指數(shù)的運算

-

可修編

指數(shù)與指數(shù)冪的運算

【學(xué)習目標】

1.理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)

(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進行相應(yīng)的根式計算；

(2)能認識到分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確

進行根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化；

(3)能利用有理指數(shù)運算性質(zhì)簡化根式運算.

2.掌握無理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的取值圍推廣到實數(shù)集；

3.通過指數(shù)圍的擴大，我們要能理解運算的本質(zhì)，認識到知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認識到符號化思想的

重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力；

4.通過對根式與分數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認識，能學(xué)會透過表面去認清事物的本質(zhì)．

【要點梳理】

要點一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運算性質(zhì)

1．整數(shù)指數(shù)冪的概念

??

??

),0(

1

010

*

Z*na

a

a

aa

Znaaaa

n

n

an

n

???

??

?????

?

?????

?

個

2．運算法則

（1）nmnmaaa???；

（2）??mn

n

maa?；

（3）??0????anma

a

a

nm

n

m

，；

（4）??mm

mbaab?.

要點二、根式的概念和運算法則

1．n次方根的定義：

若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，則x稱為y的n次方根.

n為奇數(shù)時，正數(shù)y的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為ny；負數(shù)y的奇次方根有一個，是負數(shù)，記為ny；

零的奇次方根為零，記為

00?n；

n為偶數(shù)時，正數(shù)y的偶次方根有兩個，記為ny?；負數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為

00n?

.

2．兩個等式

（1）當1n?且*nN?時，??n

naa?

；

（2）

?

?

?

?

)(||

)(,

為偶數(shù)

為奇數(shù)

na

na

an

n

-

可修編

要點詮釋：

①要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；

②計算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負數(shù)，可先

寫成||a的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤．

要點三、分數(shù)指數(shù)冪的概念和運算法則

為避免討論，我們約定a>0，n，m?N*，且

m

n

為既約分數(shù)，分數(shù)指數(shù)冪可如下定義：

1

n

naa?

()

m

n

mm

n

naaa??

-1m

n

m

n

a

a

?

要點四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算

1．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

??Qba?????,00，，

(1);aaa???????

(2)();aa?????

(3)();abab????

當a>0，p為無理數(shù)時，ap是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用.

要點詮釋：

(1)根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪運算；

(2)根式運算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如

2

4

4

2)4()4(???；

(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如2

1

4

2

)4()4(???

.

2.指數(shù)冪的一般運算步驟

有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運算．負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，

底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先要化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指

數(shù)運算性質(zhì)．在化簡運算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝

a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的運用，能夠簡化運算.

【典型例題】

類型一、根式

例1.求下列各式的值：

（1）5242

5

44(3);(2)(10);(3)(3);(4)()ab?????.

-

可修編

【答案】-3；

10

；3??；0

ab

ba

?

?

?

?

?

?

?

（a>b）

（a=b）

（a

【解析】熟練掌握基本根式的運算，特別注意運算結(jié)果的符號.

（1）5

5(3)3???；

（2）2

4(10)10??；

（3）4

4(3)|3|3????????；

（4）2()||0

ab

abab

ba

?

?

?

????

?

?

?

?

（a>b）

（a=b）

（a

【總結(jié)升華】（1）求偶次方根應(yīng)注意，正數(shù)的偶次方根有兩個，例如，4的平方根是2?，但不是42??.

（2）根式運算中，經(jīng)常會遇到開方與乘方兩種運算并存的情況，應(yīng)注意兩者運算順序是否可換，何時

可換.

舉一反三：

【變式1】計算下列各式的值：

（1）3

3(2)?；（2）2

4(9)?；（3）6

6(4)??；（4）8

8(2)a?.

【答案】（1）-2；（2）3；（3）4??；（4）

2(2)

2(2)

aa

aa

??

?

?

??

?

.

例2.計算：（1）526743642?????；

（2）

11

2121

?

??

.

【答案】

22;22

．

【解析】對于（1）需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问剑缓笤倮酶竭\算性質(zhì)求解.對于（2），

則應(yīng)分子、分母同乘以分母的有理化因式.

（1）526743642?????

=22(3)232(2)???+222223(3)???-222222(2)???

=222(32)(23)(22)?????

=|

32?

|+|

23?

|-|22?|

-

可修編

=

32?

+

23?

-（22?）

=22

（2）

11

2121

?

??

=

2121

(21)(21)(21)(21)

??

?

????

=2121???

=22

【總結(jié)升華】對于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全

n

次方，再解答，或者用整體思

想來解題.化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，

1

21?

的分子、分母中同乘以

(21)?

.

舉一反三：

【變式1】化簡：（1）34

3

4322(12)(12)?????；

（2）222169(||3)xxxxx??????

【答案】（1）21?；（2）

22(31),

4(13).

xx

x

?????

?

?

???

?

類型二、指數(shù)運算、化簡、求值

例3.用分數(shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中a>0）：

（1）2aa?；（2）3

32aa?；（3）aa；（4）

236

3

3

yxy

xyx

．

【答案】

5

2a；

11

3a；

3

4a；

5

4y

【解析】先將根式寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用冪的運算性質(zhì)化簡即可．

（1）

115

2

22

222;aaaaaa??????

（2）

2211

3

3

323

333aaaaaa??????；

（3）

11313

22224()()aaaaaa????；

（4）解法一：從里向外化為分數(shù)指數(shù)冪

236

3

3

yxy

xyx

=

1

236

3

3

()

yxy

xyx

=

232yxy

xyx

?

-

可修編

=

1

2

2

2()

y

xy

x

?

=

1

1

2

2

2

y

xy

x

??

?

??

??

=

5

4y

解法二：從外向里化為分數(shù)指數(shù)冪．

236

3

3

yxy

xyx

=

1

236

2

3

3

()

yxy

xyx

=

11

236

22

3

3

[()]

yxy

xyx

=

1

11

236

3

22

3

{[()]}

yxy

xyx

=

111

236

2412

3

yxy

xyx

??????

?

??????

??????

=

5

4y

【總結(jié)升華】此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用*(0,,,1)

m

n

m

naaamnN????且n．當所求根式含有多重根號

時，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分數(shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進行化簡．

舉一反三：

■高清課程：指數(shù)與指數(shù)運算例1

【變式1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來，并化簡

（1）52aa?；

6

3

x

xx?

【答案】（1）

13

10102a；（2）

2

3x?

．

【變式2】把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪：

（1）682；（2）(0)aaa?；（3）3

32bb?；（4）

5

22

3

1

()xx

．

【答案】

7

122；

3

4a；

11

3b；

3

5x?

【解析】（1）682=

1

177

6

6

3

22122222

??

???

??

??

；

（2）

13313

22224()aaaaaaa?????；

（3）

211

3

323

33bbbbb????；

-

可修編

（4）

5

22

3

1

()xx

=

24

3

3

2

55

11

()xxxx

?

??

=

3

5

913

9

3

535

5

111

()

x

xx

x

????．

例4.計算：

(1)

1

1

1

1

2

00.25

3

4

73

(0.0081)3()81(3)

88

?

?

?

?

?

??

??

????

??

??

??

??

；

(2)

4

3

3

3

333

9

1

624337???

(3)263

3

63

4125(36)(4)(3)?????????．

【答案】3；0；2

【解析】(1)原式=3

3

1

3

10

)

3

2

3

1

(

3

1

)3.0(2

1

1?????

?

?

；

(2)原式=

????；

(3)原式=-5+6+4-

?

-(3-

?

)=2；

注意：（1）運算順序(能否應(yīng)用公式)；（2）指數(shù)為負先化正；（3）根式化為分數(shù)指數(shù)冪.

舉一反三：

【變式1】計算下列各式：

(1)6

3

4

25.00

3

1

)32(28)

6

7

()

8

1

(???????

；(2)3

3

3

2

3

3

2

3

1

3

4

)21(

42

8

a

a

b

baba

baa

???

??

?

.

【答案】112；

a

．

【解析】(1)原式=6

2

1

6

3

1

4

1

4

1

3

)

3

1

)(1()3()2(2)2(18???????112322232

4

1

4

3

??????

；

(2)原式3

1

3

1

3

1

3

1

2

3

1

3

1

3

1

2

3

1

3

1

2)2(2)(

)8(

a

ba

a

bbaa

baa

?

?

?

??

?

?a

ba

baa

?

?

?

?

??

3

3

1

3

3

1

3

1

3

1

3

1

)2()(

)8(

.

【變式2】計算下列各式：■高清課程：指數(shù)與指數(shù)運算例3

30

3

1

2)

2

6

()03.1(

23

23

)

66

1

()

4

1

(???

?

?

???

?

【答案】21+

156

4

【解析】原式=16+

6

+5+2

6

+

3

4

6

=21+

156

4

．

例5.化簡下列各式.

-

可修編

(1)

2

1

3

2

11

1

1

36

2

5

15

46

xy

xyxy

?

?

?

??

??

??

??

??

???

?

；(2)

1

11

22

2mm

mm

?

?

??

?

；(3)

1

0.5

2

3

3

277

(0.027)2

1259

?????

??

????

????

.

【答案】

1

624y；

11

22mm??；0.09

【解析】(1)即合并同類項的想法，常數(shù)與常數(shù)進行運算，同一字母的化為該字母的指數(shù)運算；(2)對字

母運算的理解要求較高，即能夠認出分數(shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系；(3)具體數(shù)字的運算，學(xué)會如何簡化運算.

(1)

2

1

3

2

11

1

1

36

2

5

15

46

xy

xyxy

?

?

?

??

??

??

??

??

???

?

21111

()(1)()

33226

6

5(4)

5

xy?????????

?????

??

??

11

0

662424xyy??

(2)

2

11

22

11

1

22

1111

2222

2

mm

mm

mm

mmmm

?

?

?

??

??

?

??

??

??

???

??

(3)

1

0.5

2

3

3

277

(0.027)2

1259

?????

??

????

????

2

3

3

1252555

=(0.027)-=0.09=0.09

27933

???

舉一反三：

【變式1】化簡：

23

3()xyxy.

【答案】

57

66xy

【解析】原式=

1157

1133

232

3366

2222[()]()xyxyxyxyxy?????

.

注意：當n為偶數(shù)時，

(0)

||

(0)

n

n

aa

aa

aa

?

?

??

?

??

?

.

【變式2】化簡

2222

2222

3333

xyxy

xyxy

????

????

??

?

??

【答案】

3

2

xy

xy

?

【解析】應(yīng)注意到

2

2

3xx?

?與

之間的關(guān)系，對分子使用乘法公式進行因式分解，

-

可修編

原式

2222

3333

3333

2222

3333

()()()()xyxy

xyxy

????

????

??

??

??

22222222

2222

33333333()()[()()]xxyyxxyy???????????????

2

3

32()2

xy

xy

xy

?????.

【總結(jié)升華】根式的化簡結(jié)果應(yīng)寫為最簡根式.(1)被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；(2)被開方數(shù)分母為1，

且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；(3)被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).

【變式3】化簡下列式子：

(1)

33

223

?

??

(2)4226?(3)3

232x2x1x3x3x1??????

【答案】

226?

；4

4182?；

2x(x1)

2(x1)

??

?

?

???

?

【解析】(1)原式

2

2(33)2(33)2(33)

33

24232(31)

???

???

?

????

22(33)2(1263)

226

6

(33)(33)

??

????

??

(2)222

444

444(182)(18)2182(2)?????

2

4

4242260??????????

∴由平方根的定義得：4

44226182???

(3)3

323

3x3x3x1(x1)x1???????

2

x1(x1)

x2x1|x1|

x1(x1)

???

?

?????

?

????

?

3

232

2x(x1)

x2x1x3x3x1

2(x1)

??

?

????????

?

???

?

.

■高清課程：指數(shù)與指數(shù)運算例4

例6．已知32

1

2

1

???xx，求

2

3

22

2

3

2

3

??

??

?

?

xx

xx

的值．

【答案】

1

3

【解析】從已知條件中解出

x

的值，然后代入求值，這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果

與條件

32

1

2

1

???xx的聯(lián)系，進而整體代入求值．

32

1

2

1

???xx，?129xx????，?17xx???

?22249xx????，?2245xx???

-

可修編

?

2

3

22

2

3

2

3

??

??

?

?

xx

xx

=

11

1

22()(1)3

472

xxxx?

?????

?

=

3(71)3151

45453

???

??

【總結(jié)升華】對于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡后

代換”方法求值．本題的關(guān)鍵是先求

33

22xx??及22xx??的值，然后整體代入．

舉一反三：

【變式1】求值：

(1)已知

11

225xx???，求

21x

x

?

的值；

(2)已知a>0，b>0，且ab=ba，b=9a，求a的值.

【答案】23；43

【解析】熟練掌握冪的運算是關(guān)鍵問題.

(1)由

11

225xx???，兩邊同時平方得x+2+x-1=25，整理得：x+x-1=23，則有

21

23

x

x

?

?；

(2)a>0，b>0，又∵ab=ba，∴

111

9()()(9)

a

ba

bbbababaa?????

∴

81

82

4

99933aaa?????

.

鞏固練習

一、選擇題

1.若

1

3

x?，則2169xx??等于（）

A.31x?B.13x?C.2(13)x?D.非以上答案

2.若3

3(3)a???，4

4(2)b???，則ab??（）

A.1B.5C.-1D.25??

3.計算2132242???的結(jié)果是（）

A.32B.16C.64D.128

4.化簡

111

11

32168

421212121212???

?????????

???

?????

???????

???

????

??????

，結(jié)果是（）

A.

1

1

32

1

12

2

?

???

?

??

??

B.

1

1

3212

?

???

?

??

??

C.

1

3212??D.

1

32

1

12

2

???

?

??

??

5.

44

36

63

99aa

????

????

????

等于（）

A.16aB.8aC.4aD.2a

-

可修編

6.若1,0ab??，且22bbaa???，則bbaa??的值等于（）

A.

6

B.2?C.2?D.2

二、填空題

7.計算??73

734

?

?=.

8.化簡(21)(12)bbb????=.

9.

2

2

13

3

1

(2)(2)

2

?

??

??

????

??

??

??

=.

10.若

3

,

2

ab?化簡22

4(4129)aabb??=.

三、解答題

11.計算：

（1）

1

1

2

21

2

33

1

125343

16

???

??

??

??

??

??

??

??

；

（2）

1

2

3

2

3

4

1

0.027500.0016

4

???

??

??

??

??

??

??

??

.

12.計算下列各式：

（1）

0

1

1

4

30.75

3

2

3

7

(0.064)(2)16|0.01|

8

?

?

?

??

??

???????

??

??

??

；

（2）

11

22

1111

2222

2ababab

abab

????

?

??

。

-

可修編

13.計算：

2

3

2111

3333

11

111

xxxx

xxxx

???

??

????

鞏固練習

一、選擇題

1.化簡

111

11

32168

421212121212???

?????????

???

?????

???????

???

????

??????

，結(jié)果是（）

A.

1

1

32

1

12

2

?

???

?

??

??

B.

1

1

3212

?

???

?

??

??

C.

1

3212??D.

1

32

1

12

2

???

?

??

??

2.計算2132242???的結(jié)果是（）

A.32B.16C.64D.128

3.若1,0ab??，且22bbaa???，則bbaa??的值等于（）

A.

6

B.2?C.2?D.2

4.下列各式中錯誤的是（）

A.

211

53151(1)aaaa??????

B.??2

6946

3(,0)ababab?

??????

C.

122

111

333

42423424(,0)xyxyxyyxy?

???????

????

??????

??????

D.

1

13

3

24

1

15

3

24

153

(,,0)

5

25

abc

acabc

abc

?

?

?

???

5.

1

22、

1

33、

1

66這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）

A.

1

66?

1

33?

1

22B.

1

66?

1

1

3

223?C.

1

22?

1

33?

1

66D.

1

33?

1

22?

1

66

6.已知定義在R上的奇函數(shù)()fx和偶函數(shù)()gx滿足

()()2xxfxgxaa?????

??0,1aa??且，若(2)ga?，則(2)f?（）

A.2B.

15

4

C.

17

4

D.2a

二、填空題

-

可修編

7.???

2

1

2])2[(.

8.

11

33

223232

????

??

????

????

????

=.

9.若0x?，則

131311

42422223234()xxxxx?????

????

????

????

=.

10.已知14aa???，則

11

22aa??=.

三、解答題

11.計算：

（1）

1

1

2

21

2

33

1

125343

16

???

??

??

??

??

??

??

??

；

（2）

1

2

3

2

3

4

1

0.027500.0016

4

???

??

??

??

??

??

??

??

.

12.計算下列各式：

（1）

0

1

1

4

30.75

3

2

3

7

(0.064)(2)16|0.01|

8

?

?

?

??

??

???????

??

??

??

；

（2）

11

22

1111

2222

2ababab

abab

????

?

??

．

-

可修編

13.計算：

2

3

2111

3333

11

111

xxxx

xxxx

???

??

????

14.已知

221221

3333334,3,3abxaabybab??????.

求證：????22

33xyxy???為定值.

15.（1）化簡：??111

3

2

1

1

14

3

2

2

abc

caabbc

abbccaxyxyxxx

?

???

??

???

????????

????

????????

????????

；

（2）已知

)0,0)((

2

1

????ba

a

b

b

a

x

，求

1

12

2

2

??

?

xx

xb

的值.