方程組

初中數學競賽：方程組的解法

二元及多元(二元以上)一次方程組的求解，主要是通過同解變形進行消元，最終轉化為

一元一次方程來解決．所以，解方程組的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加

減消元兩種，下面結合例題予以介紹．

例1解方程組

解將原方程組改寫為

由方程②得x=6+4y，代入①化簡得

11y-4z=-19．④

由③得

2y+3z=4．⑤

④×3+⑤×4得

33y+8y=-57+16，

所以y=-1．

將y=-1代入⑤，得z=2．將y=-1代入②，得x=2．所以

為原方程組的解．

說明本題解法中，由①，②消x時，采用了代入消元法；解④，⑤組成的方程組時，

若用代入法消元，無論消y，還是消z，都會出現分數系數，計算較繁，而利用兩個方程中

z的系數是一正一負，且系數的絕對值較小，采用加減消元法較簡單．

解方程組消元時，是使用代入消元，還是使用加減消元，要根據方程的具體特點而定，

靈活地采用各種方法與技巧，使解法簡捷明快．

例2解方程組

解法1由①，④消x得

由⑥，⑦消元，得

解之得

將y=2代入①得x=1．將z=3代入③得u=4．所以

解法2由原方程組得

所以

x=5-2y=5-2(8-2z)

=-11+4z=-11+4(11-2u)

=33-8u=33-8(6-2x)

=-15+16x，

即x=-15+16x，解之得x=1．將x=1代入⑧得u=4．將u=4代入⑦得z=3．將z=3代入⑥

得y=2．所以

為原方程組的解．

解法3①+②+③+④得

x+y+z+u=10，⑤

由⑤-(①+③)得

y+u=6，⑥

由①×2-④得

4y-u=4，⑦

⑥+⑦得y=2．以下略．

說明解法2很好地利用了本題方程組的特點，解法簡捷、流暢．

例3解方程組

分析與解注意到各方程中同一未知數系數的關系，可以先得到下面四個二元方程：

①+②得

x+u=3，⑥

②+③得

y+v=5，⑦

③+④得

z+x=7，⑧

④+⑤得

u+y=9．⑨

又①+②+③+④+⑤得

x+y+z+u+v=15．⑩

⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把

y=6代入⑦得v=-1．所以

為原方程組的解．

例4解方程組

解法1①×2+②得

由③得

代入④得

為原方程組的解．

為原方程組的解．

說明解法1稱為整體處理法，即從整體上進行加減消元或代入消

為

換元法，也就是干脆引入一個新的輔助元來代替原方程組中的“整體元”，從而簡化方程組

的求解過程．

例5已知

分析與解一般想法是利用方程組求出x，y，z的值之后，代入所求的代數式計算．但

本題中方程組是由三個未知數兩個方程組成的，因此無法求出x，y，z的確定有限解，但我

們可以利用加減消元法將原方程組變形．

①-②消去x得

①×3+②消去y得

①×5+②×3消去z得

例6已知關于x，y的方程組

分別求出當a為何值時，方程組(1)有唯一一組解；(2)無解；(3)有無窮多組解．

分析與一元一次方程一樣，含有字母系數的一次方程組求解時也要進行討論，一般是

通過消元，歸結為一元一次方程ax=b的形式進行討論．但必須特別注意，消元時，若用含

有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時，這個式子的值不能等于零．

解由①得

2y=(1+a)-ax，③

將③代入②得

(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④

(1)當(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1時，方程④有

因而原方程組有唯一一組解．

(2)當(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0時，即a=-1時，方程④無解，因此原方程組無解．

(3)當(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0時，即a=2時，方程④有無窮多個解，因此原方程

組有無窮多組解．

例7已知關于x，y的二元一次方程

(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，

當a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，試求出這個公共解．

解法1根據題意，可分別令a=1，a=-2代入原方程得到一個方程組

將x=3，y=-1代入原方程得

(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．

所以對任何a值

都是原方程的解．

說明取a=1為的是使方程中(a-1)x=0，方程無x項，可直接求出y值；取a=-2的道理

類似．

解法2可將原方程變形為

a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．

由于公共解與a無關，故有

例8甲、乙兩人解方程組

原方程的解．

分析與解因為甲只看錯了方程①中的a，所以甲所得到的解

4×(-3)-b×(-1)=-2．③

a×5+5×4=13．④

解由③，④聯立的方程組得

所以原方程組應為

【練習】

1．解方程組

2．若x1，x2，x3，x4，x5滿足方程組

試確定3x4+2x5的值．

3．將式子3x2+2x-5寫成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，試求

4．k為何值時，方程組

有唯一一組解；無解；無窮多解？

5．若方程組

的解滿足x+y=0，試求m的值．