拋物線標準方程

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“拋物線及其標準方程”教學設計案例

課程分析：拋物線是解析幾何的重要組成部分，是今后學習解析幾何

的基礎。本節對拋物線的教學，是在學生對于拋物線基本知識和研究

方法已經熟悉的基礎上進行的，所以學習時采用了類比的方法，讓學

生通過自主研究、合作交流等方式自己構建新知識。

學情分析：《拋物線及其標準方程》高中數學（選修2-1）中的內容，

適用對象是高二年級的學生。學生在初中階段所學的二次函數中，已

經初步接觸過拋物線。通過本節課的學習，可以讓學生進一步了解拋

物線所形成的幾何本質。在研究橢圓和雙曲線的基礎上，通過類比來

研究拋物線的定義和標準方程，讓學生進一步掌握研究曲線的基本方

法，并為他們今后學習解析幾何奠定良好的基礎。類比學習時，要

注意知識上的相似點和不同點，要注意加以區別，以防混淆。

設計理念：本節課主要采用了誘思探究教學，改變了傳統教學中滿堂

灌的教學方法，讓學生自己動手探索新知識新問題。通過日常生活中

存在的數學問題創設情境引出新知，充分調動了學生探討問題的積極

性；考慮到學生發現數學問題的能力較弱，設置了一系列探究問題，

幫學生鋪設好臺階，引導學生討論、主動探索，自己構建新知識，鼓

勵提出不同見解，發表個人看法，真正成為課堂的主人。要讓學生在

整個教學過程體會到發現的樂趣，從而提高學生學習的熱情，充分發

揮情意因素的作用。

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自制多媒體課件，用幾何畫板制作。通過多媒體，增強了教學的直觀

性，激發學生的學生興趣，同時又可提高課堂效率；使用了投影儀，

迅速快捷地展示學生的解題方案，便于課堂討論和點評，不斷優化學

生思維，規范學生解題過程。建立了一種多媒體、大容量、高效率的

教學模式，并通過這種教學示范培養學生的創新意識。

學習目標：

1、理解拋物線的定義，并能根據拋物線的定義恰當的選擇坐標

系，建立及推導拋物線的標準方程。

2、了解拋物線的標準方程，培養分析、歸納、推理等能力。

3、掌握用待定系數法求拋物線方程的方法，并能根據條件確定

拋物線的標準方程。

教學流程：

1、創設情境

復習：（1）出示課件中的橢圓圖像，讓學生說出橢圓的第二種

定義（屏幕顯示橢圓的定義：到定點與到定直線的距離的比是小于

1的常數的點的軌跡是橢圓。）

（2）出示課件中的雙曲線圖像，讓學生說出雙曲線的第二種定

義。（屏幕顯示雙曲線的定義：到定點與到定直線的距離的比是大于

1的常數的點的軌跡是雙曲線。）

2、概念形成：

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探究問題1：通過比較橢圓和雙曲線的定義思考：到定點的距離和到

定直線的距離的比是等于1的常數的點的軌跡是什么？動畫演示拋

物線的形成

（實錄：學生觀察曲線，更好的從圖象上了解拋物線）

（點評：通過類比更好的凸現了拋物線的獨特之處）

屏幕顯示拋物線定義：到定點與到定直線的距離的比是等于1的

常數的點的軌跡，即拋物線。

3、概念深化

問題：建立曲線方程一般有哪幾個步驟？

（學生回憶建系--設點--列式--化簡--證明）

探究問題2：如何選擇合適的坐標系建立方程？

（實錄：學生結合剛才在幾何畫板上所做的拋物線，思考、討論該如

何建立適當的坐標系，教師巡視、傾聽，然后讓學生發言。學生共同

探討出多種方案，其中有3種最為常見。

生1：以l為y軸，過點F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標

系。

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生2：以定點F為原點，過點F垂直于l的直線為x軸建立直角

坐標系。

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生3：過焦點F作直線FN垂直于直線l，垂足為N。以直線NF

為x軸，線段NF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系）

探究問題3：請在這三種建系方案下推導出拋物線的方程。提示

以定義為依據求拋物線的方程。

（實錄：學生自己動手求解，紛紛發言，說出三種方案所求的結果。

教師巡視、指導）

（點評：學生自己動手在不同的方案下推導方程，可以進一步激發學

習的熱情，有助于增強學習效果，加深對知識的理解。讓學生分組動

手，在三個建系方案下進行推導，然后通過對比得出標準方程，使學

生更能體會不同坐標系下方程的差異，進一步認識拋物線標準方程的

結構及對應參數的意義。）

探究問題4：通過以上過程的比較，哪種方案的結果具有較簡單

的形式？

（實錄：學生對比發現第3種方案的結果不僅具有較簡單的形式，而

且方程中的一次項系數是焦點到準線的距離的兩倍。教師就勢引導：

這個方程就叫做拋物線的標準方程。焦點在x軸的正半軸上，參數p

的幾何意義：焦點到準線的距離；焦點坐標為：)0,

2

(

p

，準線方程為：

2

p

x??）

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（點評：一題多解并選擇最優解。給學生自己探索的空間，讓學

生共同體驗數學發現和創造的歷程，提高分析問題的能力。學生在合

作交流、與人分享、探討的氛圍中傾聽、質疑、表述，體驗成功的喜

悅；學會合作，并在合作中懂得欣賞他人）

探究問題5：拋物線其他三種形式的標準方程。開口向右的拋物

線的標準方程是)0(22??ppxy，那么，對于開口向左、向上、向下的

拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程又是什么呢？類比開口向右

的拋物線，把表格一一完善。

（實錄：投影學生答案，引導學生把圖形的位置特征和方程的

形式結合起來記憶。）

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探究問題6：通過四種標準方程的對比，從方程的形式上看，可

以得出標準方程與圖像有何聯系？

（實錄：學生先各自獨立思考，然后四人一組，互相討論，小組

之間互相交流意見，不能達成共識的請教老師。最后，得出：①方程

的一次項決定焦點位置；②一次項系數的符號決定開口方向）

（點評：通過表格的形式，讓學生自主探求其中的關系，使學生

從整體上理解和掌握四個標準方程及其圖形）

4、遷移運用

例1根據下列拋物線的方程分別求出它們的焦點坐標和準線方

程。①y2=4x②x2=-8y③y=2x2

（實錄：學生分組討論，各抒己見，互相補充。及時對學生進行

鼓勵，并將學生的解法投影，展示學生的成果，學生感覺比較有成就

感）

（點評：激發學生的學習熱情，挖掘學生的潛能，鼓勵學生大膽

創新與實踐。要讓學生在自主探索和合作交流過程中獲得基本數學知

識和技能，進一步深化方程與焦點、準線的關系）

例2根據下列條件，求拋物線的標準方程。

①經過點P(-2,-4)

②拋物線焦點到準線的距離為2

③以直線2x-3y+6=0與坐標軸的交點為焦點

（實錄：學生分組討論，互相補充。將學生的解法投影，展示學

生的成果，及時對學生進行鼓勵）

（點評：題目層次清晰，由淺入深，借助幾何畫板分析題目，增

強直觀性）

5、歸納總結，升華提高

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學生分組討論本節內容，師生共同整理完善：

（1）拋物線定義及標準方程的形式

（2）拋物線的標準方程與圖像的關系

（3）數學思想方法：（數形結合思想、函數與方程思想、轉化思

想）

（點評:總結知識難度較大，因此設計學生討論且教師要適時點

撥。學生通過反思總結提高了自己獲取知識的能力以及歸納概括能

力，同時使自己的認知結構更完整，知識更系統化）

6、反饋檢測，鞏固落實

（1）根據下列拋物線的方程分別求出它們的焦點坐標和準線方

程。

①y2=-14x

②x2=18y

③y=-12x2

（2）根據下列條件，求拋物線的標準方程。

①經過點P(2,-4)

②拋物線焦點到準線的距離為8

（點評：通過設計與本節知識平行的題目，檢測學生對本節課所

學知識的掌握程度，落實知識情況，達到反饋矯正的目的。學生動手

解答，展示出部分學生的解題過程，學生互相點評，可以進一步加深

學生對知識的理解程度）

（通過檢測，發現學生掌握得比較好）

7、布置作業

必作題：根據下列條件，求拋物線的標準方程。

1、經過點P(8,16)

2、以直線4x-3y+12=0與坐標軸的交點為焦點

選作題：已知拋物線y2=6x和點A(4,0).求拋物線上一點M與A距離

的最小值，并指出M的坐標。

（點評：分層次布置作業，讓有能力的學生能更好的發揮自己的能力）

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課后反思：本節課根據學生的實際情況進行設計，并且讓學生真正成

為了課堂的主人。通過實物觀察和課件展示，學生積極思考，互相合

作，共同探究得到拋物線的標準方程，，他們的創造性思維得到了發

展；通過一系列思考和練習，學生加深了對知識和方法的理解。課堂

氣氛非常活躍。

優點：本節課的教學達到了預定的教學目標，通過“類比－

猜想－驗證－歸納”得出拋物線的定義，使學生體會到定義產生的全

過程，符合學生的認知規律。利用計算機輔助教學，將信息技術和課

堂教學有機地結合起來，有利于學生對知識的認知和理解，有效地突

出了數形結合的思想。

不足：有時引導相對過細，沒能給學生創造更大的自主探索空間。

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