二面角的求法

求二面角的五種方法

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求二面角的五種方法

一、定義法：由圖形的特殊條件按定義直接作出.如在空間四邊形

ABCD中,AB=AC,DB=DC,求二面角A-BC-D的大小.

例1如圖,過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD,設PA=AB=a,求

二面角B-PC-D的大小.

例2二面角α-BC-β大小為120°,A∈α,B∈β,且AB⊥BC,BC⊥

CD,

AB=BC=CD=1,求二面角A-BD-C的正切值.

例3如圖,已知四面體SABC中,∠ASB=

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,∠ASC=α(0<α<

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),

∠CSB=β(0<β<

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?

),二面角A-SC-B的大小為θ,求證：θ=π-

arccos(cosα·cotβ).

二、垂面法：通過作二面角棱的垂面,此垂面與二面角的兩個面所交的兩條射線構成

的角就是這個二面角的平面角.

例4⑴空間三條射線PA,PB,PC不共面,若∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°,則二面角B-PA-

C的大小是______；

⑵已知∠AOB=90°,過O點引∠AOB所在平面的斜線OC,使它與OA,OB分別成45°,60°

的角,則二面角A-OC-B的余弦值為______.

例5如圖,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,

且分別交AC,SC于D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.

三、延伸法：若所求的兩個面只有一個公共點是已知的,因此要把兩個面延伸面得到

二面角的棱,然后再求出它的平面角.

例6直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD⊥CD,AB=2,CD=4,平面PAD⊥

平面ABCD,△PBC是邊長為10的正三角形,求平面PAD和平面PBC所

成二面角的大小.

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例7設正方體ABCD-A

1B1C1D1中,E為AA1中點,求平面B1DE和底

面ABCD所成二面角的大小.

四、垂線法：利用三垂線定理或其逆定理作出平面角.

例8已知由O點出發的三條射線OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC,

求證：二面角A-OB-C與二面角A-OC-B相等.

例9二面角M-CD-N中,A為平面M上一定點,△ADC的面積為

定值S,DC=a,B為平面N內一點,AB⊥CD,若AB與平面N成30°角,

求面積△BCD的最大值,并求此時二面角M-CD-N的大小.

五、射影法：若多邊形面積為S,它在一個平面上的射影的面積為S

0,則多邊形所在平

面與這個平面所成的二面角θ,滿足S

0=Scosθ,利用這個公式求二面角的方法稱“射影法”,

射影法對于解決棱不太明顯的二面角問題有獨特的作用.

例10過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則

平面ABP與平面CDP所成的二面角為()

A.30°B.45°C.60°

D.90°

例11P是正方形ABCD所在平面外一點,△PAB是正三角形,且平面

PAB⊥平面ABCD,求二面角P-AC-B的大小.