二次方程求根公式

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主講：黃岡中學高級教師

一、一周知識概述

1、一元二次方程的求根公式

將一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)進行配方，當b2－4ac≥0時的根為

．

該式稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公

式法，簡稱公式法．

說明：(1)一元二次方程的公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方

程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；

(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系數a、b、c的值決定的；

(3)應用求根公式可解任何一個有解的一元二次方程，但應用時必須先將其化為一般

形式.

2、一元二次方程的根的判別式

（1）當b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；

（2）當b2－4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；

（3）當b2－4ac＜0時，方程沒有實數根．

二、重難點知識

1、對于一元二次方程的各種解法是重點，難點是對各種方法的選擇，突破這一難點的

關鍵是在對四種方法都會使用的基礎上，熟悉各種方法的優缺點。

(1)“開平方法”一般解形如“”類型的題目，如果用“公式法”就顯

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得多余的了。

(2)“因式分解法”是一種常用的方法，一般是首先考慮的方法。

(3)“配方法”是一種非常重要的方法，一般不使用，但若能恰當地使用，往往能起

到簡化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式

分解，則6391這個數太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，則方程化為

，就易解，若一次項系數中有偶因數，一般也應考慮運用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明確了二次項系數、一次項系數及常數項，若方程有

實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為要代入(≥0)求值，

所以對某些特殊方程，解法又顯得復雜了。

2、在運用b2－4ac的符號判斷方程的根的情況時，應注意以下三點：

（1）b2－4ac是一元二次方程的判別式，即只有確認方程為一元二次方程時，才能

確定a、b、c，求出b2－4ac；

（2）在運用上述結論時，必須先將方程化為一般形式，以便確認a、b、c；

（3）根的判別式是指b2－4ac，而不是

三、典型例題講解

例1、解下列方程：

(1)；

(2)；

(3).

分析：用求根公式法解一元二次方程的關鍵是找出a、b、c的值，再代入公式計算，

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解：(1)因為a=1，，c=10

所以

所以

(2)原方程可化為

因為a=1，，c=2

所以

所以.

(3)原方程可化為

因為a=1，，c=－1

所以

所以；

所以．

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總結：

(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項系數為負

數，通常將其化為正數；如果方程的系數含有分母，通常先將其化為整數，求出的根要

化為最簡形式；

(2)用求根公式法解方程按步驟進行．

例2、用適當方法解下列方程：

①②

③④

⑤⑥

⑦

分析：

要合理地選用適當的方法解一元二次方程，就必須熟悉各種方法的優缺點，處理好

特殊方法和一般方法的關系。就直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法這四種方

法而言，配方法、公式法是一般方法，而開平方法、因式分解法是特殊方法。

⑴公式法是最一般的方法，只要明確了二次項系數、一次項系數和常數項，若方

程有實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為要代入一元二次方程的求根公式

求值，所以對某些方程，解法又顯得復雜了。如①，可以直接開平方，

就能馬上得出解；若此時還用求根公式就顯得繁瑣了。

⑵配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時，一般不使用，但并不是

一定不用，若能合理地使用，也能起到簡便的作用。若方程中的一次項系數有因數是偶

數，則可使用，計算量也不大。如②，因為224比較大，分解時較繁，此題中一次項系

數是-2。可以利用用配方法來解，經過配方之后得到

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，顯得很簡單。

⑶直接開平方法一般解符合型的方程，如第①小題。

⑷因式分解法是一種常用的方法，它的特點是解法簡單，故它是解題中首先考慮

的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數系數因式或系數較大難以分解

時，應考慮變換方法。

解：①

兩邊開平方，得

所以

②

配方，得

所以

所以

③

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配方，得

所以

所以

④

因為

所以=4＋20=24

所以

所以

⑤

配方：

所以

所以

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⑥

整理，得

所以

⑦

移項，提公因式，得

所以

小結：

以上各題請同學們用其他方法做一做，再比較各種方法的優缺點，體會如何選用合

適的方法，下面給出常規思考方法，僅作參考。

例3、已知關于x的方程ax2－3x＋1=0有實根，求a的取值范圍.

解：當a=0時，原方程有實根為

若a≠0時，當原方程有兩個實根.

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故，綜上所述a的取值范圍是.

小結：

此題要分方程ax2－3x＋1=0為一元一次方程和一元二次方程時討論，即分當a=0

與a≠0兩種情況．

例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有兩個不相等的實數根.

(1)求k的取值范圍；

(2)如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x2－4x＋k=0與x2＋mx－1=0有

一個相同的根，求此時m的值.

解：(1)因為方程x2－4x＋k=0有兩個不相等的實數根，

所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.

(2)滿足k<4的最大整數，即k=3.

此時方程為x2－4x＋3=0，解得x

1=1，x2=3.

①當相同的根為x=1時，則1＋m－1=0，得m=0；

②當相同的根為x=3時，則9＋3m－1=0，得

所以m的值為0或

例5、設m為自然數，且3

數根求m的值及方程的根。

解：，

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∵方程有整數根，

∴4（2m＋1）是完全平方數。

∵3

∴2m＋1值可以為9，25，49

∴m的值可以為4，12，24。

當m=4時方程為解得x=2或x=8

當m=12時方程為解得x=26或x=16

當m=24時方程為解得x=52或x=38

總結：

本題先由整數根確定2m＋1是完全平方數，再由3

再分別試驗求x，是本題特點。