數學幾何圖形

初中數學幾何圖形綜合題

必勝中學2018-01-3015:15:15

題型專項幾何圖形綜合題

【題型特征】以幾何知識為主體的綜合題,簡稱幾何綜合題,主要研究圖形中點與

線之間的位置關系、數量關系,以及特定圖形的判定和性質.一般以相似為中心,

以圓為重點,常常是圓與三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數等知識的

綜合運用.

【解題策略】解答幾何綜合題應注意:(1)注意觀察、分析圖形,把復雜的圖形分解

成幾個基本圖形,通過添加輔助線補全或構造基本圖形.(2)掌握常規的證題方法

和思路;(3)運用轉化的思想解決幾何證明問題,運用方程的思想解決幾何計算問

題.還要靈活運用其他的數學思想方法等.

【小結】幾何計算型綜合問題,是以計算為主線綜合各種幾何知識的問題.這類問

題的主要特點是包含知識點多、覆蓋面廣、邏輯關系復雜、解法靈活.解題時必

須在充分利用幾何圖形的性質及題設的基礎上挖掘幾何圖形中隱含的數量關系

和位置關系,在復雜的“背景”下辨認、分解基本圖形,或通過添加輔助線補全或構

造基本圖形,并善于聯想所學知識,突破思維障礙,合理運用方程等各種數學思想

才能解決.

【提醒】幾何論證型綜合題以知識上的綜合性引人注目.值得一提的是,在近年各

地的中考試題中,幾何論證型綜合題的難度普遍下降,出現了一大批探索性試題,

根據新課標的要求,減少幾何中推理論證的難度,加強探索性訓練,將成為幾何論

證型綜合題命題的新趨勢.

為了復習方便,我們將幾何綜合題分為:以三角形為背景的綜合題;以四邊形為背

景的綜合題;以圓為背景的綜合題.

類型1操作探究題

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC繞點A順時針旋轉到Rt△ADE的位

置，點E在斜邊AB上，連接BD，過點D作DF⊥AC于點F.

(1)如圖1，若點F與點A重合，求證：AC＝BC；

(2)若∠DAF＝∠DBA.

①如圖2，當點F在線段CA的延長線上時，判斷線段AF與線段BE的數量關

系，并說明理由；

②當點F在線段CA上時，設BE＝x，請用含x的代數式表示線段AF.

解：(1)證明：由旋轉得，∠BAC＝∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD＝90°.

∴∠BAC＝∠BAD＝45°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°.

∴AC＝BC.

(2)①AF＝BE.理由：

由旋轉得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.

∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.

∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.

∵∠ABD＝∠FAD，由旋轉得∠BAC＝∠BAD.

∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.

由旋轉得，AB＝AD.∴△ABD是等邊三角形．∴AD＝BD.

在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；＝BD；3.∠FAD＝∠EBD，

∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.

②如圖

由旋轉得∠BAC＝∠BAD.

∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，

由旋轉得AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.

∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，

∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.

設BD＝a，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.

∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.

∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.

∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根號5）/2。

∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.

∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根號5）/2*x.

2．如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC

到點E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE為鄰邊作正方形OEFG，

連接AG，DE.

(1)求證：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉α角(0°＜α＜360°)

得到正方形OE′F′G′，如圖2.

①在旋轉過程中，當∠OAG′是直角時，求α的度數；

②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求AF′長的最大值和此時α的度

數，直接寫出結果不必說明理由．

解：(1)證明：延長ED交AG于點H，

∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點，

∴OA＝OD，OA⊥OD.

在△AOG和△DOE中，＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；＝OE

∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.

∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.

∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.

(2)①在旋轉過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：

(Ⅰ)α由0°增大到90°過程中，當∠OAG′＝90°時，

∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2

∴∠AG′O＝30°.

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.

∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.

(Ⅱ)α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′＝90°時，

同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.

綜上所述，當∠OAG′＝90°時，α＝30°或150°.

②AF′的最大值為2分子根號2＋2，此時α＝315°.

提示：如圖

當旋轉到A，O，F′在一條直線上時，AF′的長最大，

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根號2.

∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.

∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根號2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此時α＝315°.

3．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是邊CD上一點，將△ADM沿

直線AM對折，得到△ANM.

(1)當AN平分∠MAB時，求DM的長；

(2)連接BN，當DM＝1時，求△ABN的面積；

(3)當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值．

解：(1)由折疊可知△ANM≌△ADM，

∴∠MAN＝∠DAM.

∵AN平分∠MAB，

∴∠MAN＝∠NAB.

∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.

∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根號3＝根號3。

(2)如圖1，延長MN交AB延長線于點Q.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC.

∴∠DMA＝∠MAQ.

由折疊可知△ANM≌△ADM，

∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.

∴∠MAQ＝∠AMQ.

∴MQ＝AQ.

設NQ＝x，則AQ＝MQ＝1＋x.

在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，

∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.

∴NQ＝4，AQ＝5.

∵AB＝4，AQ＝5，

∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.

(3)如圖2，過點A作AH⊥BF于點H，則△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.

∵AH≤AN＝3，AB＝4，

∴當點N，H重合(即AH＝AN)時，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，

DF最大)

此時M，F重合，B，N，M三點共線，△ABH≌△BFC(如圖3)，

∴DF的最大值為4－根號7

圖1

類型2動態探究題

4．(2016·自貢)已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂

點B落在CD邊上的P點處．

(1)如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP，OP，OA.若△OCP與△PDA

的面積比為1∶4，求邊CD的長；

(2)如圖2，在(1)的條件下，擦去折痕AO，線段OP，連接BP.動點M在線段

AP上(點M與點P，A不重合)，動點N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，

連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E.試問當動點M，N在移動的過程中，

線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明變化規律．若不變，求出線段EF

的長度．

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.

∴∠APD＋∠DAP＝90°.

∵由折疊可得∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.

又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP與△PDA的面積比為1∶4，

設OP＝x，則CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，

由勾股定理得

，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.

(2)過點M作MQ∥AN，交PB于點Q.

∵AP＝AB，MQ∥AN，

∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.

∴MP＝MQ.∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝0.5PQ.

∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.

在△MFQ和△NFB中，1.∠QFM＝∠NFB；2.∠QMF＝∠BNF；＝BN

∴△MFQ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF＝0.5QB.

∴EF＝EQ＋QF＝0.5PQ＋0.5QB＝0.5PB.由(1)中的結論可得PC＝4，BC＝8，

∠C＝90°，

∴在(1)的條件下，當點M，N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為

2*根號5.

5．如圖，在直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸正

半軸上，點B的坐標是(5，2)，點P是CB邊上一動點(不與點C，B重合)，連

接OP，AP，過點O作射線OE交AP的延長線于點E，交CB邊于點M，且∠

AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y.

(1)當x為何值時，OP⊥AP?

(2)求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

(3)在點P的運動過程中，是否存在x，使△OCM的面積與△ABP的面積之和等

于△EMP的面積．若存在，請求x的值；若不存在，請說明理由．

解：(1)由題意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.

∵OP⊥AP，

∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.

∴∠OPC＝∠PAB.

∴△OPC∽△PAB.

解得x1＝4，x2＝1(不合題意，舍去)．

∴當x＝4時，OP⊥AP.

(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.

∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.

∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.

∴y＝x－4/x(2

(3)存在x符合題意．過點E作ED⊥OA于點D，交MP于點F，則DF＝AB＝

2.

∵△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積，

∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝1/2·5ED.

∴ED＝4，EF＝2.

∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.

解得y＝5/2.

6．如圖1，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與坐標原點O重合，且AD

＝8，AB＝6.如圖2，矩形ABCD沿O

B方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點P從A點出發也以每秒1個單

位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經過點B向點C運動，當點P到達點C時，

矩形ABCD和點P同時停止運動，設點P的運動時間為t秒．

(1)當t＝5時，請直接寫出點D，點P的坐標；

(2)當點P在線段AB或線段BC上運動時，求出△PBD的面積S關于t的函數

關系式，并寫出相應t的取值范圍；

(3)點P在線段AB或線段BC上運動時，作

PE⊥x軸，垂足為點E，當△PEO與△BCD相似時，求出相應的t值．

解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)．

(2)當點P在邊AB上時，BP＝6－t.

∴S＝0.5BP·AD＝0.5(6－t)·8＝－4t＋24.

當點P在邊BC上時，BP＝t－6.

∴S＝0.5BP·AB＝0.5(t－6)·6＝3t－18.

類型3類比探究題

7．如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長

線上，且PA＝PE，PE交CD于點F.

(1)求證：PC＝PE；

(2)求∠CPE的度數；

(3)如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC＝120°

時，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數量關系，并說明理由．

解：(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，

在△ABP和△CBP中，=BC;＝PB;3.∠ABP＝∠CBP

∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.

又∵PA＝PE，∴PC＝PE.

(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.

∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.

∴∠DCP＝∠E.

∵∠CFP＝∠EFD(對頂角相等)，

∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，

即∠CPF＝∠EDF＝90°.

(3)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，

在△ABP和△CBP中，=BC;＝PB;3.∠ABP＝∠CBP

∴△ABP≌△CBP(SAS)．

∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.

∵PA＝PE，∴PC＝PE.∴∠DAP＝∠DCP.

∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP.

∴∠DCP＝∠AEP.

∵∠CFP＝∠EFD(對頂角相等)，

∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，

即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.

∴△EPC是等邊三角形．∴PC＝CE.

∴AP＝CE.

8．已知AC，EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內，

∠CAE＋∠CBE＝90°.

(1)如圖1，當四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF.

①求證：△CAE∽△CBF；

②若BE＝1，AE＝2，求CE的長；

(2)如圖2，當四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且AB/BC＝EF/FC＝k時，若

BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

(3)如圖3，當四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°時，

設BE＝m，AE＝n，CE＝p，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關系．(直接

寫出結果，不必寫出解答過程)

解：(1)證明：①∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，

∴∠ACB＝45°，∠ECF＝45°.

∴∠ACB－∠ECB＝∠ECF－∠ECB，

即∠ACE＝∠BCF.

∴△CAE∽△CBF.

②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根號2.

∴BF＝根號2.

又∠CAE＋∠CBE＝90°，

∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.

解得CE＝根號6.

(2)連接BF，

∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，

∴△CFE∽△CBA.

∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.

∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.

∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，

題型2與圓有關的幾何綜合題

9．(2016·成都)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB為半徑作⊙C，交

AC于點D，交AC的延長線于點E，連接ED，BE.

(1)求證：△ABD∽△AEB；

(2)當BC(AB)＝3(4)時，求tanE；

(3)在(2)的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點F，若AF＝2，求⊙C的

半徑．

解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC.

∵DE是直徑，

∴∠DBE＝90°.

∴∠E＝90°－∠BDE.

∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.

∴∠ABD＝∠E.

∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC

及AB的延長線相交于點D，E，F.⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交

EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，FH.

(1)試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)當AB＝BE＝1時，求⊙O的面積；

(3)在(2)的條件下，求HG·HB的值．

解：(1)直線BD與⊙O

相切．理由：連接OB.

∵BD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴DB＝DC.

∴∠DBC＝∠C.

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB.

又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.

∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.

∴∠C＋∠CED＝90°.

∴∠DBC＋∠OBE＝90°.

∴BD與⊙O相切．

(2)連接AE.

在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根號2.

∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根號2.∴BC＝1＋根號2.

∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠DFA.

又∠CBA＝∠FBE＝90°，A

B＝BE，∴△CAB≌△FEB.

(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，

∴∠AEB＝45°.

∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°.

∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.

∵BH平分∠CBF，

∴∠EBG＝∠HBF＝45°.

∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°.

11．如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經過點C，且圓的直徑

AB在線段AE上．

(1)試說明CE是⊙O的切線；

(2)若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數式表示⊙O的直徑AB；

(3)設點D是線段AC上任意一點(不含端點

)，連接OD，當1/2CD＋OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．

解：(1)證明：連接OC.

∵CA＝CE，∠CAE＝30°，

∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.

∴∠OCE＝90°.

∴CE是⊙O的切線．

12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點F，交

BP于點G，E在CD的反向延長線上，EP＝EG，

(1)求證：直線EP為⊙O的切線；

(2)點P在劣弧AC上運動，其他條件不變，若BG2＝BF·BO.試證明BG＝PG；

(3)在滿足(2)的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB＝根號3/3.求弦CD的長．

解：(1)證明：連接OP.

∵EP＝EG，

∴∠EGP＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，

∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，

∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BGF＋∠OBP＝90°.

∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直線EP為⊙O的切線．

(2)證明：連接OG，AP.∵BG2＝BF·BO，∴BG/BO＝BF/BG

又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG∽△BGO.

∴∠BGF＝∠BOG，∠BGO＝∠BFG＝90°.

∵∠APB＝∠OGB＝90°，∴OG∥AP.又∵AO＝BO，∴BG＝PG.

13．如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA＝6，OB＝8，半徑為2的動圓圓

心Q從點O出發，沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點

P從點A出發，沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動，設運動時

間為t秒(0＜t≤5)以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB，OA的交點分別為C，

D，連接CD，QC.

(1)當t為何值時，點Q與點D重合？

(2)當⊙Q經過點A時，求⊙P被OB截得的弦長；

(3)若⊙P與線段QC只有一個公共點，求t的取值范圍．