矩形的性質和判定

矩形的性質與判定（1）

教學目標：

1.掌握矩形的概念和性質,理解矩形與平行四邊形的區別和聯系.

2.會初步運用矩形的概念和性質解決有關問題.

過程與方法：

1.經歷探索矩形的概念和性質的過程,滲透運動聯系,從量變到質變的觀點.

2.通過靈活運用矩形的性質解決有關問題,滲透幾何思維方法.

情感態度與價值觀：

1.通過小組合作展示活動,培養學生的合作意識和樹立學習的自信心.

2.通過探究學習,培養學生嚴謹的推理能力,體會邏輯思維推理的價值.

教學重點與難點：

【重點】矩形的性質.

【難點】矩形的性質的靈活應用.

教學準備：

【教師準備】演示活動的平行四邊形框架.

【學生準備】課前預習矩形的性質,準備矩形紙片.

教學過程

新課導入：

導入一:

回答下列問題:

【問題1】什么叫做平行四邊形?它具有哪些性質?

【問題2】想一想,這里面展示的物體都是一些什么形狀的圖形?

【師】咱們中國有句古話“不以規矩,不成方圓.”“方”指的就是我們小

學學過的長方形、正方形,“矩”就是古代畫“方”的一種工具.到了初中階段,

我們就把長方形叫做矩形,這節課我們就來研究矩形.(板書課題)

[設計意圖]問題1溫故而知新,為學習矩形的概念和性質做好鋪墊;問題2

通過展示學生熟悉的矩形的圖片,讓學生感受到矩形在我們的生活中無處不在,

從而激發學生探究知識的欲望.

導入二:

復習回顧:

【問題1】平行四邊形具有哪些性質?

平行四邊形

邊角對角線對稱性

【問題2】菱形是特殊的平行四邊形,它具有哪些性質?

菱形

邊角對角線對稱性

今天我們繼續學習另一種特殊的平行四邊形——矩形,先來觀看平行四邊形角

度變化的動畫.

教師板書課題.

[設計意圖]通過復習,鞏固平行四邊形和菱形的知識,為學習矩形做好知識

鋪墊,通過圖形變化,感受矩形與平行四邊形的關系,進而導入矩形的性質和判定.

一、矩形的定義

教師演示活動的平行四邊形框架,學生觀察并思考:

(1)在運動過程中四邊形還是平行四邊形嗎?

(2)在運動過程中四邊形不變的是什么?改變的是什么?

(3)在角的大小改變過程中有特殊值嗎?這時的平行四邊形是什么圖形?

歸納上述問題,得出矩形的定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

[處理方式]利用四邊形的不穩定性,通過教具演示,使平行四邊形的內角發

生變化,學生發現在運動過程中四邊形的對邊仍保持相等,所以仍然是平行四邊形.

但是,角度是不斷變化的.當有一個內角是直角時,平行四邊形就演變成了矩形,從

而自然地得到了矩形的定義需滿足的兩個條件:(1)是平行四邊形;(2)有一個角是

直角.定義是本節的關鍵點,因此觀察過程不能省略.

[設計意圖]讓學生觀察從平行四邊形到矩形的變化過程,事實上是在學生

已有的平行四邊形相關認知的基礎上讓他們認識到矩形是平行四邊形,但卻是特

殊的平行四邊形.從已有的知識出發,通過教具演示,讓學生經歷了矩形概念的探

究過程,自然而然地給出矩形的概念.

二、矩形的性質

思路一

1.觀察試驗,發現問題

教師在平行四邊形活動框架上,用兩根橡皮筋分別固定在相對的兩個頂點上,

作為它的對角線,拉動一對不相鄰的頂點,改變平行四邊形的形狀.學生觀察并思

考:

(1)隨著∠ABC的變化,兩條對角線的長度是怎樣變化的?

(2)當∠ABC是直角時,平行四邊形變成了矩形,此時其他內角有何變化?兩條

對角線的長度有何關系?

(注:如果教具制作有困難,可以使用幾何畫板軟件的拖動、測量功能,會取得更

好的效果,見下圖)

∠ABC＝63.5°

∠BAD＝116.5°

∠ADC＝63.5°

∠DCB＝116.5°

AC＝7.64cm

BD＝11.85cm

∠ABC＝90.0°

∠BAD＝90.0°

∠ADC＝90.0°

∠DCB＝90.0°

AC＝9.97cm

BD＝9.97cm

2.明確定理,推理證明

操作、思考、交流、歸納后,教師在學生口答的基礎上,引導學生猜想矩形的

性質并板書:

矩形的性質1矩形的四個角都是直角.

矩形的性質2矩形的對角線相等.

【思考】怎樣證明你的猜想?請同學們自己完成.

已知:如圖所示,四邊形ABCD是矩形,∠ABC＝90°,對角線AC與DB相交于點O.

求證:(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°;

(2)AC＝BD.

(多媒體課件展示兩個定理的已知、求證,請兩位同學分別板演證明過程)

3.動手操作,完善性質

問題1

請同學們拿出準備好的矩形紙片,折一折,轉一轉,觀察并思考以下問題:

(1)矩形是不是中心對稱圖形?如果是,那么對稱中心是什么?

(2)矩形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?

結論:矩形是中心對稱圖形,它的對稱中心是對角線的交點.矩形是軸對稱圖

形,它有兩條對稱軸.

問題2

請你總結一下矩形有哪些性質?

學生歸納概括矩形的性質,教師提示可以從四個方面來說:

從邊來說,矩形的對邊平行且相等;

從角來說,矩形的四個角都是直角;

從對角線來說,矩形的對角線相等且互相平分;

從對稱性來說,矩形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.

[處理方式]讓學生分組探索,教師可引導學生根據研究平行四邊形獲得的

經驗,分別從邊、角、對角線三個方面探索矩形的特性,學生通過動手測量,動腦思

考,動口討論,自主發現矩形的性質.性質定理的證明讓學生上臺板演,既規范了證

明的書寫格式,也體現了數學的嚴謹性.

[設計意圖]學生通過類比平行四邊形的性質及觀察從平行四邊形到矩形

的變化過程,從邊、角、對角線三方面不難發現矩形的性質.學生自己討論得出的

結論會更讓他們樂于接受,而方法也在此過程中滲透給了學生.

思路二

(1)想一想:(展示問題,引導學生討論、解決)

①矩形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質.你能舉一

些這樣的性質嗎?

②矩形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?

③你認為矩形還具有哪些特殊的性質?與同伴交流.

結論:矩形是軸對稱圖形,它有兩條對稱軸.

(2)問題:矩形的邊具有怎樣的性質?

(學生思考、回答)

結論:對邊平行且相等.(具有平行四邊形的邊所具有的邊的性質)

(3)問題:矩形的角除了“有一個內角是直角”外,還具有哪些一般平行四邊形

不具備的性質?

(學生思考、回答)

結論:矩形的四個角都是直角.

(4)讓學生進行如下操作后,思考問題:(教具演示)矩形的對角線有什么性質?

在一個平行四邊形活動框架上,用兩根橡皮筋分別固定在相對的兩個頂點上,

拉動一對不相鄰的頂點,改變平行四邊形的形狀.

(1)隨著∠α的變化,兩條對角線的長度分別是怎樣變化的?

(2)當∠α是直角時,平行四邊形變成矩形,此時兩條對角線的長度有什么關

系?

(小組操作,思考、交流、歸納)

當∠α是銳角或鈍角時,兩條對角線的長度不相等.

當∠α是直角時,平行四邊形變為矩形,這時兩條對角線的長度相等.

結論:矩形的兩條對角線相等.

三、直角三角形的性質定理

1.議一議:觀察右圖中的矩形ABCD,你能得出哪些結論?圖中存在哪些特殊的

三角形?

矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O,那么BO是RtΔABC中一條怎樣的特殊

線段?它與AC邊的長度有什么大小關系?由此你能得到怎樣的結論?

生總結結論,師板書:

定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

2.做一做:你能借助矩形加以證明嗎?

3.練一練:在ΔABC中,∠ABC＝90°,BD是斜邊AC上的中線.

(1)若BD＝3cm,則AC＝cm;

(2)若∠C＝30°,AB＝5cm,則AC＝cm,BD＝cm.

[處理方式]在議一議中,學生小組討論,容易得出:圖中共有四個直角三角形,

四個等腰三角形,并且有OA＝OB＝OC＝OD,從而得出結論:直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半.然后在做一做中由教師引導,尋找定理證明的思路,即通過構

造矩形,把三角形問題轉化為矩形問題.由一生口答,教師板書證明過程,進一步規

范證明的書寫格式.練一練比較簡單,由學生口答.

[設計意圖]先從矩形的對角線的相關性質推出直角三角形的性質,達到“學

數學,用數學”的目的.再通過習題,讓學生掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半”這一性質,達到學以致用的目的,培養了學生的應用意識.

[知識拓展]矩形是特殊的平行四邊形,除具有平行四邊形的所有性質外,還

具有以下性質:(1)矩形的四個角都是直角;(2)矩形的對角線相等;(3)矩形既是中心

對稱圖形,又是軸對稱圖形.

(教材例1)如圖所示,在矩形ABCD中,兩條對角線相交于點O,∠AOD＝120°,AB

＝2.5,求這個矩形對角線的長.

解:∵四邊形ABCD是矩形,

∴AC＝BD(矩形的對角線相等),

OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD(矩形的對角線互相平分),

∴OA＝OD.

∵∠AOD＝120°,

∴∠ODA＝∠OAD＝(180°-120°)＝30°.

又∵∠DAB＝90°(矩形的四個角都是直角),

∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.

[設計意圖]這個例題主要目的是應用矩形的性質來解決問題.在學過矩形

的性質后,如何熟練、靈活的應用矩形的性質解決實際問題是關鍵.

四、課堂小結：

名稱

特征

矩形

定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

性質

邊對邊平行且相等

角四個角都是直角

對角線對角線互相平分且相等

軸對稱性軸對稱圖形,有兩條對稱軸

推論

直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半

五、檢測反饋：

1.下列說法錯誤的是()

A.矩形的對角線互相平分

B.矩形的對角線相等

C.有一個角是直角的四邊形是矩形

D.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

解析:根據矩形定義,得有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.故選C.

2.已知矩形的一條對角線長為10cm,兩條對角線所成的角為120°,則矩形的邊長

分別為.

解析:因為矩形的對角線相等且平分,且兩條對角線所成的角是120°,所以矩形的

較短的邊長為5cm,較長的邊長為5cm.故填5cm,5cm.

3.如圖所示,在矩形ABCD中,點E,F分別在AB,CD邊上,BE＝DF,連接CE,AF.求證

AF＝CE.

證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴DC∥AB,DC＝AB,

∴CF∥AE.

∵DF＝BE,∴CF＝AE,

∴四邊形AFCE是平行四邊形,

∴AF＝CE.

六、板書設計：

第1課時

1.矩形的定義

2.矩形的性質

3.直角三角形的性質定理

例1

七、作業設計：

一、教材作業

【必做題】

教材第13頁習題1.4的1,2題.

【選做題】

教材第13頁習題1.4的3題.

教學反思：

成功之處

教學過程中充分利用學生手中的矩形實物:如教材、課桌等讓學生通過觀察、

測量和思考討論等活動得出矩形的性質,再引導學生進行推理證明及應用,通過

探索證明開拓學生的思路,提高學生的思維能力,幫助他們在自主探索和合作交

流的過程中真正理解和掌握矩形的性質定理,體驗數學學習過程中推理的嚴謹

性.

不足之處

由于學生之間存在很大差異,分層教學做得不夠到位,一些有關矩形的證明

與計算拓展得不是很到位.

再教設計

在問題的設計上加強分層教學,促進學生全體進步,應高度重視學生的主動

參與、親自研究、動手操作,培養學生自主學習的能力和創新意識.