反比例函數教案

第二十六章反比例函數

26.1.1反比例函數的意義

教學目標：知識目標：理解反比例函數的意義；能夠根據已知條件確定反比例函數的表達式。能力目標：

培養學生探索能力和分析解決問題的能力。

情感態度：1.經歷反比例函數的形成過程，使學生體驗函數是描述變量間的對應關系的重要

數學模型。2.通過學習反比例函數，培養學生的合作交流意識。

教學重點：理解反比例函數的意義，確定反比例函數的表達式。

教學難點：反比例函數表達式的確定。

教學準備：多媒體課件、小黑板等。

教學過程

一、創設問題情境、導入新課

結合章前圖和實際生活中旅游的實例提出問題：

合肥到北京的鐵路全長約1080km,一列火車從合肥開往北京，以90km/h的速度勻速行駛，求：

（1）列車行駛的路程s與時間t的函數關系式，

（2）列車距離北京的路程s與行駛時間t的函數關系式。

請學生完成，教師評析，并出示思考題（見教材P2）

下列問題中，變量間的對應關系可用怎樣的函數式表示？這些函數有什么共同特征？

（1）京滬鐵路全程為1463km，某次列車的平均速度v（單位:km／h）隨此次列車的全程運行時

間t（單位：h）的變化而變化；

（2）某住宅小區要種植一個面積為10002m的矩形草坪，草坪的長y（單位：m）隨寬x（單位：

m）的變化而變化；

（3）已知北京市的總面積為1.68×410平方千米，人均占有的土地面積S（單位：平方千米／

人）隨全市總人口n（單位：人）的變化而變化。

學生完成，教師歸納：上述三個問題的函數表達式分別為：

n

S

x

y

t

v

41068.1

,

1000

,

1463?

???

這三個表達式有什么共同特征？你能用一個一般式來表示嗎？

二、探究新課

1、探究反比例函數的定義

讓學生把這些式子與已學的正比例函數、一次函數進行比較，進而歸納反比例函數的定義：一

般地，形如

x

k

y?（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數。其中是x自變量，y是函數，自變量

x的取值范圍是不等于0的任意實數。

2、試試眼力

下列哪些式子表示y是關于x的反比例函數？每一個反比例函數中相應的k值是多少？

.2)8(,)7(,

3

2

)6(,123)5(

,3)4(,16)3(,

5

)2(,4)1(

1???????

??????

xyxy

x

yxy

x

y

xy

x

yxy

組織學生討論，教師進行講解。

y是x的反比例函數的是（2）、（5）、（6）、（8）相應k值分別為－5、123、－

3

2

、2。

3、解決問題

例1已知y是x的反比例函數，當x＝2時，y＝6。

（1）寫出y與x的函數關系式；

（2）求當x＝4時y的值。

分析：因為y是x的反比例函數，所以設

x

k

y?,再把x＝2和y＝6代入上式就可求出常數k

的值。

回顧待定系數法，學生完成后交流，教師進行講解。

三、應用新知、鞏固練習

1、教材3頁練習1、練習3；

2、y是關于x的反比例函數，下表給出了x與y的一些值。

x-2-1

-

2

1

2

1

13

y

-

3

4

-42

(1)寫出這個反比例函數的表達式。

（2）根據函數表達式完成上表。

學生合作完成，教師進行講解。

四、小結

請學生發言：談談你本節課有哪些收獲？舉一些生活中成反比例函數關系的實例。教師結合板

書回顧本節課重點。

五、作業設計

1、必做題：教材8頁習題26.1第1，2，4題。

2、選做題：教材9頁第5，6題。

安全教育：入學安全教育，強調上、下學的交通安全，不乘坐違規機動車，騎自行

車的同學注意遵守交通規則。

教學反思：

26．1．2反比例函數的圖象和性質（1）

教學目標

1．會用描點法畫反比例函數的圖象

2．結合圖象分析并掌握反比例函數的性質

3．體會函數的三種表示方法，領會數形結合的思想方法

教學重點、難點

1．重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質

2．難點：正確畫出圖象，通過觀察、分析，歸納出反比例函數的性質

教學過程

一、課堂引入

提出問題：1．一次函數y＝kx＋b（k、b是常數，k≠0）的圖象是什么？其性質有哪些？正比

例函數y＝kx（k≠0）呢？

2．畫函數圖象的方法是什么?其一般步驟有哪些？應注意什么？

3．反比例函數的圖象是什么樣呢?

二、探究新知

例2．見教材P4，用描點法畫圖，注意強調：

（1）列表取值時，x≠0，因為x＝0函數無意義，為了使描出的點具有代表性，可以“0”為

中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣也便于求y值

（2）由于函數圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣便于連線，

使畫出的圖象更精確

（3）連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函數圖象永遠不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐

標軸

補充例：已知反比例函數32)1(???mxmy的圖象在第二、四象限，求m值，并指出在每個象限

內y隨x的變化情況？

分析：此題要考慮兩個方面，一是反比例函數的定義，即1??kxy（k≠0）自變量x的指數是

－1，二是根據反比例函數的性質：當圖象位于第二、四象限時，k＜0，則m－1＜0，不要忽視這個

條件

略解：∵32)1(???mxmy是反比例函數∴m2－3＝－1，且m－1≠0

又∵圖象在第二、四象限∴m－1＜0

解得2??m且m＜1則2??m

歸納：P6反比例函數的圖象和性質

三、鞏固練習

P6練習，P8-9練習1、2。

學生獨立完成后交流，教師提問講解。

四、小結

請學生談學習本節課的收獲和感受。

五、作業

P9練習7、8。

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

26．1．2反比例函數的圖象和性質（2）

教學目標

1．使學生進一步理解和掌握反比例函數及其圖象與性質

2．能靈活運用函數圖象和性質解決一些較綜合的問題

3．深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯系，體會數形結合及轉化的思想方法

教學重點、難點

1．重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質，并能利用它們解決一些綜合問題

2．難點：學會從圖象上分析、解決問題

教學過程

一、課堂引入

1．什么是反比例函數？

2．反比例函數的圖象是什么？有什么性質？

二、探究新知

例3．見教材P7

分析：反比例函數

x

k

y?的圖象位置及y隨x的變化情況取決于常數k的符號，因此要先求常

數k，而題中已知圖象經過點A（2，6），即表明把A點坐標代入解析式成立，所以用待定系數法能

求出k，這樣解析式也就確定了。

例4．見教材P7

學生分組討論解決，教師提問、分析

三、鞏固練習

P8練習1、2

學生獨立完成后交流，教師提問講解。

四、小結

請學生談學習本節課的收獲和感受。

五、作業

1、P9練習9

2、若直線y＝kx＋b經過第一、二、四象限，則函數

x

kb

y?的圖象在（）

（A）第一、三象限（B）第二、四象限（C）第三、四象限（D）第一、二象限

3、已知點（－1，y

1

）、（2，y

2

）、（π，y

3

）在雙曲線

x

k

y

12?

??上，則下列關系式正確的

是（）（A）y

1

＞y

2

＞y

3

（B）y

1

＞y

3

＞y

2

（C）y

2

＞y

1

＞y

3

（D）y

3

＞y

1

＞y

2

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

習題課（2課時）

教學目標

1．使學生進一步理解和掌握反比例函數及其圖象與性質

2．能靈活運用函數圖象和性質解決一些較綜合的問題

3．深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯系，體會數形結合及轉化的思想方法

教學重點、難點

1．重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質，并能利用它們解決一些綜合問題

2．難點：學會從圖象上分析、解決問題

教學過程

一、復習鞏固

1．什么是反比例函數？試寫出一個反比例函數解析式并說出k的值。

2．反比例函數的圖象是什么？有什么性質？

二、典型例題

例1.如圖，過反比例函數

x

y

1

?（x＞0）的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別

為C、D，連接OA、OB，設△AOC和△BOD的面積分別是S

1

、S

2

，比較它們的大小，可得（）

（A）S

1

＞S

2

（B）S

1

＝S

2

（C）S

1

＜S

2

（D）大小關系不能確定

分析：從反比例函數

x

k

y?（k≠0）的圖象上任一點P（x，y）向x軸、y軸作垂線段，與x軸、

y軸所圍成的矩形面積kxyS??，由此可得S

1

＝S

2

＝

2

1

，故選B

例2．如圖，一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數

x

m

y?的圖象交于A（－2，1）、B（1，

n）兩點

（1）求反比例函數和一次函數的解析式

（2）根據圖象寫出一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍

分析：因為A點在反比例函數的圖象上，可先求出反比例函數的解析式

x

y

2

??，又B點在反比例函數的圖象上，代入即可求出n的值，最后再由A、

B兩點坐標求出一次函數解析式y＝－x－1，第（2）問根據圖象可得x的取

值范圍x＜－2或0＜x＜1，這是因為比較兩個不同函數的值的大小時，就是看這兩個函數圖象哪個

在上方，哪個在下方。

三、鞏固練習

1．若直線y＝kx＋b經過第一、二、四象限，則函數

x

kb

y?的圖象在（）

（A）第一、三象限（B）第二、四象限（C）第三、四象限（D）第一、二象限

2．已知點（－1，y

1

）、（2，y

2

）、（π，y

3

）在雙曲線

x

k

y

12?

??上，則下列關系式正確的

是（）（A）y

1

＞y

2

＞y

3

（B）y

1

＞y

3

＞y

2

（C）y

2

＞y

1

＞y

3

（D）y

3

＞y

1

＞y

2

3、已知反比例函數

x

k

y

?

?

3

，分別根據下列條件求出字母k的取值范圍

（1）函數圖象位于第一、三象限

（2）在第二象限內，y隨x的增大而增大

學生分組討論完成，教師講解。

四、小結

請學生談學習本節課的收獲和感受。

五、作業

1．已知反比例函數

x

k

y

12?

?的圖象在每個象限內函數值y隨自變量x的增大而減小，且k的

值還滿足)12(29??k≥2k－1，若k為整數，求反比例函數的解析式

2．已知一次函數bkxy??的圖像與反比例函數

x

y

8

??的圖像交于

A、B兩點，且點A的橫坐標和點B的縱坐標都是－2，

求（1）一次函數的解析式；

（2）△AOB的面積

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

26．2實際問題與反比例函數（1）

教學目標

1．利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2．滲透數形結合思想，提高學生用函數觀點解決問題的能力

教學重點、難點

1．重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2．難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式

教學過程

一、導入新課

寒假到了，小明正與幾個同伴在結冰的河面上溜冰，突然發現前面有一處冰出現了裂痕，小明

立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區。你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？

二、探究新知

例1．見教材第12頁

分析：（1）問首先要弄清此題中各數量間的關系，容積為104，底面積是S，深度為d，滿足基

本公式：圓柱的體積＝底面積×高，由題意知S是函數，d是自變量，改寫后所得的函數關系式是

反比例函數的形式，（2）問實際上是已知函數S的值，求自變量d的取值，（3）問則是與（2）相

反

例2．見教材第13頁

分析：此題類似應用題中的“工程問題”，關系式為工作總量＝工作速度×工作時間，由于題

目中貨物總量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t，因此具有反比關系，（2）問涉及了反比

例函數的增減性，即當自變量t取最大值時，函數值v取最小值是多少？

三、鞏固練習

P16練習1，習題26.2/1

學生獨立完成后交流，教師提問講解。

四、小結

請學生談學習本節課的收獲和感受，教師強調分析問題的重要性。

五、作業

P16習題2、3。

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

26．2實際問題與反比例函數（2）

教學目標

1．利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2．滲透數形結合思想，進一步提高學生用函數觀點解決問題的能力，體會和認識反比例函數這

一數學模型

教學重點、難點

1．重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2．難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式，解決實際問題

教學過程

一、導入新課

1．小明家新買了幾桶墻面漆，準備重新粉刷墻壁，請問如何打開這些未開封的墻面漆桶呢？其

原理是什么？

2．臺燈的亮度、電風扇的轉速都可以調節，你能說出其中的道理嗎？

二、探究新知

例3．見教材第14頁

分析：題中已知阻力與阻力臂不變，即阻力與阻力臂的積為定值，由“杠桿定律”知變量動力

與動力臂成反比關系，寫出函數關系式，得到函數動力F是自變量動力臂l的反比例函數，當l＝1.5

時，代入解析式中求F的值；（2）問要利用反比例函數的性質，l越大F越小，先求出當F＝200

時，其相應的l值的大小，從而得出結果。

例4．見教材第15頁

分析：根據物理公式PR＝U2，當電壓U一定時，輸出功率P是電阻R的反比例函數，則

R

P

2220

?，

（2）問中是已知自變量R的取值范圍，即110≤R≤220，求函數P的取值范圍，根據反比例函數的

性質，電阻越大則功率越小，

得220≤P≤440

三、鞏固練習

P15練習2、3

學生獨立完成后交流，教師提問講解。

四、小結

請學生談學習本節課的收獲和感受，教師強調分析問題的重要性。

五、作業

P16練習4、5。

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

26．2實際問題與反比例函數（3）

教學目標

1．利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2．滲透數形結合思想，進一步提高學生用函數觀點解決問題的能力，體會和認識反比例函數這

一數學模型

教學重點、難點

1．重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2．難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式，解決實際問題

教學過程

一、導入新課

1、什么是反比例函數？

2、反比例函數的圖像和性質。

二、探究新知

例1．某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣

球內氣體的氣壓P（千帕）是氣體體積V（立方米）的反比例函

數，其圖像如圖所示（千帕是一種壓強單位）

（1）寫出這個函數的解析式；

（2）當氣球的體積是0.8立方米時，氣球內的氣壓是多少千帕？

（3）當氣球內的氣壓大于144千帕時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應不小于多少立方

米？

分析：題中已知變量P與V是反比例函數關系，并且圖象經過點A，利用待定系數法可以求出P

與V的解析式，得

V

P

96

?，（3）問中當P大于144千帕時，氣球會爆炸，即當P不超過144千帕

時，是安全范圍。根據反比例函數的圖象和性質，P隨V的增大而減小，可先求出氣壓P＝144千帕

時所對應的氣體體積，再分析出最后結果是不小于

3

2

立方米

三、鞏固練習

1．某廠現有800噸煤，這些煤能燒的天數y與平均每天燒的噸數x之間的函數關系是（）

（A）

x

y

300

?（x＞0）（B）

x

y

300

?（x≥0）（C）y＝300x（x≥0）（D）y＝300x（x＞0）

2．已知甲、乙兩地相s（千米），汽車從甲地勻速行駛到達乙地，如果汽車每小時耗油量為a

（升），那么從甲地到乙地汽車的總耗油量y（升）與汽車的行駛速度v（千米/時）的函數圖象大致

是（）

3．你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識，

一定體積的面團做成拉面，面條的總長度y（m）是面條的粗細（橫

截面積）S（mm2）的反比例函數，其圖象如圖所示：

（1）寫出y與S的函數關系式；

（2）求當面條粗1.6mm2時，面條的總長度是多少米？

學生獨立完成后交流，教師提問講解。

四、小結

請學生談學習本節課的收獲和感受，教師強調分析問題的重

要性。

五、作業

P16練習6、7。

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

習題課（2課時）

教學目標

1．利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2．滲透數形結合思想，進一步提高學生用函數觀點解決問題的能力，體會和認識反比例函數這

一數學模型

教學重點、難點

1．重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2．難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式，解決實際問題

教學過程

一、導入新課

1．京沈高速公路全長658km，汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車行完全程所需時間

t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的函數關系式為

2．完成某項任務可獲得500元報酬，考慮由x人完成這項任務，試寫出人均報酬y（元）與人

數x（人）之間的函數關系式

二、典型例題

例1．為了預防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立

方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成為正比例,藥物燃燒后，y與x成反比例(如圖)，現測得

藥物8分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量6毫克，

請根據題中所提供的信息，解答下列問題：

(1)藥物燃燒時，y關于x的函數關系式為,自變量x的

取值范為；

藥物燃燒后，y關于x的函數關系式為.

(2)研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方

可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經過______分鐘后，

員工才能回到辦公室；

(3)研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續

時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效?為什么?

分析：（1）藥物燃燒時，由圖象可知函數y是x的正比例函數，設xky

1

?，將點（8，6）代

人解析式，求得xy

4

3

?，自變量0＜x≤8；藥物燃燒后，由圖象看出y是x的反比例函數，設

x

k

y2?，

用待定系數法求得

x

y

48

?

（2）燃燒時，藥含量逐漸增加，燃燒后，藥含量逐漸減少，因此，只能在燃燒后的某一時間進

入辦公室，先將藥含量y＝1.6代入

x

y

48

?，求出x＝30，根據反比例函數的圖象與性質知藥含量y

隨時間x的增大而減小，求得時間至少要30分鐘

（3）藥物燃燒過程中，藥含量逐漸增加，當y＝3時，代入xy

4

3

?中，得x＝4，即當藥物燃

燒4分鐘時，藥含量達到3毫克；藥物燃燒后，藥含量由最高6毫克逐漸減少，其間還能達到3毫

克，所以當y＝3時，代入

x

y

48

?，得x＝16，持續時間為16－4＝12＞10，因此消毒有效

三、鞏固練習

小林家離工作單位的距離為3600米，他每天騎自行車上班時的速度為v（米/分），所需時間為

t（分）

（1）則速度v與時間t之間有怎樣的函數關系？

（2）若小林到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？

（2）如果小林騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達單位？

學生分組討論完成，教師分析講解。

四、小結

請學生談學習本節課的收獲和感受，教師強調分析問題的重要性。

五、作業

1、學校鍋爐旁建有一個儲煤庫，開學初購進一批煤，現在知道：按每天用煤0.6噸計算，一學

期（按150天計算）剛好用完.若每天的耗煤量為x噸，那么這批煤能維持y天

（1）則y與x之間有怎樣的函數關系？

（2）畫函數圖象

（3）若每天節約0.1噸，則這批煤能維持多少天？

2、一場暴雨過后，一洼地存雨水20米3，如果將雨水全部排完需t分鐘，排水量為a米3/分，且

排水時間為5～10分鐘

（1）試寫出t與a的函數關系式，并指出a的取值范圍；

（2）請畫出函數圖象

（3）根據圖象回答：當排水量為3米3/分時，排水的時間需要多長？

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

數學活動

活動目標：

活動1培養學生把實際問題轉化為反比例函數模型的能力

活動2理解杠桿原理與反比例函數的關系

活動主題：

1.建立反比例函數模型

2.“杠桿原理”的應用

活動過程：

活動1學生閱讀教材P58內容，完成相關表格，教師組織探究。

活動2教師聯系日常生活中的桿秤等讓學生理解“杠桿原理”，學生探究活動2，外出相應表格，

教師組織討論、分析。

活動小結：

請學生談學習本節課的收獲和感受。

作業設計：

1．蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數關系式為

2．若函數28)3(mxmy???是反比例函數，則m的取值是

3．矩形的面積為4，一條邊的長為x，另一條邊的長為y，則y與x的函數解析式為

4．一定質量的氧氣，它的密度?（kg/m3）是它的體積V（m3）的反比例函數，圖像如圖：

（1）求?與V的函數關系式；（2）求當V＝2時氧氣的密度?

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

單元小結（2課時）

教學目標

1．復習鞏固反比例函數的概念、性質、用待定系數法求函數解析式；

2．能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式，體會函數的應用思想

教學重、難點

1．重點：反比例函數的概念、性質、能根據實際問題寫出函數解析式

2．難點：反比例函數的應用

教學過程：

一、知識點回顧

1．回憶一下什么是反比例函數、一般形式及其性質？

2．結合P20小結與本章知識結構圖，回顧本章知識重點。

二、例題分析

例1．下列等式中，哪些是反比例函數

（1）

3

x

y?（2）

x

y

2

??（3）xy＝21（4）

2

5

?

?

x

y（5）

x

y

2

3

??（6）3

1

??

x

y

例2．當m取什么值時，函數23)2(mxmy???是反比例函數？

分析：反比例函數

x

k

y?（k≠0）的另一種表達式是1??kxy（k≠0），后一種寫法中x的次

數是－1，因此m的取值必須滿足兩個條件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特別注意不要遺漏k≠0

這一條件，也要防止出現3－m2＝1的錯誤。解得m＝－2

例3．在平面直角坐標系內，過反比例函數

x

k

y?（k＞0）的圖象上的一點分別作x軸、y軸的垂線

段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積是6，則函數解析式為

三、復習練習

學生選做教材P60頁復習題17有關習題，完成后交流，教師提問分析。重點討論拓廣探索題第

11題，強調反比例函數的應用。

四、小結

請學生談學習本章的收獲和存在的疑惑，教師分析、解答。

五、作業

P21練習5、6、7。

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：

單元檢測（2課時）

教學目標：

檢測學生對反比例函數及其性質的掌握運用情況，提高學生運用所學知識分析解決問題的能力。

教學重難點：

反比例函數的性質與應用

檢測題：見試卷

試卷分析：

一、檢測情況分析

針對學生答題中存在的主要問題進行分析、評價，提出補救、改進意見。

二、試題評講

1.逐題訂正選擇和填空題，選部分典型試題組織討論

2.重點分析學生出錯較多的解答題，鞏固

三、小結

1.反比例函數的圖象、性質與實際應用；

2.分析問題、解決問題的方法技巧

請學生談學習本章存在的疑惑不解，教師組織解答

四、作業

訂正試卷

安全教育：消防安全冬季防火、安全用電、交通安全。

教學反思：