..
...
1，數列通項公式的十種求法：
（1）公式法（構造公式法）
例1已知數列{}
n
a滿足
1
232n
nn
aa
?
???，
1
2a?，求數列{}
n
a的通項公式。
解：
1
232n
nn
aa
?
???兩邊除以12n?，得1
1
3
222
nn
nn
aa
?
?
??，則1
1
3
222
nn
nn
aa
?
?
??，故數列{}
2
n
n
a
是
以1
2
2
2
a
1
1??為首項，以
2
3
為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得
3
1(1)
22
n
n
a
n???，
所以數列{}
n
a的通項公式為
31
()2
22
n
n
an??。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式
1
232n
nn
aa
?
???轉化為1
1
3
222
nn
nn
aa
?
?
??，說明數列
{}
2
n
n
a
是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出
3
1(1)
22
n
n
a
n???，進而求出數列
{}
n
a的通項公式。
（2）累加法
例2已知數列
{}
n
a滿足
11
211
nn
aana
?
????，，求數列{}
n
a的通項公式。
解：由
1
21
nn
aan
?
???得
1
21
nn
aan
?
???則
11232211
2
()()()()
[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)
2(1)1
2
(1)(1)1
nnnnn
aaaaaaaaaa
nn
nnn
nn
n
nn
n
???
??????????
??????????????
??????????
?
????
????
?
所以數列
{}
n
a的通項公式為2
n
an?。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式
1
21
nn
aan
?
???轉化為
1
21
nn
aan
?
???，進而求
出
11232211
()()()()
nnnn
aaaaaaaaa
???
?????????，即得數列{}
n
a的通項公式。
變式：已知數列
{}
n
a滿足
11
2313n
nn
aaa
?
?????，
，求數列{}
n
a的通項公式。
（3）累乘法
..
...
例3已知數列{}
n
a滿足
11
2(1)53n
nn
anaa
?
????，，求數列{}
n
a的通項公式。
解：因為
11
2(1)53n
nn
anaa
?
????，，所以0
n
a?，則12(1)5n
n
n
a
n
a
???，故
13
2
1
1221
1221
1(1)(2)21
(1)
1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3
2[(1)32]53
325!
nn
n
nn
nn
nnn
nn
n
aaa
a
aa
aaaa
nn
nn
n
?
??
??
???????
?
?
??????
????????????
???????
????
所以數列
{}
n
a的通項公式為
(1)
1
2325!.
nn
n
n
an
?
?????
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系
1
2(1)5n
nn
ana
?
???轉化為12(1)5n
n
n
a
n
a
???，進而求
出13
2
1
1221
nn
nn
aaa
a
a
aaaa
?
??
?????，即得數列{}
n
a的通項公式。
變式：已知數列
{}
n
a滿足
11231
123(1)(2)
nn
aaaaanan
?
????????，，求{}
n
a的通
項公式。
（4）待定系數法
例4已知數列
{}
n
a滿足
11
2356n
nn
aaa
?
????，
，求數列??
n
a的通項公式。
解：設1
1
52(5)nn
nn
axax?
?
?????④
將
1
235n
nn
aa
?
???
代入④式，得12355225nnn
nn
axax????????
，等式兩邊消去
2
n
a，得135525nnnxx??????，兩邊除以5n，得352,1,xxx????則代入④式得
1
1
52(5)nn
nn
aa?
?
???
⑤
..
...
由1
1
56510a?????及⑤式得50n
n
a??，則
1
1
5
2
5
n
n
n
n
a
a
?
?
?
?
?
，則數列
{5}n
n
a?是以
1
1
51a??為首項，以2為公比的等比數列，則152nn
n
a???，故125nn
n
a???。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式
1
235n
nn
aa
?
???轉化為1
1
52(5)nn
nn
aa?
?
???，
從而可知數列
{5}n
n
a?是等比數列，進而求出數列{5}n
n
a?的通項公式，最后再求出數列
{}
n
a的通項公式。
變式：
①已知數列{}
n
a滿足
11
35241n
nn
aaa
?
?????，，求數列{}
n
a的通項公式。
②已知數列{}
n
a滿足2
11
23451
nn
aanna
?
?????，，求數列{}
n
a的通項公式。
（5）對數變換法
例5已知數列
{}
n
a滿足5
1
23n
nn
aa
?
???，
1
7a?，求數列{}
n
a的通項公式。
解：因為5
11
237n
nn
aaa
?
????，，所以
1
00
nn
aa
?
??，。在5
1
23n
nn
aa
?
???式兩邊取
常用對數得
1
lg5lglg3lg2
nn
aan
?
???⑩
設
1
lg(1)5(lg)
nn
axnyaxny
?
??????○11
將⑩式代入○11式，得
5lglg3lg2(1)5(lg)
nn
anxnyaxny????????，兩邊消去
5lg
n
a并整理，得(lg3)lg255xnxyxny??????，則
lg35
lg25
xx
xyy
??
?
?
???
?
，故
lg3
4
lg3lg2
164
x
y
?
?
?
?
?
?
??
?
?
代入○11式，得
1
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
lg(1)5(lg)
41644164nn
anan
?
????????○12
..
...
由
1
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
lg1lg710
41644164
a??????????及○12式，
得
lg3lg3lg2
lg0
4164n
an????，
則
1
lg3lg3lg2
lg(1)
4164
5
lg3lg3lg2
lg
4164
n
n
an
an
?
????
?
???
，
所以數列
lg3lg3lg2
{lg}
4164n
an???是以
lg3lg3lg2
lg7
4164
???為首項，以5為公比的等
比數列，則1
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
lg(lg7)5
41644164
n
n
an????????，因此
1
1
1
11
111
1
616
4444
11
111
1
1616
4444
11
111
1
1616
4444
5
5
51
4
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
lg(lg7)5
4164464
(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2
[lg(7332)]5lg(332)
lg(7332)5lg(332)
lg(733
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
an
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
???????
???
1
1
1
51
16
4
541
51
51
16
4
2)
lg(732)
n
nnn
n
?
?
?
??
?
?
?
???
則
1
1
541
51
5
16
4732
n
n
nn
n
a
?
?
??
?
???。
評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式5
1
23n
nn
aa
?
???轉化為
1
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
lg(1)5(lg)
41644164nn
anan
?
????????，從而可知數列
lg3lg3lg2
{lg}
4164n
an???是等比數列，進而求出數列
lg3lg3lg2
{lg}
4164n
an???的通項
公式，最后再求出數列
{}
n
a的通項公式。
（6）數學歸納法
例6已知數列
{}
n
a滿足
11
22
8(1)8
(21)(23)9nn
n
aaa
nn?
?
???
??
，，求數列
{}
n
a的通項公式。
解：由
1
22
8(1)
(21)(23)nn
n
aa
nn?
?
??
??
及
1
8
9
a?，得
..
...
21
22
32
22
43
22
8(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181
aa
aa
aa
??
?????
?????
??
?????
?????
??
?????
?????
由此可猜測
2
2
(21)1
(21)n
n
a
n
??
?
?
，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當1n?時，
2
1
2
(211)18
(211)9
a
???
??
??
，所以等式成立。
（2）假設當nk?時等式成立，即
2
2
(21)1
(21)k
k
a
k
??
?
?
，則當1nk??時，
1
22
8(1)
(21)(23)kk
k
aa
kk?
?
??
??
2
222
22
22
222
22
222
22
2
2
2
(21)18(1)
(21)(21)(23)
[(21)1](23)8(1)
(21)(23)
(21)(23)(23)8(1)
(21)(23)
(21)(23)(21)
(21)(23)
(23)1
(23)
[2(1)1]1
[2(1)1]
kk
kkk
kkk
kk
kkkk
kk
kkk
kk
k
k
k
k
???
??
???
?????
?
??
??????
?
??
????
?
??
??
?
?
???
?
??2
由此可知，當1nk??時等式也成立。
根據（1），（2）可知，等式對任何*nN?都成立。
評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項
公式，最后再用數學歸納法加以證明。
（7）換元法
..
...
例7已知數列{}
n
a滿足
11
1
(14124)1
16nnn
aaaa
?
?????，，求數列{}
n
a的通項公式。
解：令124
nn
ba??，則2
1
(1)
24nn
ab??
故2
11
1
(1)
24nn
ab
??
??，代入
1
1
(14124)
16nnn
aaa
?
????得
22
1
111
(1)[14(1)]
241624nnn
bbb
?
?????
即22
1
4(3)
nn
bb
?
??
因為1240
nn
ba???，故
11
1240
nn
ba
??
???
則
1
23
nn
bb
?
??，即
1
13
22nn
bb
?
??，
可化為
1
1
3(3)
2nn
bb
?
???，
所以{3}
n
b?是以
11
31243124132ba?????????為首項，以
2
1
為公比的等比數
列，因此12
11
32()()
22
nn
n
b?????，則2
1
()3
2
n
n
b???，即2
1
124()3
2
n
n
a????，得
2111
()()
3423
nn
n
a???。
評注：本題解題的關鍵是通過將124
n
a?的換元為
n
b，使得所給遞推關系式轉化
1
13
22nn
bb
?
??形式，從而可知數列{3}
n
b?為等比數列，進而求出數列{3}
n
b?的通項公式，
最后再求出數列
{}
n
a的通項公式。
（8）不動點法
例8已知數列
{}
n
a滿足
11
2124
4
41
n
n
n
a
aa
a?
?
??
?
，
，求數列
{}
n
a的通項公式。
解：令
2124
41
x
x
x
?
?
?
，得2420240xx???，則
12
23xx??，是函數
2124
()
41
x
fx
x
?
?
?
的
兩個不動點。因為
..
...
1
1
2124
2
24121242(41)13262
13
2124
321243(41)92793
3
41
n
nnnnnn
n
nnnnn
n
a
aaaaaa
a
aaaaa
a
?
?
?
?
???????
????
?
??????
?
?
。所以數列
2
3
n
n
a
a
??
?
??
?
??
是以1
1
2
42
2
343
a
a
?
?
??
??
為首項，以
9
13
為公比的等比數列，故1
2
13
2()
39
n
n
n
a
a
?
?
?
?
，
則
1
1
3
13
2()1
9
n
n
a
?
??
?
。
評注：本題解題的關鍵是先求出函數
2124
()
41
x
fx
x
?
?
?
的不動點，即方程
2124
41
x
x
x
?
?
?
的兩
個根
12
23xx??，，進而可推出1
1
22
13
393
nn
nn
aa
aa
?
?
??
??
??
，從而可知數列
2
3
n
n
a
a
??
?
??
?
??
為等比數
列，再求出數列
2
3
n
n
a
a
??
?
??
?
??
的通項公式，最后求出數列
{}
n
a的通項公式。
例9已知數列{}
n
a滿足
11
72
2
23
n
n
n
a
aa
a?
?
??
?
，，求數列{}
n
a的通項公式。
解：令
72
23
x
x
x
?
?
?
，得22420xx???，則1x?是函數
31
()
47
x
fx
x
?
?
?
的不動點。
因為
1
7255
11
2323
nn
n
nn
aa
a
aa?
??
????
??
，所以
2111
()()
3423
nn
n
a???。
評注：本題解題的關鍵是通過將124
n
a?的換元為
n
b，使得所給遞推關系式轉化
1
13
22nn
bb
?
??形式，從而可知數列{3}
n
b?為等比數列，進而求出數列{3}
n
b?的通項公式，
最后再求出數列
{}
n
a的通項公式。
課后習題：
1．數列
252211，，，，
的一個通項公式是（）
A、33
n
an??B、31
n
an??C、31
n
an??D、33
n
an??
..
...
2．已知等差數列??
n
a的通項公式為32
n
an??,則它的公差為（）
A、2B、3C、2?D、3?
3．在等比數列}{
n
a中,,8,16
41
???aa則?
7
a（）
A、4?B、4?C、2?D、2?
4．若等比數列??
n
a的前項和為
n
S，且10
10
?S，30
20
?S，則?
30
S
5．已知數列??
n
a通項公式3102???nna
n
，則該數列的最小的一個數是
6．在數列{an}中，
1
1
2
a?且??11
n
n
n
na
anN
na
?
?
??
??
，則數列
1
n
a
??
??
??
的前99項和等
于．
7．已知
}{
n
a是等差數列，其中
1
31a?，公差8d??。
（1）求數列
}{
n
a的通項公式；
（2）數列}{
n
a從哪一項開始小于0？
（3）求數列
}{
n
a前
n
項和的最大值，并求出對應
n
的值．
8．已知數列??
n
a的前項和為132???nnS
n
，
（1）求
1
a、
2
a、
3
a的值；
（2）求通項公式
n
a。
9．等差數列??
n
a中，前三項分別為45,2,?xxx，前
n
項和為
n
S，且2550?
k
S。
（1）、求
x
和k的值；
（2）、求
n
T=
n
SSSS
1111
321
?????;
..
...
數列
等差數列與等比數列的有關知識比較一覽表
等差數列等比數列
遞
推
關
系
①
121nn
aaaa
?
???（*nN?）
②
1nn
aad
?
??（*nN?）
③
11nnnn
aaaa
??
???（2n?）
①1
2
1
n
n
a
a
aa
??（*nN?）
②1n
n
a
q
a
??（*0,qnN??）
③1
1
nn
nn
aa
aa
?
?
?（*2,nnN??）
通
項
①
1
(1)
n
aand???（*nN?）
②
n
apnq??（*,,pqnN?為常數）
①1
1
???n
n
qaa
（*nN?）
②n
n
qpa??
（*,,0,0,pqqpnN???是常數）
求
和
公
式
①
1
2()
nn
Snaa??（*nN?）
②
1
(1)
2n
nn
Snad
?
??(*nN?)
③2
n
SAnBn??
(*,,ABnN?是常數)
①求積公式n
n
n
i
i
aaa)(
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
(*nN?)
②
1
1
,1
(1)
,1
1
n
n
naq
S
aq
q
q
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(*nN?)
③
1
,1
,1n
n
naq
S
AAqq
?
?
?
?
??
?
(*nN?，0?A)
主
要
①若p+q=s+r,p、q、s、r?N*,則
pqsr
aaaa???
.
②對任意c>0,c
?
1,??n
ac為等比數列.
③*
11
2,,2
nnn
aaanNn
??
????
.
④若??
n
a、??
n
b分別為兩等差數列，則
??
nn
ab?為等差數列.
①若p+q=s+r,p、q、s、r?N*,則
rsqp
aaaa?.
②對任意c>0,c
?
1,若an恒大于0，則??log
cn
a為等差
列.
③
2,,2
11
????
??
nNnaaa
nnn
.
④若??
n
a、??
n
b為兩等比數列，則??
nn
ba為等比數列.
⑤若an恒大于0，則數列
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
i
i
a
1
為等比數列.
⑥若??
n
b為正項等差自然數列，則??n
b
a為等比數列.
..
...
性
質
⑤數列n
S
n
??
??
??
為等差數列.
⑥若??
n
b為正項等差自然數列，則??n
b
a為等差
數列.
⑦?,,,
232nnnnn
SSSSS??為等差數列.
⑧
2
nnmm
SSS
nnm
?
?
?
?
，n>2m，m、n*N?.
⑨
mnmn
SSSmnd
?
???.
⑩若,,
mn
SSmn??則0
mn
S
?
?.
⑦?,,,
232nnnnn
SSSSS??為等比數列.
⑧mn
mn
mi
i
n
n
i
i
aa2
11
?
?
???
???，n>2m，m、n*N?，0,
p
apN??
⑨mn
mnmnnm
SSqSSqS
?
????.
⑩若,,
2121
nmaaaaaa
nm
????
則??
?
?
nm
i
i
a
1
1.
重
要
性
質
①若
,,
pq
aqap??
p、q*N?，且qp?,
則
0
pq
a
?
?.
②若
,,pSqS
qp
??且qp?,則
(),
pq
Spq
?
???
p、q*N?.
①
)1()1(2mnmm
mmn
qqqSS???????
=
)1()1(2nmnn
n
qqqS??????.
②若|q|<1,則?
??
n
n
Slim1
1
a
S
q
?
?
.
求數列{an}通項公式的方法
..
...
1．
1?n
a=
n
a+)(nf型
累加法：
n
a=（
n
a－
1?n
a）+（
1?n
a－
2?n
a）+…+（
2
a－
1
a）+
1
a
=)1(?nf+)2(?nf+…+)1(f+
1
a
例1.已知數列{
n
a}滿足
1
a=1，
1?n
a=
n
a+
n2（n∈N+），
求
n
a.
[解]
n
a=
n
a－
1?n
a+
1?n
a－
2?n
a+…+
2
a－
1
a+
1
a
=
12?n
+
22?n
+…+
12+1
=
21
21
?
?n
=
n2－1
∴
n
a=
n2－1（n∈N+）
2．
1?n
a=p
n
a+q型（p、q為常數）
方法：（1）
1?n
a+
1?p
q
=)
1
(
?
?
p
q
ap
n
，再根據等比
列的相關知識求
n
a.
（2）
1?n
a－
n
a=)(
1?
?
nn
aap
再用累加法求
n
a.
（3）
1
1
?
?
n
n
p
a
=
n
n
p
a
+
1?np
q
，先用累加法求
n
n
p
a
再求
n
a.
例3.已知{
n
a}的首項
1
a=a（a為常數），
n
a=2
1?n
a+1（n∈N+，n≥
求
n
a.
[解]設
n
a－λ=2（
1?n
a－λ），則λ=－1
∴
n
a+1=2（
1?n
a+1）
∴{1?
n
a}為公比為2的等比數列.
∴
n
a+1=（a+1）·
12?n
∴
n
a=（a+1）·
12?n
－1
3．)(1ng
a
a
n
n??
型
累乘法：
n
a=
1?n
n
a
a
·
2
1
?
?
n
n
a
a
…
1
2
a
a
·
1
a
例2.已知數列{
n
a}滿足n
a
a
n
n??1
（n∈N+），
1
a=1，求
n
a.
[解]
n
a=
1?n
n
a
a
·
2
1
?
?
n
n
a
a
…
1
2
a
a
·
1
a
=（n－1）·（n－2）…1·1=（n－1）！
∴
n
a=（n－1）！（n∈N+）
4．
1?n
a=p
n
a+)(nf型（p為常數）
方法：變形得
1
1
?
?
n
n
p
a
=
n
n
p
a
+
1
)(
?np
nf
，
則{
n
n
p
a
}可用累加法求出，由此求
n
a.
例4.已知{
n
a}滿足
1
a=2，
1?n
a=2
n
a+
12?n
.求
n
a.
[解]
1
1
2?
?
n
n
a
=
n
n
a
2
+1
∴{
n
n
a
2
}為等差數列.
n
n
a
2
=nn
a
???1
2
1
∴
n
a=n·
n2
..
...
5．
2?n
a=p
1?n
a＋q
n
a型（p、q為常數）
特征根法：qpxx??2
（1）
21
xx?時，
n
a=
1
C·
nx
1
+
2
C·
nx
2
（2）
21
xx?時，
n
a=（
1
C+
2
C·n）·
nx
1
例5.數列{
n
a}中，
1
a=2，
2
a=3，且2
n
a=
1?n
a+
1?n
a（n
∈N+，n≥2），求
n
a.
[解]
1?n
a=2
n
a－
1?n
a
∴122??xx∴1
21
??xx
∴
n
a=（
1
C+
2
C·n）·
n1=
1
C+
2
C·n
∴
?
?
?
??
??
32
2
21
21
CC
CC
∴
?
?
?
?
?
1
1
2
1
C
C
∴)(1
?
???Nnna
n
6．“已知
n
S，求
n
a”型
方法：
n
a=
n
S－
1?n
S（注意
1
a是否符合）
例6.設
n
S為{
n
a}的前n項和，
n
S=
2
3
（
n
a－1），求
n
a（n∈N+
[解]∵
n
S=
2
3
（
n
a－1）（n∈N+）
∴當n=1時，
1
a=
2
3
（
1
a－1）
∴
1
a=3
當n≥2時，
n
a=
n
S－
1?n
S
=
2
3
（
n
a－1）－
2
3
（
1?n
a－1）
∴
n
a=3
1?n
a∴
n
a=
n3（n∈N+）
求數列{an}的前n項和的方法
（1）倒序相加法（2）公式法
此種方法主要針對類似等差數列中
112nn
aaaa
?
????,具有這樣特點的數列．
此種方法是針對于有公式可套的數列，如等差、等
比數列，關鍵是觀察數列的特點，找出對應的公式．
例：等差數列求和
12nn
Saaa????
公式：
①等差數列：
..
...
111
()[(1)]aadand???????①
把項的次序反過來，則：
()[(1)]
nnnn
Saadand???????②
①+②得：
??
111
2()()
n
nnnn
Saaaaaa???????
個
1
()
n
naa??
1
()
2
n
n
naa
S
?
?
1
1
()
(1)
22
n
n
naa
nn
Snad
?
?
???
(1)
2n
nn
nad
?
??
mnmn
SSSmnd
?
???
*(2,,)
2
nnmm
SSS
nmmnN
nnm
?
?
???
?
②等比數列：
q
qaa
q
qa
Sn
n
n?
?
?
?
?
?
11
)1(
1
1；(1)q?
n
mnnm
SSSq
?
??
③1+2+3+……+n=
(1)
2
nn?
；
2222123n????
1
(1)(21)
6
nnn???
3333123n????
2(123)n?????
22
1
(1)
4
nn??
（3）錯位相減法（4）分組化歸法
此種方法主要用于數列
}{
nn
ba的求和，其中
}{
n
a為等差數列，}{
n
b是公比為q的等比數列，
只需用
nn
SqS?便可轉化為等比數列的求和，但要
注意討論q=1和q≠1兩種情況．
此方法主要用于無法整體求和的數列，可將其通項
寫成等比、等差等我們熟悉的數列分別進行求和，再綜
合求出所有項的和．
例：試化簡下列和式：
21123(0)n
n
Sxxnxx???????
解：①若x=1，則Sn=1+2+3+…+n=
(1)
2
nn?
例：求數列1，
1
1
2
?，
11
1
24
??，……，
11
1
24
??+……+
1
1
2n?
的和.
解：∵
1
111
1
242n
n
a
?
?????
..
...
②若x≠1,則21123n
n
Sxxnx??????
2323n
n
xSxxxnx?????
兩式相減得：
2(1)1
n
xSxx????+…+nnnxx??1
1
1
n
n
x
nx
x
?
??
?
∴
2
1
(1)1
nn
n
xnx
S
xx
?
??
??
1
1
1()
1
2
2
1
2
1
2
n
n?
?
???
?
∴
111
1(1)(1)
224n
S???????
1
111
(1)
242n?
?????
2
11
(21)(2)(2)
22
??????
1
1
(2)
2n?
???
1
111
2(1)
242n
n
?
??????
1
1
22
2n
n
?
???
（5）奇偶求和法（6）裂項相消法
此種方法是針對于奇、偶數項，要考慮符號的
數列，要求Sn，就必須分奇偶來討論，最后進行綜
合．
此方法主要針對
12231
111
nn
aaaaaa
?
???這樣的求和，其中{an}是等差
數列．
例：求和
11357(1)(21)n
n
Sn?????????
解：當n=2k(k?N+)時,
2
(13)(57)
nk
SS??????
[(43)(41)]kk????
2kn????
當21()nkkN
?
???時，
例：{an}為首項為a1,公差為d的等差數列，求
1223341
1111
n
nn
S
aaaaaaaa
?
?????
解：
∵
1
111
()()
kk
kkkkkk
ada
aaaaddaad
?
??
??
??
1
111111
()()
kkkk
daaddaa
?
????
?
∴
1223
111111
()()
n
S
daadaa
????
..
...
2122
2[(41)]
nkkk
SSSakk
?
????????
21k
n
??
?
綜合得：1(1)n
n
Sn???
1
111
()
nn
daa
?
???
12231
1111111
[()()()]
nn
daaaaaa
?
???????
1
111
()
n
daa
??
11
1
[(1)]
n
aand
?
?
??
(7)分類討論（8）歸納—猜想—證明
此方法是針對數列{
n
a}的其中幾項符號與另外的項不
同，而求各項絕對值的和的問題，主要是要分段求.
此種方法是針對無法求出通項或無法根據通項
求出各項之和的數列，先用不完全歸納法猜出
n
S
的表達式，然后用數學歸納法證明之.
例：已知等比數列{
n
a}中，
1
a=64，q=
2
1
，設
n
b=log2n
a，
求數列{|
n
b|}的前n項和
n
S.
解：
n
a=
1
a1?nq=n?72
∴
n
b=log2n
a=n?7
（1）當n≤7時，
n
b≥0
此時，
n
S=－
2
1
2n+
2
13
n
（2）當
n
＞7時，
n
b<0
此時，
n
S=
2
1
2n－
2
13
n
+42（
n
≥8）
－
2
1
2n+
2
13
n
（
n≤7）
∴
n
S=
例：求和
n
S=21+23+25+…+2)12(?n
解：1
1
?S，10
2
?S，35
3
?S，
84
4
?S，165
5
?S，…
n
S=)14(
3
1
2?nn（待定系數法）
證明：（1）當n=1時，)14(
3
1
2?nn=1=
1
S
∴n=1時成立.
（2）假設當n=k時，
k
S=)14(
3
1
2?kk
則
n=k+1時，
1?k
S=
k
S+
2)12(?k
=]1)1(2][1)1(2[
3
1
????
?
kk
k
n=k+1時，成立.
由（1）、（2）知，對一切n∈N*，
..
...
2
1
2n－
2
13
n+42（n≥8）
n
S=)14(
3
1
2?nn.
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