拐角處……那么在第2021個(gè)拐角處的數(shù)是.

3.計(jì)算：

4.閱讀理解題：

試判斷20001999+19992000的末位數(shù)字.

∵20001999的末位數(shù)字是0，而19992的末位數(shù)字是1，

∴19992000=(19992）1000的末位數(shù)字是1.

∴20001999+19992000的末位數(shù)字是1.

同學(xué)們，根據(jù)閱讀材料，你能否判斷20002的末位數(shù)字是多少？寫出你的理由.

5.黑板上有三個(gè)正整數(shù)a，b，c（不計(jì)順序），允許進(jìn)行如下的操作：擦去其中的任意一個(gè)

數(shù)，寫上剩下的兩個(gè)數(shù)的平方和.例如：擦去a，寫上b2+c2，這次操作完成后，黑板上的三

個(gè)數(shù)為b，c，b2+c2.

（1）當(dāng)黑板上的三個(gè)數(shù)分別為1，2，3時(shí)，能否經(jīng)過(guò)有限次操作使得這三個(gè)數(shù)變?yōu)?6，57，

58（不計(jì)順序）?若能，請(qǐng)給出操作方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）是否存在三個(gè)小于2000的正整數(shù)a，b，c，使得它們經(jīng)過(guò)有限次操作后，其中的一個(gè)

數(shù)為2007?若能，寫出正整數(shù)a，b，c，并給出操作方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）是否存在三個(gè)小于2000的正整數(shù)a，b，c，使得它們經(jīng)過(guò)有限次操作后，其中的一個(gè)

數(shù)為2008?若能，寫出正整數(shù)a，b，c，并給出操作方法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第六講平方根和立方根

重點(diǎn)分析：

1.平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念.平方根：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.算術(shù)平

方根：正數(shù)的正的平方根和0的平方根統(tǒng)稱算術(shù)平方根，一個(gè)數(shù)a(a≥0）的算術(shù)平方根記

作“a”.立方根：如果x3=a，那么x叫做a的立方根，記作“3a”.

2.算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性：被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，結(jié)果是非負(fù)數(shù).

3.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根且互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

4.任何數(shù)都有立方根，且立方根和被開(kāi)方數(shù)具有同號(hào)性.

難點(diǎn)分析：

1.平方根的概念是通過(guò)逆運(yùn)算來(lái)建立的，而且有多種不同情況，這是學(xué)生從未經(jīng)歷過(guò)的.

2.算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性的應(yīng)用.

求下列各式的值:

(1）±

81

.(2）-

16

.(3）

25

9

.(4）??24?.

(1)±

81

表示81的平方根，故其結(jié)果是一對(duì)相反數(shù).(2)-

16

表示16

的負(fù)平方根，故其結(jié)果是負(fù)數(shù).(3)

25

9

表示925的算術(shù)平方根，故其結(jié)果是正數(shù).(4)

??24?表示(-4）2的算術(shù)平方根，故其結(jié)果是正數(shù).

(1）∵92=81，∴±

81

=±9.

(2）∵42=16，∴-16=-4.

(3）∵

2

5

3

?

?

?

?

?

?

=925，∴

25

9

=

5

3

.

(4）∵42=(-4）2，∴??24?=4.

弄清與平方根有關(guān)的三種符號(hào)±a，a，-a的意義是解決這類問(wèn)題的關(guān)

鍵.±a表示非負(fù)數(shù)a的平方根.a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，-a表示非負(fù)數(shù)a的負(fù)平方根.

注意a≠±a.在具體解題時(shí)，符號(hào)“”的前面是什么符號(hào)，其計(jì)算結(jié)

果也就是什么符號(hào).

請(qǐng)根據(jù)如圖的對(duì)話內(nèi)容回答下列問(wèn)題.

（1）求該魔方的棱長(zhǎng).

（2）求該長(zhǎng)方體紙盒的表面積.

（1）直接利用正方體體積求法進(jìn)而得出答案.（2）利用已知表示出長(zhǎng)方體

的體積，進(jìn)而得出答案.

（1）設(shè)魔方的棱長(zhǎng)為x（cm），則x3＝216，解得x＝6.

∴該魔方的棱長(zhǎng)為6cm.

（2）設(shè)該長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)為y（cm），則6y2＝600，解得y＝±10.

∵y是正數(shù)，∴y＝10.

10×10×2+10×6×4=440(cm2).

∴該長(zhǎng)方體紙盒的表面積為440cm2.

本題主要考查了立方根以及算術(shù)平方根，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)

鍵.

根據(jù)y2＝100，解得y＝±10，而不是y=10，其中y=-10不合題意舍去，

要注意規(guī)范解答.

x取何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

使代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，若有被開(kāi)平方數(shù)，則被開(kāi)平方數(shù)大于等于0；

若式子中含有分母，則分母不能為0.

(1）∵2-x≥0，x-1≥0，∴1≤x≤2.∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，(1）式有意義.

(2）∵2x-1＞0(分母2x-1≠0），∴x>12.∴當(dāng)x>12時(shí)，(2）式有意義.

(3）∵x-1≥0，x-2≠0，∴x≥1且x≠2.∴當(dāng)x≥1且x≠2時(shí)，(3）式有意義.

(4）∵(x-3）2≥0，∴x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，(4）式都有意義.

有被開(kāi)平方數(shù)的代數(shù)式要有意義，被開(kāi)平方數(shù)必須大于等于0；有分母

的代數(shù)式要有意義，分母必須不等于0.

當(dāng)被開(kāi)平方數(shù)在分母中出現(xiàn)時(shí)，被開(kāi)平方數(shù)必須大于0.

已知實(shí)數(shù)x，y滿足y=4x-1+1-4x+13，求3yx的值.

根據(jù)被開(kāi)平方數(shù)均為非負(fù)，而4x-1與1-4x又互為相反數(shù)，可以先求出x，

y的值，再根據(jù)立方根定義，即可解答.

∵4x-1≥0，1-4x≥0,∴x≥14，x≤14.

本題考查了平方根的意義以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，而最后求立方根的關(guān)鍵是

熟悉立方根的定義.

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定x的值是本題的突破口，還需要注意立方根的結(jié)

果只有一個(gè)，與平方根要區(qū)別開(kāi)來(lái).

觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問(wèn)題：

（1）2=1.414，

200

=14.14，

20000

=141.4,…；

03.0=0.1732，3=1.732，300=17.32,….

由此可見(jiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向移動(dòng)位.

(2）已知5=2.236，50=7.071，則0.5=，500=.

(3）31=1，31000=10，31000000=100,…，

小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是.

(4）已知310=2.154，3100=4.642，則310000=，-30.1=．

（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫出即可.(2）利用得出的規(guī)律計(jì)

算即可得到結(jié)果.(3）歸納總結(jié)得到規(guī)律，寫出即可.(4）利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．

（1）被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移

動(dòng)一位．故答案為：兩，右，一.

（2）

5.0

=0.7071，

500

=22.36．

（3）小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是：被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右（或向左）移動(dòng)三位，其立方根的小

數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動(dòng)一位．

（4）

10000

=21.54，-1.03

=-0.4642．

本題考查了立方根以及算術(shù)平方根，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．

注意平方根與立方根小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)位數(shù)的規(guī)律不同，不要混淆．

請(qǐng)你認(rèn)真觀察下面各個(gè)式子，然后根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第④、⑤個(gè)式子.

①

16

=

161?

=241?

=1×24

=1×4=4；

②

32

=

162?

=242?

=2×24

=2×4=24；

③

48

=

163?

=243?=3×24

=3×4=34.

要寫出第④、⑤個(gè)式子，就要知道它們的被開(kāi)方數(shù)分別是什么，為此應(yīng)認(rèn)

真觀察所給式子的特點(diǎn).通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)前面三個(gè)式子的被開(kāi)方數(shù)分別是用序數(shù)乘16得到

的，故第④、⑤個(gè)式子的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)該分別是64和80.

④

64

=

164?

=244?

=

4

×24

=2×4=8；

⑤

80

=

165?

=245?=

5

×24

=

5

×4=54.

解這類題需注意觀察題目所給的每個(gè)式子的特點(diǎn)，然后從特殊的例子推

廣得到一般的結(jié)論.

按規(guī)律找出被開(kāi)方數(shù)后，要利用算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道

智力題：求59319的立方根.華羅庚脫口而出：39.眾人十分驚奇，忙問(wèn)計(jì)算的奧妙.你知道

怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的問(wèn)題試一試.

（1）103＝1000，1003＝1000000，你能確定59319的立方根是幾位數(shù)嗎？位數(shù).

（2）由59319的個(gè)位數(shù)是9，你能確定59319的立方根的個(gè)位數(shù)是幾嗎？.

（3）如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而33＝27，43＝64，由此你能確定59319

的立方根的十位數(shù)是幾嗎？.因此59319的立方根是.

（4）現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)185193，你能按這種方法說(shuō)出它的立方根嗎？

①它的立方根是位數(shù).②它的立方根的個(gè)位數(shù)是.③它的立方根的十位數(shù)是.④185193的立

方根是.

（1）根據(jù)59319大于1000而小于1000000，即可確定59319的立方根是兩

位數(shù).（2）根據(jù)一個(gè)數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)，據(jù)此即可確定.

（3）根據(jù)數(shù)的立方的計(jì)算方法即可確定.（4）首先根據(jù)一個(gè)數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)

的個(gè)位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)確定個(gè)位數(shù)，然后確定十位數(shù).

（1）兩

（2）9

（3）339

（4）∵103＝1000，1003＝1000000，1000＜185193＜1000000，

∴185193的立方根是一個(gè)兩位數(shù).

∵185193的最后一位是3，∴它的立方根的個(gè)位數(shù)是7.

185193去掉后3位，得到185，

∵53＜185＜63，∴立方根的十位數(shù)是5.

∴185193的立方根是57.

故答案為：兩；7；5；57.

本題主要考查了數(shù)的立方，理解一個(gè)數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)就是這個(gè)數(shù)的個(gè)

位數(shù)的立方的個(gè)位數(shù)是解題的關(guān)鍵.

估值是解決本題的主要方法，要準(zhǔn)確估計(jì)立方根的范圍必須清楚一個(gè)數(shù)

每擴(kuò)大十倍，它的立方擴(kuò)大1000倍，反之亦然.

拓展訓(xùn)練

A組

1.4的平方根是±2，那么

81

的平方根是(）.

A.±9B.9C.3D.±3

2.下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是(）.

A.-2與??22?B.-2與38?C.-2與

2

1

?D.|-2|與2

3.已知3≈1.732，下列各式正確的是（）.

A.

3.0

≈1.732B.

30

≈17.32C.

300

≈17.32D.

3000

≈173.2

4.若2m-4與3m-1是同一個(gè)數(shù)的平方根，則m的值為(）.

A.-3B.1C.-3或1D.-1

5.若x，y滿足|x-3|+12??y?=0，則y??的值是（）.

A.1B.2C.3D.5

6.下列說(shuō)法中，正確的是（）.

①-2是2的一個(gè)平方根;②-4的算術(shù)平方根是2;③

16

的平方根是±2;④0沒(méi)有平方根.

A.①②③B.①④C.①③D.②③④

7.如果y=8??+??8+2，那么xy的算術(shù)平方根是(）.

A.2B.8C.4D.6

8.(1）寫一個(gè)比-

3

小的整數(shù)：.

（2）已知a，b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a<

28

9.若a的一個(gè)平方根是b，則它的另一個(gè)平方根是；若a的一個(gè)平方根是b，則

a的平方根是.

10.若33670.0=0.716，3670.3=1.542，則3367=，33670?=．

11.計(jì)算：

（1）

81

+327?+

2

3

2

?

?

?

?

?

?

?.（2）??22?-|1-3|+22

-53.

12.求下列式子中x的值：

（1）（3x+1）2=16.（2）（x-2）3-1=-28．

13.如圖，用兩個(gè)邊長(zhǎng)為152cm的小正方形拼成一個(gè)大的正方形.

（第13題）

（1）求大正方形的邊長(zhǎng).

（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)、寬之比為

4∶3且面積為720cm?∶3且面積為720cm且面積為720cm2？若能，試求出剪出的長(zhǎng)方形紙

片的長(zhǎng)與寬；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

B組

14.若x-1+x+y=0，則x2019+y2020的值為(）.

A.0B.1C.-1D.2

15.對(duì)a，b定義運(yùn)算“*”如下：a*b=已知3*m＝36，則實(shí)數(shù)m等于

（）.

A.

32

B.4C.±

32

D.4或±

32

16.下列語(yǔ)句中正確的是(）.

A.如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)一定是0

B.一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)

C.負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根

D.一個(gè)不為0的數(shù)的立方根和這個(gè)數(shù)同號(hào)，0的立方根是0

17.在0~20的自然數(shù)中，立方根是有理數(shù)的共有(）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

18.已知

32?a

-3+337a?=0，則5?a=．

19.你能找出規(guī)律嗎？

（1）計(jì)算：4×

9

=，

94?

=，

16

×

25

=，

2516?

=.

（2）請(qǐng)按找到的規(guī)律計(jì)算：①

5

×

20

.②

3

2

1

×

5

3

9

.

（3）已知a=2，b=

10

，則

40

=（用含a，b的式子表示）．

20.請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)的方法，完成下表：

(1）觀察下表并說(shuō)明當(dāng)已知數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)向右(或向左）移動(dòng)時(shí)，它的立方根3a的小數(shù)點(diǎn)的

移動(dòng)規(guī)律是怎樣的？寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

(2）運(yùn)用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解下列各小題：

已知3250.5=1.738，求：①300525.0.②35250000.

走進(jìn)重高

1.【杭州】下列計(jì)算中，正確的是（）.

A.22

=2B.22=±2C.24

=2D.24

=±2

2.【南京】若方程（x-5）2＝19的兩根為a和b，且a＞b，則下列結(jié)論中正確的是（）.

A.a是19的算術(shù)平方根B.b是19的平方根

C.a-5是19的算術(shù)平方根D.b+5是19的平方根

3.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，原理如圖：

（第3題）

當(dāng)輸入的x＝81時(shí)，輸出的y＝.

4.若（x-5）2+164?y=0，則（y-x）2019＝.

5.全球氣候變暖導(dǎo)致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚就開(kāi)始在

巖石上生長(zhǎng).每一個(gè)苔蘚都會(huì)長(zhǎng)成近似圓形，苔蘚的直徑和其生長(zhǎng)年限，近似地滿足如下的

關(guān)系式：d＝7×

12?t

（t≥12），其中d代表苔蘚的直徑，單位是厘米；t代表冰川消失

的時(shí)間，單位是年.

（1）計(jì)算冰川消失16年后苔蘚的直徑.

（2）如果測(cè)得一些苔蘚的直徑是35厘米，問(wèn)：冰川約是在多少年前消失的？

6.已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為a和3a-8.

（1）求a的值，并求這個(gè)正數(shù).

（2）求1-7a2的立方根.

高分奪冠

1.若

a200

是一個(gè)整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)a=；若3128x是一個(gè)正整數(shù)，

則滿足條件的最小正整數(shù)x=.

2.

4?a

-

a29?

+

a31?

+2a?的值是.

3.①ab=0;②a+b=0;③a2+b=0;④a-b=0;⑤a+2b2=0.以上5個(gè)等式中一定要滿足實(shí)數(shù)a,b的值

同時(shí)為0的是(填序號(hào)）.

4.如圖，有三個(gè)正方體.

（1）三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)之間有怎樣的大小關(guān)系？(用“<”連接)

（2）棱長(zhǎng)a的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？百分位是幾？（可以用計(jì)算器進(jìn)行探索）

（3）根據(jù)下表所列棱長(zhǎng)a的范圍，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)正方體體積V的范圍，并填入下表中.

（4）這個(gè)過(guò)程繼續(xù)下去，a可能是有限小數(shù)嗎？

5.已知x=abaa???23是a+3的算術(shù)平方根，y=233???abb是b-3的立方根，求y-x的立方

根．

第七講實(shí)數(shù)及其運(yùn)算

重點(diǎn)分析：

1.實(shí)數(shù)可分成兩類：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，也可分成三類：正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和零.

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

3.實(shí)數(shù)的運(yùn)算：運(yùn)算順序：先算乘方或開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里

的；運(yùn)算律：加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律.

難點(diǎn)分析：

無(wú)理數(shù)的概念比較抽象，它是一個(gè)確定的數(shù)，卻不能把它完全直觀地表示出來(lái).

計(jì)算：

(1）

25

×

36

-21.(2）

3

-(2-

3

）×(-1）.

(3）

9

1

+

0

-327

.(4）????2325???

-3×(2+1）.

將算術(shù)平方根及立方根分別化為最簡(jiǎn)，然后合并即可得出答案.

(1）原式=5×6-21=9.

(2）原式=

3

+2-

3

=2.

(3）原式=

3

1

+0+3=

3

10

.

(4）原式=5-2

3

+4-32-3=6-2

3

-32.

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是把算術(shù)平方根和立方根化成

最簡(jiǎn).

一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根和立方根都只有一個(gè)，且和被開(kāi)方數(shù)具有同號(hào)性，

去括號(hào)時(shí)要注意符號(hào).

(1）比較

5

13?

與

5

1

的大小.

(2）比較1-2與1-

3

的大小.

差值比較法的基本思路是先求出a與b的差，若a-b＞0，則a＞b；若a-b

＜0，則a＜b；若a-b＝0，則a=b.

(1）中解法一叫差值比較法，解法二叫商值比較法，解法三叫估算法.

對(duì)于不同的問(wèn)題要靈活應(yīng)用簡(jiǎn)便合理的方法來(lái)解題.

如圖，在4×4方格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

（1）直接寫出圖1中正方形ABCD的面積及邊長(zhǎng).

（2）在圖2的4×4方格中，畫一個(gè)面積為8的格點(diǎn)正方形（四個(gè)頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上），

并把圖2中的數(shù)軸補(bǔ)充完整，然后用圓規(guī)在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)8.

（1）可以用3×3的正方形面積減去四個(gè)三角形面積得到正方形ABCD的面

積，再求算術(shù)平方根可得邊長(zhǎng).（2）根據(jù)(1)中格點(diǎn)正方形的面積計(jì)算方法畫出面積為8的

正方形，其邊長(zhǎng)就是8，然后在數(shù)軸上以原點(diǎn)為圓心、正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫弧可得實(shí)數(shù)8

的位置.

（1）正方形ABCD的面積是：

3×3－

2

1

×1×2×4=5，

∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

5

.

（2）如圖.

本題考查了格點(diǎn)正方形的面積、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用格點(diǎn)我們可以畫出面

積不為平方數(shù)的正方形，然后得到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的正方形邊長(zhǎng)，這種利用割補(bǔ)法確定圖形面

積是一種重要的數(shù)學(xué)方法.

作面積為8的正方形是難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)，要注意利用好格點(diǎn)，多嘗試并確

定面積符合題目要求.

已知x，y為實(shí)數(shù)，y=，試求3x+4y的值.

根據(jù)根號(hào)內(nèi)是非負(fù)數(shù)，分母不為0來(lái)綜合考慮，可以得到相應(yīng)的未知字母

的值.

依題意得x2-4≥4且4-x2≥0,∴x2=4.∴x=±2.

又∵x-2是原式的分母，∴x-2≠0.∴x≠2.∴x=-2，此時(shí)，y=-

4

1

.

∴3x+4y=3×(-2）+4×-?

?

?

?

?

?

4

1

=-7.

本題用到的知識(shí)點(diǎn)有：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)都在根號(hào)里，那么這兩個(gè)數(shù)

都為0.

本題除了考慮被開(kāi)方數(shù)必須大于等于零外，還要注意分母不能等于零.

(1）本題是一道規(guī)律題，很容易發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)實(shí)數(shù)的算數(shù)平方根的和的倒

數(shù)就是這兩個(gè)相鄰實(shí)數(shù)的算數(shù)平方根的差，從而求出其值.(2）利用(1）的結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn).

在解答中注意觀察題目中所給式子的變化規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律解答能使運(yùn)算

簡(jiǎn)便，并且得心應(yīng)手.

要證明(1）中的結(jié)論可以利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時(shí)乘一個(gè)

使分母有理化的因式，分式的值不變.

大家知道2是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可

能全部寫出來(lái)，但是由于1＜2＜2，所以2的整數(shù)部分為1，將2減去其整數(shù)部分1，所得

的差2-1就是其小數(shù)部分.根據(jù)以上內(nèi)容，解答下面的問(wèn)題：

(1）

5

的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是.

(2）1+2的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是.

(3）若設(shè)2+

3

的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y，求x-y3的值.

(1）求出

5

的范圍是2＜

5

＜3，即可求出答案.(2）由2的范圍是1＜

2＜2即可求出1+2的范圍，從而求得答案.(3）先求出3的范圍，從而得出2+

3

的

范圍，于是可求得x，y的值，代入即可.

(1）∵2＜

5

＜3，∴

5

的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是5-2.

故答案為：2，

5

-2.

(2）∵1＜2＜2，∴2＜1+2＜3.

∴1+2的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是1+2-2=2-1.

故答案為：2，2-1.

(3）∵1＜

3

＜2，∴3＜2+2＜4.∴x=3，y=2+2-3=2-1.

∴x-y3=3-

3

(

3

-1）=

3

.

求無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，通常先估計(jì)其整數(shù)部分，然后用原數(shù)

減去其整數(shù)部分就是小數(shù)部分.

一個(gè)無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分是用原數(shù)減去其整數(shù)部分得到的一個(gè)準(zhǔn)確值，不

能通過(guò)估計(jì)得到.

化簡(jiǎn)：

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的計(jì)算方法即可解答.（2）根據(jù)立方根的計(jì)算方法即

可解答.（3）根據(jù)數(shù)軸可以判斷a，b的大小與正負(fù)，從而可化簡(jiǎn)題中的式子.

（1）22|a|

（2）3-3a

（3）由圖可得，a＜0＜b，|a|＜|b|，

∴2a+??2ba?-??2ba?＝|a|+|a－b|－（a+b）＝-a+b-a-a-b＝-3a.

本題考查立方根、算術(shù)平方根、絕對(duì)值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

注意??2ba?和??3

3ba?去掉根號(hào)后要添絕對(duì)值符號(hào)或括號(hào)，計(jì)算時(shí)

要特別注意符號(hào)的處理，不要犯錯(cuò).

拓展訓(xùn)練

A組

1.下列說(shuō)法中：①無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)；②無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)；③無(wú)理數(shù)的平方一定是無(wú)理數(shù)；

④實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.正確的個(gè)數(shù)是(）.

A.1B.2C.3D.4

2.在算式

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

3

□

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

3

的□中填上運(yùn)算符號(hào)，使結(jié)果最大，這個(gè)運(yùn)算符號(hào)是（）.

A.加號(hào)B.減號(hào)C.乘號(hào)D.除號(hào)

3.若2＜

2?a

＜3，則a的值可以是（）.

A.-7B.

3

16

C.

2

13

D.12

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

5.當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，2a=-a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(）.

A.原點(diǎn)右側(cè)B.原點(diǎn)左側(cè)C.原點(diǎn)或原點(diǎn)右側(cè)D.原點(diǎn)或原

點(diǎn)左側(cè)

6.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi).

-6.5，0，-

15

，3.14，

3

2

，4，327，2.112…，

3

?

.

整數(shù)集合：{…};

有理數(shù)集合：{…};

無(wú)理數(shù)集合：{…};

正實(shí)數(shù)集合：{…};

負(fù)實(shí)數(shù)集合：{…}.

9.如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬行3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，若點(diǎn)A表示-3，設(shè)點(diǎn)B所

表示的數(shù)為m.

（1）求m的值.

（2）求|m-1|+

3

（m+6）+1的值.

（第9題）

10.閱讀理解：

求

103

的近似值.

解：設(shè)

103

=10+x，其中0＜x＜1，則103=（10+x）2，即103＝100+20x+x2.

∵0＜x＜1，∴0＜x2＜1.

∴103≈100+20x，解得x≈0.15，即

103

的近似值為10.15.

理解應(yīng)用：

利用上面的方法求95的近似值（結(jié)果精確到0.01）.

11.(1）若??2-2??-y=6，求yx的立方根.

（2）已知有理數(shù)a滿足2020-a+

2021?a

=a，求a-20202的值.

B組

12.對(duì)實(shí)數(shù)a，b定義“★”運(yùn)算規(guī)則如下：a★b=，則7★（2★3）等

于（）.

A.1B.2C.-1D.-2

13.若3+5的小數(shù)部分是a，3-

5

的小數(shù)部分是b，則a+b的值為(）.

A.0B.1C.-1D.2

14.我們知道，方程x2=-1沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1.若我們規(guī)定一

個(gè)新數(shù)“i”，使其滿足i2=-1（即方程x2=-1有一個(gè)根為i）.并且進(jìn)一步規(guī)定：一

切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，于是有i1=i，i

2=-1，i3=i2i=（-1）i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，從而對(duì)于

任意正整數(shù)n，我們可以得到i4n+1=i4ni=（i4）ni=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，

i4n=1.那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值為(）.

A.0B.1C.-1D.i

15.請(qǐng)?jiān)谌鐖D的兩個(gè)圓圈中各選兩個(gè)數(shù)，再用+，-，×，÷中的3種運(yùn)算符號(hào)，使得結(jié)果為

正整數(shù)，寫出你的運(yùn)算式子：.

16.如圖，將1,2,

3

三個(gè)數(shù)按圖中方式排列，若規(guī)定（a，b）表示第a行第b列的數(shù)，

則（8，2）與（2020，2020）表示的兩個(gè)數(shù)的積是．

（第16題）

17.閱讀下列材料：

為什么2不是有理數(shù)?

假設(shè)2是有理數(shù)，那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)m，n，使得2=

m

n

，于是有2m2=n2．

∵2m2是偶數(shù)，∴n2也是偶數(shù).∴n是偶數(shù)．

設(shè)n=2t（t是正整數(shù)），則n2=4t2=2m2，∴m2=2t2.∴m也是偶數(shù)．

∴m，n都是偶數(shù)，不是互質(zhì)數(shù)，與假設(shè)矛盾．

∴假設(shè)錯(cuò)誤.∴2不是有理數(shù)．

用類似的方法，請(qǐng)證明

3

不是有理數(shù)．

18.我們規(guī)定：用［x］表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，如［3.14］=3,［8］=2,在此規(guī)定下解決下

列問(wèn)題：

（1）填空：［1］+［2］+［

3

］+…+［

6

］=.

（2）求［1］+［2］+［

3

］+［4］+…+［

49

］的值．

19.如圖是一塊正方形紙片.

（1）如圖1，若正方形紙片的面積為1dm2，則此正方形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為dm.

（2）若一圓的面積與這個(gè)正方形的面積都是2πcm2，設(shè)圓的周長(zhǎng)為C圓，正方形的周長(zhǎng)為C

正，則C圓C正（填“>”“<”或“＝”）.

（3）如圖2，若正方形的面積為16cm2，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為

12cm2的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)和寬之比為3∶2，他能裁出嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

走進(jìn)重高

1.【南通】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，O，C，D分別表示數(shù)-2，-1，0，1，2，則表示數(shù)2-5

的點(diǎn)P應(yīng)落在（）.

（第1題）

A.線段AB上B.線段BO上C.線段OC上D.線段CD上

2.【福建】已知m=4+3，則以下對(duì)m的估算正確的（）.

A.2＜m＜3B.3＜m＜4C.4＜m＜5D.5＜m＜6

A.1B.2C.3D.4

4.【湘西州】用科學(xué)計(jì)算器按如圖的步驟操作，若輸入的數(shù)值是3，則輸出的值為（結(jié)果精

確到0.1）.

（第4題）

5.對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)a，b定義一種運(yùn)算“*”如下：a*b=，例如：3*2=

=5.那么12*（3*1）＝.

6.請(qǐng)按要求解答下列問(wèn)題：

（1）實(shí)數(shù)a，b滿足=0.若a，b都是非零整數(shù)，請(qǐng)寫出一對(duì)符合條件的a，b的值.

（2）實(shí)數(shù)a，b滿足=-3.若a，b都是分?jǐn)?shù)，請(qǐng)寫出一對(duì)符合條件的a，b的值.

7.如圖1是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的紙片.可以用下面的方法把它剪拼成一個(gè)正方

形．

（1）拼成的正方形的面積是，邊長(zhǎng)是.

（2）你能在3×3的正方形方格(如圖2）中，連結(jié)四個(gè)點(diǎn)組成面積為5的正方形嗎？

（3）如圖3是由10個(gè)小正方形組成的紙片，你能把它剪開(kāi)并拼成一個(gè)大正方形嗎？若能，

請(qǐng)畫出示意圖，并寫出邊長(zhǎng)為多少．

圖1圖2圖3

（第7題）

高分奪冠

1.若a＜b＜0，化簡(jiǎn)??3

3ba?-??2ba?+

3

3a-

2b的結(jié)果為(）.

A.3a-bB.3（b-a）C.a-bD.b-a

2.已知a和b都是無(wú)理數(shù)，且a≠b，下面提供的6個(gè)數(shù)：a+b，a-b，ab，

b

a

，ab+a-b，ab+a+b

可能成為有理數(shù)的有個(gè).

3.已知9，16和a三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)乘積的一個(gè)平方根，寫出所

有符合條件的數(shù)a的值：.

4.已知

21217

1

?

的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則b=，b-

b

4

=.

5.如圖，a，b，c分別是數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).化簡(jiǎn)：c2+|a-b|+3(a+b)3+|b-c|.

（第5題）

6.10414?的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求

ba?

1

+

ba?

1

的值.

第八講代數(shù)式

重點(diǎn)分析：

1.代數(shù)式：代數(shù)式是由運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接

而成的式子.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式.

2.代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果p叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)

式的值可以直接代入計(jì)算.

難點(diǎn)分析：

代數(shù)式書寫格式：

(1）代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號(hào)，通常簡(jiǎn)記作“·”或省略不寫.數(shù)字和數(shù)字相乘，乘號(hào)不能省略；

數(shù)字和字母相乘，可以省略乘號(hào)，但數(shù)字必須寫在字母前面，如：a×2可記作2a，不能寫

成a2；字母和字母相乘時(shí)，除可省略乘號(hào)外，一般按英文字母表的順序來(lái)書寫，如：y×x×2，

可簡(jiǎn)記為2xy.

(2）帶分?jǐn)?shù)和字母相乘時(shí)，若要省略乘號(hào)，須把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，如：，記作

3

2

x，

不能寫成

2

1

1x.另外，當(dāng)數(shù)字因數(shù)是1或-1時(shí)，通常省略不寫，如1×a，不能寫成1a，而

應(yīng)記作a.

(3）代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來(lái)寫，如：s÷t記作st，ah÷2記作

2

ah

.

(4）寫代數(shù)式的答案時(shí)，若是乘、除關(guān)系的，單位名稱直接寫在式子的后面，如：正方形面

積是12a平方厘米，無(wú)需加括號(hào)；若是加減關(guān)系時(shí)，必須把式子用括號(hào)括起來(lái)，再寫單位，

如：三角形的周長(zhǎng)是(a+b+c）米.

說(shuō)出下列代數(shù)式的意義：(1）2(a+3）.(2）a2+b2.(3）.

說(shuō)出代數(shù)式的意義，實(shí)際上就是把代數(shù)式用語(yǔ)言敘述出來(lái).敘述時(shí)，既要表

明運(yùn)算的順序，又要說(shuō)出運(yùn)算的最終結(jié)果.

(1）2(a+3）的意義是2與(a+3）的積.

(2）a2+b2的意義是a，b的平方的和.

(3）的意義是(n+1）除以(n-1）的商.

用語(yǔ)言表達(dá)代數(shù)式的意義，一定要理清代數(shù)式中含有的各種運(yùn)算及運(yùn)算

順序，具體說(shuō)法沒(méi)有統(tǒng)一規(guī)定，以簡(jiǎn)明而無(wú)歧義為出發(fā)點(diǎn).

a2+b2的意義是a，b的平方的和，注意與a，b和的平方的區(qū)別.

如圖是一個(gè)長(zhǎng)方形的鋁合金窗框，其長(zhǎng)為a（m），高為b（m），裝有同樣大的塑鋼

玻璃，當(dāng)?shù)冖趬K向右拉到與第③塊重疊

2

1

，再把第①塊向右拉到與第②塊重疊

3

1

時(shí)，用含a

與b的式子表示這時(shí)窗子的通風(fēng)面積是m2．

第②塊向右拉到與第③塊重疊

2

1

，再把第①塊向右拉到與第②塊重疊

3

1

時(shí)，第①塊和第②塊玻璃之間的距離是?

?

?

?

?

?

?

3

1

2

1

×

3

a

.窗子的通風(fēng)面積為①中剩下的部分．

如圖，窗子的通風(fēng)面積即圖中陰影部分的面積.

根據(jù)圖示找到窗子通風(fēng)的部位在哪里，是哪個(gè)長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)和寬分別是

多少，都需要求出來(lái)，然后再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算．

本題有一定的難度，主要是要準(zhǔn)確地找到窗子的通風(fēng)部位.

如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖，請(qǐng)你用x，y表示輸出結(jié)果，并求輸入x的值為

3，y的值為-2時(shí)的輸出結(jié)果.

本題只需將x=3，y=-2代入數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖，一步一步計(jì)算即可得出

結(jié)果.

解答本題的關(guān)鍵就是弄清楚示意圖給出的計(jì)算程序，按程序一步一步計(jì)

算.

注意運(yùn)算順序，同時(shí)正確理解題意也比較重要.

甲、乙兩家商店出售同樣牌子和規(guī)格的羽毛球拍和羽毛球，每副球拍定價(jià)300元，

每盒羽毛球定價(jià)40元，為慶祝五一節(jié)，兩家商店開(kāi)展促銷活動(dòng)如下：

甲商店：所有商品9折優(yōu)惠.

乙商店：每買1副球拍贈(zèng)送1盒羽毛球.

某校羽毛球隊(duì)需要購(gòu)買a副球拍和b盒羽毛球（b＞a）.

（1）按上述的促銷方式，該校羽毛球隊(duì)在甲、乙兩家商店各應(yīng)花費(fèi)多少元？試用含a，b

的代數(shù)式表示.

（2）當(dāng)a＝10，b＝20時(shí)，試判斷分別到甲、乙兩家商店購(gòu)買球拍和羽毛球，哪家便宜？

（1）根據(jù)題意可以用代數(shù)式分別表示出該校羽毛球隊(duì)在甲、乙兩家商店各

應(yīng)花費(fèi)的錢數(shù).（2）根據(jù)（1）中代數(shù)式，將a＝10，b＝20代入即可解答本題.

（1）在甲商店購(gòu)買的費(fèi)用為（300a+40b）×0.9＝（270a+36b）元，

在乙商店購(gòu)買的費(fèi)用為300a+40（b-a）＝（260a+40b）元.

（2）當(dāng)a＝10，b＝20時(shí)，

在甲商店購(gòu)買的費(fèi)用為270×10+36×20＝3420（元），

在乙商店購(gòu)買的費(fèi)用為260×10+40×20＝3400（元）.

∵3420＞3400，

∴當(dāng)a＝10，b＝20時(shí)，到乙商店購(gòu)買球拍和羽毛球便宜.

本題考查列代數(shù)式、代數(shù)式求值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，正確理

解題中的數(shù)量關(guān)系，并能用字母表示數(shù)量關(guān)系.

計(jì)算（300a+40b）×0.9時(shí)根據(jù)乘法分配律去括號(hào)，要注意0.9跟兩個(gè)

項(xiàng)都要相乘.

當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式px3+qx+1的值為2020，求x=－1時(shí)，代數(shù)式px3+qx+1的值.

把x=1代入代數(shù)式可得到p+q的值，再把p+q作為一個(gè)整體代入到x=-1時(shí)

的代數(shù)式中就可求得代數(shù)式的值.

當(dāng)x=1時(shí)，px3+qx+1=p+q+1=2020，∴p+q=2019.

∴當(dāng)x=－1時(shí)，px3+qx+1=－p-q+1=－(p+q）+1=-2019+1=-2018.

求代數(shù)式的值可以把未知數(shù)的值直接代入求值，也可以把某個(gè)代數(shù)式作

為一個(gè)整體代入求值.

p和q的值不能求出來(lái)，要把p+q作為一個(gè)整體代入求值.

(1)在下列橫線上用含a，b的代數(shù)式表示相應(yīng)圖形的面積.

（2）通過(guò)拼圖，你發(fā)現(xiàn)前三個(gè)圖形的面積與第四個(gè)圖形的面積之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用數(shù)學(xué)

式子表示：.

(3）利用（2）的結(jié)論計(jì)算992+2×99×1+1的值．

（1）根據(jù)圖形可以求得各個(gè)圖形的面積.(2）通過(guò)觀察可以得到前三個(gè)圖

形的面積與第四個(gè)圖形的面積之間的關(guān)系，從而可以用式子進(jìn)行表示.(3）根據(jù)問(wèn)題（2）發(fā)

現(xiàn)的結(jié)論可以得到992+2×99×1+1=(99+1）2．

（1）①a2②2ab③b2④（a+b）2

（2）通過(guò)拼圖，前三個(gè)圖形的面積與第四個(gè)圖形的面積之間的關(guān)系是：前三個(gè)圖形的面積

之和等于第四個(gè)圖形的面積，用數(shù)學(xué)式子表示是：a2+2ab+b2=（a+b）2.

（3）992+2×99×1+1=（99+1）2=1002=10000．

本題考查列代數(shù)式和代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出正確的

代數(shù)式并求出代數(shù)式的值．

注意兩種面積表示方法得到的大正方形面積相等，由此等量關(guān)系可得到

公式，各個(gè)圖形的面積和差關(guān)系一定要清楚．

探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每條邊上的釘子數(shù)），連結(jié)任意兩個(gè)釘子

所得到的不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)：如圖，當(dāng)n=2時(shí)，釘子板上所連不同線段的長(zhǎng)度值只有1

與2，所以不同長(zhǎng)度值的線段只有2種，若用S表示不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)，則S=2；

當(dāng)n=3時(shí)，釘子板上所連不同線段的長(zhǎng)度值有1，2，2，

5

，22,共5種，比n=2時(shí)

增加了3種，即S=2+3=5.

(1）觀察圖形，填寫下表：

(2）寫出(n-1）×(n-1）和n×n的兩個(gè)釘子板上不同長(zhǎng)度值的線段種數(shù)之間的關(guān)系(用式

子或語(yǔ)言表述均可）.

(3）對(duì)n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數(shù)式.

(1）釘子數(shù)為2×2時(shí)，共有不同長(zhǎng)度的線段2種；釘子數(shù)為3×3時(shí)，共

有不同長(zhǎng)度的線段（2+3）種；釘子數(shù)為4×4時(shí)，共有不同長(zhǎng)度的線段（2+3+4）種；那么

釘子數(shù)為5×5時(shí)，共有不同長(zhǎng)度的線段（2+3+4+5）種.(2）釘子數(shù)為(n-1）×(n-1）時(shí)，

共有不同長(zhǎng)度的線段［2+3+4+5+…+(n-1）］種；釘子數(shù)為n×n時(shí)，共有不同長(zhǎng)度的線段

［2+3+4+5+…+(n-1）+n］種，相減后發(fā)現(xiàn)不同長(zhǎng)度的線段種數(shù)增加了n種.(3）釘子數(shù)為n×n

時(shí)，共有不同長(zhǎng)度的線段(2+3+4+…+n）種.

(1）4，2+3+4+5(或14）.

(2）與(n-1）×(n-1）的釘子板相比，n×n的釘子板中不同長(zhǎng)度的線段種數(shù)增加了n種.

(3）S=2+3+4+…+n=n+22×

2

2?n

=

????

2

12??nn

.

解決此類探究性問(wèn)題，關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察，分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之

間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律.

對(duì)于第(3）題寫出用n表示S的代數(shù)式時(shí)注意共有不同長(zhǎng)度的線段種數(shù)

應(yīng)從2開(kāi)始加，加到n，而不是S=1+2+3+4+…+n.

拓展訓(xùn)練

A組

1.用字母表示數(shù)，下列書寫規(guī)范的是(）.

÷4B.-3xyC.a2bD.

2

1

1ab

2.關(guān)于代數(shù)式x+1的結(jié)果，下列說(shuō)法中一定正確的是（）.

A.比1大B.比1小C.比x大D.比x小

3.某商店舉辦促銷活動(dòng)，促銷的方法是將原價(jià)x元的衣服以?

?

?

?

?

?

?15

10

9

x元出售，則下列說(shuō)

法中能正確表達(dá)該商店促銷方法的是（）.

A.原價(jià)減去15元后再打9折

B.原價(jià)打9折后再減去15元

C.原價(jià)減去15元后再打1折

D.原價(jià)打1折后再減去15元

4.當(dāng)x分別取1和-1時(shí)，代數(shù)式x4-7x2+1的值(）.

A.相等B.互為相反數(shù)C.互為倒數(shù)D.以上都不對(duì)

5.根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)值，若輸出的函數(shù)值為425，則輸入x的值為(）.

A.

25

29

B.±

5

2

C.

5

2

D.

4

25

(第5題）（第6題）

6.如圖，在長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形（其中a＞b＞a2＞0）中放置兩個(gè)相同的正方形，恰好

構(gòu)成三個(gè)形狀、大小完全一樣的小長(zhǎng)方形（陰影部分），則放置的正方形的邊長(zhǎng)為（）.

A.a

3

4

B.

3

ba?

C.b

4

3

D.

2

ba?

7.若x，y為實(shí)數(shù)，且｜x+2｜+y-2=0，則

?

?

?

?

?

?

?

?

y

x2021的值為(）.

A.2021B.-2021C.1D.-1

8.按照如圖所示的操作步驟，若輸入x的值為5，則輸出y的值為.

(第8題）

9.如圖，把R1，R2，R3三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3.

當(dāng)R1＝19.7Ω，R2＝32.4Ω，R3＝35.9Ω，I＝2.5A時(shí)，U的值為V.

（第9題）

10.農(nóng)民張大伯因病住院，手術(shù)費(fèi)為a元，其他費(fèi)用為b元.由于參加農(nóng)村合作醫(yī)療保險(xiǎn)，手

術(shù)費(fèi)報(bào)銷85%，其他費(fèi)用報(bào)銷60%，則張大伯此次住院可報(bào)銷元(用含a,b

的代數(shù)式表示）.

11.用代數(shù)式表示：

(1）比x的平方的5倍少2的數(shù).

（2）x的相反數(shù)與y的倒數(shù)的和.

（3）x與y兩數(shù)的差的平方.

（4）一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，表示這個(gè)三位數(shù).

12.在某住房小區(qū)建設(shè)中，為了提高居住環(huán)境質(zhì)量，該小區(qū)因地制宜規(guī)劃修建一個(gè)廣場(chǎng)（圖

中陰影部分）.

（1）用含m，n的代數(shù)式表示該廣場(chǎng)的周長(zhǎng)C.

（2）用含m，n的代數(shù)式表示該廣場(chǎng)的面積S.

（3）若m，n滿足（m-6）2+|n-8|＝0，求出該廣場(chǎng)的周長(zhǎng)和面積.

（第12題）

B組

13.將長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方形箱子按如圖方式打包（粗黑線），則打包帶的長(zhǎng)至

少為（）.

A.x+2y+3zB.2x+4y+6zC.4x+4y+8zD.6x+8y+6z

14.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們利用如圖所示的程序進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)無(wú)論x取任何正整數(shù)，結(jié)

果都會(huì)進(jìn)入循環(huán)，下面選項(xiàng)一定不是該循環(huán)的是(）.

A.4，2，1B.2，1，4C.1，4，2D.2，4，1

15.若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式，如

a+b+c就是完全對(duì)稱式.下列四個(gè)代數(shù)式：①a-b-c；②-a-b-c+2；③ab+bc+ca；④a2b+b2c+c2a.

其中是完全對(duì)稱式的有(填序號(hào)).

16.有三個(gè)有理數(shù)x，y，z，其中x=??11

2

??n

（n為正整數(shù)）且x與y互為相反數(shù)，y與z

互為倒數(shù)．

（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，求出x，y，z這三個(gè)數(shù)，并計(jì)算xy-yn-（y-2z）2019的值．

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，你能求出x，y，z這三個(gè)數(shù)嗎？為什么？

17.已知當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式3ax3+bx2-2cx+4的值為8，代數(shù)式ax3+2bx2-cx-15的值為-14，那

么當(dāng)x=-1時(shí)，代數(shù)式5ax3-5bx2-4cx+6的值為多少？

18.某超市在春節(jié)期間實(shí)行打折促銷活動(dòng)，規(guī)定如下：

一次性購(gòu)物低于200元不打折，低于500元但不低于200元打九折，500元或超過(guò)500元的，

其中500元部分打九折，超過(guò)500元部分打八折.

（1）王老師一次性購(gòu)物600元，求他實(shí)際付款多少元.

（2）若顧客在該超市一次性購(gòu)物x元，當(dāng)x小于500但不小于200時(shí)，他實(shí)際付款多少元；

當(dāng)x大于或等于500時(shí)，他實(shí)際付款多少元（用含x的代數(shù)式表示）？

（3）如果王老師兩次購(gòu)物貨款合計(jì)880元，第一次購(gòu)物的貨款為a元（200＜a＜300），用

含a的代數(shù)式表示兩次購(gòu)物王老師實(shí)際一共付款多少元？

走進(jìn)重高

1.我們知道，用字母表示的代數(shù)式是具有一般意義的，下列賦予4a實(shí)際意義的例子中不正

確的是（）.

A.若4和a分別表示一個(gè)兩位數(shù)中的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，則4a表示這個(gè)兩位數(shù)

B.若正方形的邊長(zhǎng)為a，則4a表示正方形的周長(zhǎng)

C.若葡萄的價(jià)格是4元/千克，則4a表示買a千克葡萄的金額

D.若三角形的底邊長(zhǎng)為3，面積為6a，則4a表示這邊上的高

2.下列說(shuō)法中，正確的是（）.

A.2a是代數(shù)式，1不是代數(shù)式B.代數(shù)式

a

b?3

表示3-b除a

C.當(dāng)x＝4時(shí)，代數(shù)式

10

4?x

的值為0D.零是最小的整數(shù)

3.當(dāng)x＝3時(shí)，代數(shù)式ax2-3x-4的值為5，則字母a的值為.

4.【金華】對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，定義一種新的運(yùn)算：x*y=ax+by.若1*（-1）＝2，則（-2）

*2的值是.

5.光明中學(xué)組織學(xué)生到距離學(xué)校9km的博物館參觀，學(xué)生小華因有事未能趕上校車，于是準(zhǔn)

備在學(xué)校門口直接乘出租車去博物館，出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

（1）若小華乘出租車的里程數(shù)為x（km）（x≥3），則所付車費(fèi)為多少元（用含x的代數(shù)式

表示）？

（2）如果小華身上僅有25元錢，由學(xué)校乘出租車到博物館錢夠不夠？請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖，正方形硬紙板的邊長(zhǎng)為a，其4個(gè)角上剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為b（b＜

2

a

），這樣

可制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒.

（1）這個(gè)紙盒的容積為（用含a，b的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)a＝10cm時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子的容積因b值的變化而變化，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?/p>

（3）在（2）的條件下，選一個(gè)你喜歡的值，使所得到的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容積大于表格中四個(gè)容

積值.我的選擇：b＝.

（第6題）

高分奪冠

1.已知a，b，c，m都是有理數(shù)，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b與c的關(guān)系是（）.

A.互為相反數(shù)B.互為倒數(shù)C.相等D.無(wú)法確定

2.把三張大小相同的正方形卡片A，B，C疊放在一個(gè)底面為正方形的盒底上，底面未被卡片

覆蓋的部分用陰影表示.若按圖1、圖2擺放，陰影部分的面積分別為S1和S2，則S1和S2的

大小關(guān)系是(）.

圖1圖2

（第2題）

A.S1=S2B.S1＜S2C.S1＞S2D.無(wú)法確定

3.如果（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=，a0+a2+a4+a6=．

5.歷史上的數(shù)學(xué)巨人歐拉最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)f(x）(f可用其他字母，但不同的字

母表示不同的多項(xiàng)式）的形式來(lái)表示，例如f(x）=x2+3x-5，把x等于某數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的值用

f(某數(shù)）來(lái)表示.例如x=-1時(shí)多項(xiàng)式x2+3x-5的值記為f(-1）=(-1）2+3×(-1）-5=-7.已知

g(x）=-2x2-3x+1，h(x）=ax3+2x2-x-12.

(1）求g(-2）的值.

（2）若h?

?

?

?

?

?

2

1

=-11，求g(a）的值.

第九講整式

重點(diǎn)分析：

1.單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是

單項(xiàng)式.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式

中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

2.多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，其中不含字母的

項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

3.整式：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

難點(diǎn)分析：

多項(xiàng)式的降(升）冪排列就是根據(jù)加法交換律按某一字母的降(升）冪將各項(xiàng)交換位置，這種

排列只是使式子變形而不改變多項(xiàng)式的值.重新排列時(shí)要注意三點(diǎn)：一是變更項(xiàng)的位置時(shí)，

一定要連同符號(hào)一起移動(dòng)；二是確定按照哪個(gè)字母的指數(shù)排列，一旦選定，中途不能更改；

三是確定按字母的降冪排列還是升冪排列.

把下列代數(shù)式的代號(hào)填在相應(yīng)的橫線上：

(1）單項(xiàng)式：.(2）多項(xiàng)式：.

(3）整式：.(4）二項(xiàng)式：.

(5）三次多項(xiàng)式：.(6）非整式：.

要根據(jù)整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念和系數(shù)或次數(shù)的確定方法進(jìn)行分類.

(1）單項(xiàng)式:(D），(E）.

(2）多項(xiàng)式:(A），(B），(C），(F），(G）.

(3）整式:(A），(B），(C），(D），(E），(F），(G）.

(4）二項(xiàng)式:(A），(C），(F）.

(5）三次多項(xiàng)式:(A），(G）.

(6）非整式:(H），(I）.

本題主要考查了整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等有關(guān)概念以及多項(xiàng)式次數(shù)的確

定.

代數(shù)式

a

ba?

=

2

a

+

2

b

，所以它是多項(xiàng)式；像

a

xy2

，3x2+

y

2

這種分母中

含有字母的代數(shù)式稱為分式.

已知多項(xiàng)式2x2+

5

2

x3+x-5x4-

3

1

.

（1）請(qǐng)指出該多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式，并寫出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).

（2）按要求把這個(gè)多項(xiàng)式重新排列：①按x的降冪排列.②按x的升冪排列.

（1）利用多項(xiàng)式的次數(shù)以及各項(xiàng)名稱和多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)定義寫出即可.（2）

根據(jù)多項(xiàng)式的升冪、降冪排列，即可解答.

（1）該多項(xiàng)式是四次五項(xiàng)式，它的二次項(xiàng)是2x2，一次項(xiàng)是x，常數(shù)項(xiàng)是

-

3

1

.

（2）①按x的降冪排列為-5x4+

5

2

x3+2x2+x-

3

1

.

②按x的升冪排列為-

3

1

+x+2x2+

5

2

x3-5x4.

本題主要考查了多項(xiàng)式的定義，正確掌握多項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)判定方法

及多項(xiàng)式的升冪、降冪排列方法是解題關(guān)鍵.

將一個(gè)多項(xiàng)式按其中一個(gè)字母降冪或升冪排列是易錯(cuò)點(diǎn)，要注意是按哪

一個(gè)字母排列，升冪和降冪不要混淆.

觀察下列一串單項(xiàng)式的特點(diǎn)：xy，-2x2y，4x3y，-8x4y，16x5y，….

（1）按此規(guī)律寫出第9個(gè)單項(xiàng)式.

(2）試猜想第n個(gè)單項(xiàng)式為多少？它的系數(shù)和次數(shù)分別是多少？

（1）通過(guò)觀察可得：x的指數(shù)為n，y的指數(shù)為1，2的指數(shù)為n-1，當(dāng)n

為偶數(shù)時(shí)，單項(xiàng)式系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，單項(xiàng)式系數(shù)為正數(shù).由此可解出本題.（2）根

據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)是單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是所有字母指數(shù)的和解答即可．

（1）∵當(dāng)n=1時(shí)，單項(xiàng)式為xy;

當(dāng)n=2時(shí)，單項(xiàng)式為-2x2y;

當(dāng)n=3時(shí)，單項(xiàng)式為4x3y;

當(dāng)n=4時(shí)，單項(xiàng)式為-8x4y;

當(dāng)n=5時(shí)，單項(xiàng)式為16x5y，

∴第9個(gè)單項(xiàng)式是29-1x9y，即256x9y．

（2）∵第n個(gè)單項(xiàng)式中，x的指數(shù)為n，y的指數(shù)為1，2的指數(shù)為n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，單

項(xiàng)式的系數(shù)為正，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，單項(xiàng)式的系數(shù)為負(fù)，

∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)的單項(xiàng)式為2n-1xny，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的單項(xiàng)式為-2n-1xny．

∴第n個(gè)單項(xiàng)式為（-1）n+12n-1xny．

它的系數(shù)是（-1）n+12n-1，次數(shù)是n+1．

本題考查的是單項(xiàng)式，根據(jù)題意找出這串式子的規(guī)律是解答本題的關(guān)

鍵．

題中單項(xiàng)式的系數(shù)是按一正一負(fù)的規(guī)律排列的，所以系數(shù)的符號(hào)可以用

-1的奇偶次冪來(lái)表示．

寫出一個(gè)三次四項(xiàng)式，滿足條件：①含有兩個(gè)字母；②每個(gè)字母的指數(shù)都不大于

2；③含有常數(shù)項(xiàng).然后選出你所喜歡的一正一負(fù)兩個(gè)有理數(shù)作為字母的值代入求這個(gè)多項(xiàng)式

的值.

多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高次數(shù)就是這個(gè)

多項(xiàng)式的次數(shù)，而滿足這個(gè)條件的多項(xiàng)式有許多，因此本題答案不唯一.

本題答案不唯一，滿足條件的可為：a2b-a2+b-1.

令a=1，b=-1，則a2b-a2+b-1=12×(-1）-12-1-1=-1-1-1-1=-4.

即該多項(xiàng)式的值是-4.

本題考查多項(xiàng)式的性質(zhì)，屬于開(kāi)放題，答案不唯一，可以根據(jù)條件自由

發(fā)揮.

要注意寫出的這個(gè)三次四項(xiàng)式不要含有同類項(xiàng).

已知代數(shù)式：①a2-2ab+b2；②（a-b）2.

（1）當(dāng)a，b滿足（a-5）2+|ab-15|＝0時(shí)，分別求代數(shù)式①和②的值.

（2）觀察（1）中所求的兩個(gè)代數(shù)式的值，探索代數(shù)式a2-2ab+b2和（a-b）2有何數(shù)量關(guān)系，

并把探索的結(jié)果寫出來(lái).

（3）利用你探索出的規(guī)律，求128.52-2×128.5×28.5+28.52的值.

（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知a＝5，ab＝15，可得b＝3，再分別代入計(jì)算可得

代數(shù)式的值.（2）根據(jù)（1）中所得兩式的結(jié)果可得答案.（3）利用所得規(guī)律a2-2ab+b2＝（a-b）

2計(jì)算可得答案.

（1）∵（a-5）2+|ab-15|＝0，∴a＝5，ab＝15.∴b＝3.

∴①a2-2ab+b2＝52-2×5×3+32＝4；

②（a-b）2＝（5-3）2＝4.

（2）由（1）知a2-2ab+b2＝（a-b）2.

（3）128.52-2×128.5×28.5+28.52＝（128.5-28.5）2＝1002＝10000.

本題主要考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a，b

的值及代數(shù)式求值.

題（3）實(shí)際上是利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，要注意區(qū)分a，b分別代表的

數(shù).

已知代數(shù)式ax5+bx3+3x+c，當(dāng)x=0時(shí)，該式的值為-1．

（1）求c的值.

(2）已知當(dāng)x=1時(shí)，該式的值為-1，試求a+b+c的值.

(3）已知當(dāng)x=3時(shí)，該式的值為-10，試求當(dāng)x=-3時(shí)該式的值.

(4）在第（3）題的已知條件下，若有3a=5b成立，試比較a+b與c的大小．

（1）將x=0代入代數(shù)式求出c的值即可.(2）將x=1代入代數(shù)式即可求出

a+b+c的值.(3）將x=3代入代數(shù)式求出35a+33b的值，再將x=-3代入代數(shù)式，變形后將35a+33b

的值代入計(jì)算即可求出該代數(shù)式的值.(4）由35a+33b的值，變形得到27a+3b=-2，將3a=5b

代入求出a的值，進(jìn)而求出b的值，確定出a+b的值，與c的值比較大歇オ

（1）把x=0代入代數(shù)式ax5+bx3+3x+c，得到c=-1．

（2）把x=1代入代數(shù)式ax5+bx3+3x+c，得到a+b+3+c=-1，∴a+b+c=-4．

（3）把x=3代入代數(shù)式ax5+bx3+3x+c，得到35a+33b+9+c=-10，

即35a+33b=-10+1-9=-18.

當(dāng)x=-3時(shí)，原式=-35a-33b-9-1=-（35a+33b）-10=18-10=8．

（4）由（3）得35a+33b=-18，即27a+3b=-2.

又∵3a=5b，即b=

5

3

a,∴27a+3×

5

3

a=-2．∴a=-

72

5

.∴b=

5

3

a=-

24

1

．

∴a+b=-

72

5

-

24

1

=-

9

1

＞-1．∴a+b＞c．

本題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，熟練掌握運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵．

注意多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)都包含前面的符號(hào)，求值計(jì)算時(shí)要關(guān)注符號(hào)，不

要遺漏或錯(cuò)用符號(hào)．

觀察下列等式：

第1個(gè)等式：a

1

=

31

1

?

=

2

1

×?

?

?

?

?

?

?

3

1

1；

第2個(gè)等式：a

2

=

53

1

?

=

2

1

×?

?

?

?

?

?

?

5

1

3

1

；

第3個(gè)等式：a

3

=

75

1

?

=

2

1

×?

?

?

?

?

?

?

7

1

5

1

；

第4個(gè)等式：a

4

=

97

1

?

=

2

1

×?

?

?

?

?

?

?

9

1

7

1

；

…

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a

5

==.

(2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：a

n

==(n為正整數(shù)）.

(3）求a1+a2+a3+a4+…+a

100

的值.

(1）(2）通過(guò)觀察可知，第一個(gè)等號(hào)后面的式子的規(guī)律是：分子不變，為1；分母是兩個(gè)連

續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號(hào)之間的關(guān)系為序號(hào)的2倍減1和序號(hào)的2倍加1.(3）運(yùn)用變

化規(guī)律計(jì)算即可.

本題考查尋找式子的變化規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算.

正確找出式子的變化規(guī)律是關(guān)鍵，注意兩點(diǎn)：找出各等式中變化的和不

變的部分；找出變化的部分與等式序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

拓展訓(xùn)練

A組

1.關(guān)于單項(xiàng)式ab2c的系數(shù)和次數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是(）.

A.系數(shù)為0，次數(shù)為2B.系數(shù)為0，次數(shù)為4

C.系數(shù)為1，次數(shù)為2D.系數(shù)為1，次數(shù)為4

2.在-3,π-2,

2

2

x

,-

2

1

xn

,-

2

1?a

這五個(gè)代數(shù)式中，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為(）.

A.2B.3C.4D.5

3.下列說(shuō)法中，正確的是（）.

A.-

5

2xy

的系數(shù)是-2B.x2+x-1的常數(shù)項(xiàng)是1

C.22ab3的次數(shù)是6次D.2x-5x2+7是二次三項(xiàng)式

4.(1）單項(xiàng)式-

2

22yx?

的系數(shù)是，次數(shù)是；多項(xiàng)式3xy3-xy+4x+6是

次項(xiàng)式，其中二次項(xiàng)系數(shù)是.

(2）單項(xiàng)式-2ab2的系數(shù)是，次數(shù)是；x+

x

1

+3(填“是”或“不是”）

多項(xiàng)式.

(3）單項(xiàng)式-22x3y2的系數(shù)為，次數(shù)為；-

5

22xa?

的系數(shù)為，次數(shù)

為；mn的系數(shù)為，次數(shù)為.

5.寫出一個(gè)關(guān)于字母a，b的單項(xiàng)式，且該單項(xiàng)式的次數(shù)為5，系數(shù)的絕對(duì)值小于4，該單項(xiàng)

式可以為．

6.5x3-4x2y+2y3-3xy2+5y4按y的升冪排列應(yīng)是.

7.把下列代數(shù)式分別填入下表適當(dāng)?shù)奈恢茫?/p>

3a，

a

3

，

2

ba?

，

a

，5，-xy，a2-2ab+1.

8.已知（3m-4）x3-（2n-3）x2+（2m+5n）x-6是關(guān)于x的多項(xiàng)式.

（1）當(dāng)m，n滿足什么條件時(shí)，該多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式.

（2）當(dāng)m，n滿足什么條件時(shí)，該多項(xiàng)式是關(guān)于x的三次二項(xiàng)式.

9.設(shè)f(x）=ax7+bx3+cx-5，其中a，b，c為常數(shù)，已知f(-7）=7，求f(7）的值.

10.如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)被分隔成A，B，A，B，C共5個(gè)區(qū)，A區(qū)是邊長(zhǎng)為a（m）的

正方形，C區(qū)是邊長(zhǎng)為b（m）的正方形.

（第10題）

（1）列式表示每個(gè)B區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)，并將式子化簡(jiǎn).

（2）列式表示整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)，并將式子化簡(jiǎn).

（3）如果a＝20，b＝10，求整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積.

(第11題）

11.如圖，將連續(xù)奇數(shù)1，3，5，7，…排成數(shù)表，觀察十字框內(nèi)5個(gè)數(shù)，探索這五個(gè)數(shù)之間

的規(guī)律，解答下面的問(wèn)題：

(1）設(shè)十字框中間的數(shù)為a，則用含a的式子表示十字框內(nèi)5個(gè)數(shù)的和為.

(2）十字框內(nèi)5個(gè)數(shù)的和能等于2020嗎？若能，請(qǐng)求出框內(nèi)5個(gè)數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3）十字框內(nèi)5個(gè)數(shù)的和能等于2025嗎？若能，請(qǐng)求出框內(nèi)5個(gè)數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

B組

12.若關(guān)于x，y的多項(xiàng)式2x2+mx+5y-2nx2-y+5x+7的值與x的取值無(wú)關(guān)，則m+n等于（）.

A.-4B.-5C.-6D.6

13.同時(shí)含有字母a，b，c且系數(shù)為1的五次單項(xiàng)式有(）.

A.1個(gè)B.3個(gè)C.6個(gè)D.9個(gè)

14.有一個(gè)多項(xiàng)式為a8-a7b+a6b2-a5b3+…，如果按照規(guī)律寫下去，那么這個(gè)多項(xiàng)式的第八項(xiàng)

是.

15.觀察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…，按此規(guī)律寫下去，則第n個(gè)式子

是．

16.請(qǐng)你做評(píng)委：在一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，在同一合作學(xué)習(xí)小組的小明、小亮、小丁、小彭對(duì)

剛學(xué)過(guò)的知識(shí)發(fā)表了自己的一些感受：

小明說(shuō)：“絕對(duì)值不大于4的整數(shù)有7個(gè).”

小亮說(shuō)：“當(dāng)m=3時(shí)，代數(shù)式3x-y-mx+2中不含x的項(xiàng).”

小丁說(shuō)：“若｜a｜=3，｜b｜=2，則a+b的值為5或1.”

小彭說(shuō)：“多項(xiàng)式-2x+x2y+y3是三次三項(xiàng)式.”

你覺(jué)得他們的說(shuō)法正確嗎？若不正確，請(qǐng)幫他們修正，寫出正確的說(shuō)法.

17.已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，試化簡(jiǎn)｜b｜+b+2-｜c(diǎn)｜+｜a-1｜+｜c(diǎn)-a｜.

(第17題）

18.下表中的字母都是按一定規(guī)律排列的.

我們把某格中的字母的和所得多項(xiàng)式稱為“特征多項(xiàng)式”，例如第1格的“特征多項(xiàng)式”為

6x+2y，第2格的“特征多項(xiàng)式”為9x+4y，根據(jù)規(guī)律回答下列問(wèn)題：

（1）第3格的“特征多項(xiàng)式”為，第4格的“特征多項(xiàng)式”為，第n格的“特征多項(xiàng)式”

為（n為正整數(shù)）.

（2）求第6格的“特征多項(xiàng)式”與第5格的“特征多項(xiàng)式”的差．

走進(jìn)重高

1.多項(xiàng)式3x2+xy-

5

1

xy2的次數(shù)是（）.

A.2B.1C.3D.4

2.下列結(jié)論中，正確的是（）.

A.單項(xiàng)式32ab2c的次數(shù)是4

B.單項(xiàng)式-

5

22nm?

的系數(shù)是-

5

2

C.多項(xiàng)式x2-y的次數(shù)是3

D.多項(xiàng)式5x3-2x2+1中，第二項(xiàng)是2x2

3.當(dāng)m＝1時(shí)，代數(shù)式am3+bm+6的值是2019，那么當(dāng)m＝-1時(shí)，代數(shù)式am3+bm+6的值是.

4.觀察下面的一列單項(xiàng)式：-2x，4x3，-8x5，16x7，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式

為.

5.如圖是有關(guān)x的代數(shù)式的方陣，若第10行第2項(xiàng)的值為1034，則此時(shí)x的值為．

…

（第5題）

6.如圖，某種窗戶由上下兩部分組成，其上部是用木條圍成的半圓形，且半圓內(nèi)部用了三根

等長(zhǎng)的木條分隔，下部是用木條圍成的邊長(zhǎng)相同的四個(gè)小正方形，木條寬厚不計(jì)，已知下部

的小正方形的邊長(zhǎng)為a（m）.

（1）用含a的代數(shù)式分別表示窗戶的面積和木條用料（實(shí)線部分）的總長(zhǎng).

（2）若a＝1，窗戶上安裝的是玻璃，玻璃每平方米25元，木條每米20元，求制作這扇窗

戶需要多少元？（π取3，結(jié)果精確到個(gè)位）

（第6題）

高分奪冠

1.有一列數(shù)a1，a2，a3，a4，a5，…，an，其中a1=5×2+1，a2=5×3+2，a3=5×4+3，a4=5×5+4，

a5=5×6+5，…，當(dāng)an=2021時(shí)，n的值等于(）.

A.2020B.2021C.402D.336

2.已知(a-1）x2ya+1是關(guān)于x，y的五次單項(xiàng)式，試求整式的值：

①a2+2a+1;②(a+1）2.

由①②的計(jì)算結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？任意

3.已知多項(xiàng)式mx4+（m-2）x3+（2n+1）x2-3x+n不含x2和x3的項(xiàng)，請(qǐng)寫出這個(gè)多項(xiàng)式，再求

當(dāng)x=-1時(shí)該多項(xiàng)式的值．

4.已知整式P=x2+x-1，Q=x2-x+1，R=-x2+x+1，若一個(gè)次數(shù)不高于二次的整式可以表示為

aP+bQ+cR（其中a，b，c為常數(shù)），則可以進(jìn)行如下分類：

①若a≠0，b=c=0，則稱該整式為“P類整式”；

②若a≠0，b≠0，c=0，則稱該整式為“PQ類整式”；

③若a≠0，b≠0，c≠0，則稱該整式為“PQR類整式”．

（1）模仿上面的分類方式，請(qǐng)給出“R類整式”和“QR類整式”的定義：

若，則稱該整式為“R類整式”；

若，則稱該整式為“QR類整式”.

（2）例如x2-5x+5為“PQ類整式”：

∵-2P+3Q=-2（x2+x-1）+3（x2-x+1）=-2x2-2x+2+3x2-3x+3

=x2-5x+5,

即x2-5x+5=-2P+3Q，

∴x2-5x+5是“PQ類整式”．

根據(jù)上面的例子，解答下面問(wèn)題：

x2+x+1是哪一類整式？請(qǐng)通過(guò)列式計(jì)算說(shuō)明.

（3）試說(shuō)明4x2+11x+2020是“PQR類整式”，并求出相應(yīng)的a，b，c的值．

第十講整式的加減

重點(diǎn)分析：

1.同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng).這兩個(gè)條件缺一不可，但同類

項(xiàng)與字母的順序無(wú)關(guān)，與系數(shù)無(wú)關(guān).

2.合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變.

3.去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，去掉“+”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)不變號(hào)；括號(hào)前面是

“-”號(hào)，去掉“-”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要變?yōu)橄喾吹姆?hào).

難點(diǎn)分析：

1.去括號(hào)的實(shí)質(zhì)是乘法分配律.

2.代數(shù)式的值與某個(gè)字母無(wú)關(guān)是指含該字母的項(xiàng)的系數(shù)為0.

下列各組中的兩項(xiàng)哪些是同類項(xiàng)？

(1）-2m2n與-

3

2

m2n.(2）x2y3與-

2

1

x3y2.(3）5a2b與5a2bc.

(4）23a2與32a2.(5）3p2q與-qp2.(6）53與-33.

判斷同類項(xiàng)要抓住“兩同”：即字母相同，相同字母的指數(shù)相同.

(1）(4）(5）(6）是同類項(xiàng).(2）(3）不是同類項(xiàng).

判斷是否是同類項(xiàng)時(shí)先判斷字母是否相同，再判斷相同字母的指數(shù)是否

相同.

同類項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)和字母的排列順序無(wú)關(guān)，常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).

先去括號(hào)，后合并同類項(xiàng)：

(1）x+［-x-2(x-2y）］.(2）

2

1

a-a+

3

2

b2+3-

2

1

a+

3

1

b2.

(3）2a-(5a-3b）+3(2a-b）.(4）-3{-3［-3(2x+x2）-3(x-x2）-3］}.

去括號(hào)時(shí)注意去括號(hào)后符號(hào)的變化，然后找出同類項(xiàng)，根據(jù)合并同類項(xiàng)的

法則，即系數(shù)相加作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

(1）原式=x-x-2x+4y=-2x+4y.

(2）原式=

2

1

-a-

3

2

b2-

2

3

a+b2=-2a+

3

1

b2.

(3）原式=2a-5a+3b+6a-3b=3a.

(4）原式=-3［9(2x+x2）+9(x-x2）+9］=-27［(2x+x2）+(x-x2）+1］=-27(3x+1）=-81x-27.

解本題的關(guān)鍵是注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化，并且不要漏乘.有多個(gè)括號(hào)

時(shí)一般按照先去小括號(hào)、再去中括號(hào)、最后去大括號(hào)的順序.

具體解題時(shí)要注意觀察算式的特點(diǎn)，選擇合理的去括號(hào)順序，可使計(jì)算

簡(jiǎn)便.

已知a，b為常數(shù)，且4xy2,axyb,-5xy三個(gè)單項(xiàng)式相加得到的和仍然是單項(xiàng)式.那

么a和b的值可能是多少？說(shuō)明你的理由.

因?yàn)?xy2,axyb,-5xy相加得到的和仍然是單項(xiàng)式，它們y的指數(shù)不盡相同，

所以這幾個(gè)單項(xiàng)式中有兩個(gè)為同類項(xiàng).故可分情況討論從而求出a和b可能的值.

若axyb與-5xy為同類項(xiàng)，則b=1.這兩個(gè)式子相加后再加4xy2仍是單項(xiàng)式，

說(shuō)明這兩個(gè)式子相加得0，所以a=5；

若4xy2與axyb為同類項(xiàng)，則b=2.這兩個(gè)式子相加后再加-5xy仍是單項(xiàng)式，說(shuō)明這兩個(gè)

式子相加得0，所以a=-4.

綜上可知a，b的值可能為a=5,b=1或a=-4,b=2.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是同類項(xiàng)及整式的加減.本題中三個(gè)單項(xiàng)式相加得到

的和仍然是單項(xiàng)式，而y的指數(shù)不盡相同，所以這幾個(gè)單項(xiàng)式中有兩個(gè)為同類項(xiàng)，并且相加

得0.

在整式的加減中，只有同類項(xiàng)才可以合并，當(dāng)兩個(gè)單項(xiàng)式相加的和仍是

單項(xiàng)式時(shí)，說(shuō)明這兩個(gè)單項(xiàng)式是同類項(xiàng).

化簡(jiǎn)或化簡(jiǎn)求值：

(1）3(x2-2xy）-［3x2-2y-2(3xy+y）］.

(2）已知A=3a2+b2-5ab，B=2ab-3b2+4a2，先求-B+2A，并求當(dāng)a=-

2

1

，b=2時(shí)，-B+2A的值.

(3）有這樣一道計(jì)算題：“計(jì)算(2x3-3x2y-2xy2）-(x3-2xy2+y3）+(-x3+3x2y-y3）的值，其中

x=

2

1

,y=-1”，甲同學(xué)把x=

2

1

錯(cuò)看成x=-

2

1

，但計(jì)算結(jié)果仍正確，你能說(shuō)明是什么原因嗎？

(1）先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)得出最簡(jiǎn)整式.(2）先將-B+2A所表示的整

式化為最簡(jiǎn)，然后代入a和b的值即可得出答案.(3）將整式化簡(jiǎn)可得出最簡(jiǎn)整式不含x的

項(xiàng)，由此可得為什么計(jì)算結(jié)果仍正確.

(1）原式=3x2-6xy-(3x2-2y-6xy-2y)

=3x2-6xy-3x2+2y+6xy+2y=4y.

(2）-B+2A=-(2ab-3b2+4a2）+2(3a2+b2-5ab）

=-2ab+3b2-4a2+6a2+2b2-10ab=2a2-12ab+5b2，

當(dāng)a=-

2

1

，b=2時(shí)，原式=2×

2

2

1

?

?

?

?

?

?

?-12×?

?

?

?

?

?

?

2

1

×2+5×22=32.5.

(3）原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3=-2y3.

因?yàn)榛?jiǎn)結(jié)果中不含x的項(xiàng)，所以原式的值與x的取值無(wú)關(guān).

本題考查整式的化簡(jiǎn)求值.化簡(jiǎn)求值對(duì)運(yùn)算的理解以及對(duì)運(yùn)算技能的掌