雙曲線方程

1

2．2雙曲線

2．2.1雙曲線及其標準方程

【課標要求】

1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．

2．會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應用問題．

【核心掃描】

1．用定義法、待定系數法求雙曲線的標準方程．(重點)

2．與雙曲線定義有關的應用問題．(難點)

自學導引

1．雙曲線的定義

把平面內與兩個定點F

1

、F

2

的距離的差的絕對值等于常數(小于|F

1

F

2

|)的點的軌跡叫做

雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．

試一試：在雙曲線的定義中，必須要求“常數小于|F

1

F

2

|”，那么“常數等于|F

1

F

2

|”，

“常數大于|F

1

F

2

|”或“常數為0”時，動點的軌跡是什么？

提示(1)若“常數等于|F

1

F

2

|”時，此時動點的軌跡是以F

1

，F

2

為端點的兩條射線

F

1

A，F

2

B(包括端點)，如圖所示．

(2)若“常數大于|F

1

F

2

|”，此時動點軌跡不存在．

(3)若“常數為0”，此時動點軌跡為線段F

1

F

2

的垂直平分線．

2．雙曲線的標準方程

焦點在x軸上焦點在y軸上

標準方程

x2

a2

－

y2

b2

＝1

(a>0，b>0)

y2

a2

－

x2

b2

＝1

(a>0，b>0)

焦點坐標F

1

(－c,0)，F

2

(c,0)F

1

(0，－c)，F

2

(0，c)

a，b，c的關系c2＝a2＋b2

想一想：如何判斷方程

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)和

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0)所表示雙曲線的焦點

的位置？

提示如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上，如果y2項的系數是正的，那么焦點

在y軸上．對于雙曲線，a不一定大于b，因此，不能像橢圓那樣比較分母的大小來判定焦點

在哪一個坐標軸上．

名師點睛

1．對雙曲線定義的理解

(1)把定常數記為2a，當2a<|F

1

F

2

|時，其軌跡是雙曲線；當2a＝|F

1

F

2

|時，其軌跡是以

F

1

、F

2

為端點的兩條射線(包括端點)；當2a>|F

1

F

2

|時，其軌跡不存在．

(2)距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支．若F

1

、F

2

表示雙曲線的左、右焦

點，且點P滿足|PF

1

|－|PF

2

|＝2a，則點P在右支上；若點P滿足|PF

2

|－|PF

1

|＝2a，則點P在

左支上．

(3)雙曲線定義的表達式是|||PF

1

|－|PF

2

|

＝2a(0<2a<|F

1

F

2

|)．

(4)理解雙曲線的定義要緊扣“到兩定點距離之差的絕對值為定值且小于兩定點的距

離．”

2

2．雙曲線的標準方程

(1)只有當雙曲線的兩焦點F

1

、F

2

在坐標軸上，并且線段F

1

F

2

的垂直平分線也是坐標軸

時得到的方程才是雙曲線的標準方程．

(2)標準方程中的兩個參數a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，

這里b2＝c2－a2，與橢圓中b2＝a2－c2相區別，且橢圓中a>b>0，而雙曲線中a、b大小則不

確定．

(3)焦點F

1

、F

2

的位置，是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦

點跟著正項走”，若x2項的系數為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數為正，那么焦點在y

軸上．

(4)用待定系數法求雙曲線的標準方程時，如不能確定焦點的位置，可設雙曲線的標準

方

程為Ax2＋By2＝1(AB<0)或進行分類討論.

題型一求雙曲線的標準方程

【例1】根據下列條件，求雙曲線的標準方程．

(1)經過點P

?

?

?

?

3，

15

4

，Q

?

?

?

?

－

16

3

，5

；

(2)c＝6，經過點(－5,2)，焦點在x軸上．

[思路探索]由于(1)無法確定雙曲線焦點的位置，可設

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)和

y2

a2

－

x2

b2

＝

1(a>0，b>0)兩種情況，分別求解．另外也可以設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)或

x2

m

＋

y2

n

＝1(mn<0)，直接代入兩點坐標求解．對于(2)可設其方程為

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)或

x2

λ

－

y2

6－λ

＝1(0<λ<6)．

解(1)法一若焦點在x軸上，設雙曲線的方程為

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)，

由于點P

?

?

?

?

3，

15

4

和Q

?

?

?

?

－

16

3

，5

在雙曲線上，

所以

?

?

?9

a2

－

225

16b2

＝1，

256

9a2

－

25

b2

＝1，

解得

?

?

?

?

?a2＝－16，

b2＝－9

(舍去)．

若焦點在y軸上，設雙曲線的方程為

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0)，

將P、Q兩點坐標代入可得

?

?

?225

16a2

－

9

b2

＝1，

25

a2

－

256

9b2

＝1，

解之得

?

?

?

?

?a2＝9，

b2＝16，

所以雙曲線的標準方程為

y2

9

－

x2

16

＝1.

法二設雙曲線方程為

x2

m

＋

y2

n

＝1(mn<0)．

∵P、Q兩點在雙曲線上，

3

∴

?

?

?9

m

＋

225

16n

＝1，

256

9m

＋

25

n

＝1，

解得

?

?

?

?

?m＝－16，

n＝9.

∴所求雙曲線的標準方程為

y2

9

－

x2

16

＝1.

(2)法一依題意，可設雙曲線方程為

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)．

依題設有

?

?

?

?

?a2＋b2＝6，

25

a2

－

4

b2

＝1，

解得

?

?

?

?

?a2＝5，

b2＝1，

∴所求雙曲線的標準方程為

x2

5

－y2＝1.

法二∵焦點在x軸上，c＝6，

∴設所求雙曲線方程為

x2

λ

－

y2

6－λ

＝1(其中0<λ<6)．

∵雙曲線經過點(－5,2)，

∴

25

λ

－

4

6－λ

＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．

∴所求雙曲線的標準方程是

x2

5

－y2＝1.

規律方法求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似，可以先根據其焦點位

置設出標準方程的形式，然后用待定系數法求出a，b的值．若焦點位置不確定，可按焦點

在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復雜，注意到雙曲線過兩定

點，可設其方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，通過解方程組即可確定m、n，避免了討論，實為一

種好方法．

【變式1】求適合下列條件的雙曲線的標準方程：

(1)a＝3，c＝4，焦點在x軸上；

(2)焦點為(0，－6)，(0,6)，經過點A(－5,6)．

解(1)由題設知，a＝3，c＝4，

由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.

因為雙曲線的焦點在x軸上，所以所求雙曲線的標準方程為

x2

9

－

x2

7

＝1.

(2)由已知得c＝6，且焦點在y軸上．因為點A(－5,6)在雙曲線上，所以點A與兩焦點的

距離的差的絕對值是常數2a，

即2a＝|?－5－0?2＋?6＋6?2－?－5－0?2＋?6－6?2|＝|13－5|＝8，則a＝4，b2＝c2－a2

＝62－42＝20.

因此，所求雙曲線的標準方程是

y2

16

－

x2

20

＝1.

2.若橢圓

x2

m

＋

y2

n

＝1(m＞n＞0)和雙曲線

x2

a

－

y2

b

＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦點，P是兩曲線

的一個交點，則|PF

1

|·|PF

2

|的值為()

A．m－aB．m－b

C．m2－a2D．m－b

A解析：設點P為雙曲線右支上的點，由橢圓定義得|PF

1

|＋|PF

2

|＝2m．

由雙曲線定義得|PF1

|－|PF

2

|＝2a．∴|PF

1

|＝m＋a，|PF

2

|＝m－a．

∴|PF1

|·|PF

2

|＝m－a．

4

題型二雙曲線定義的應用

【例2】

如圖，若F

1

，F

2

是雙曲線

x2

9

－

y2

16

＝1的兩個焦點．

(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；

(2)若P是雙曲線左支上的點，且|PF

1

|·|PF

2

|＝32，試求△F

1

PF

2

的面積．

[思路探索](1)由雙曲線的定義，得||MF

1

|－|MF

2

||＝2a，則點M到另一焦點的距離易得；

(2)結合已知條件及余弦定理即可求得面積．

解雙曲線的標準方程為

x2

9

－

y2

16

＝1，

故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.

(1)由雙曲線的定義，得||MF

1

|－|MF

2

||＝2a＝6，又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距

離等于16，假設點M到另一個焦點的距離等于x，則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故點M

到另一個焦點的距離為6或22.

(2)將||PF

2

|－|PF

1

||＝2a＝6，兩邊平方，得

|PF

1

|2＋|PF

2

|2－2|PF

1

|·|PF

2

|＝36，

∴|PF

1

|2＋|PF

2

|2＝36＋2|PF

1

|·|PF

2

|＝

36＋2×32＝100.

在△F

1

PF

2

中，由余弦定理，得

cos∠F

1

PF

2

＝

|PF

1

|2＋|PF

2

|2－|F

1

F

2

|2

2|PF

1

|·|PF

2

|

＝

100－100

2|PF

1

|·|PF

2

|

＝0，∴∠F

1

PF

2

＝90°，

∴S△F

1

PF

2

＝

1

2

|PF

1

|·|PF

2

|＝

1

2

×32＝16.

規律方法(1)求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根

據兩點間距離公式可求結果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據||PF1

|－|PF

2

||＝2a求

解，注意對所求結果進行必要的驗證(負數應該舍去，且所求距離應該不小于c－a)．

(2)在解決雙曲線中與焦點三角形有關的問題時，首先要注意定義中的條件||PF

1

|－|PF

2

||

＝2a的應用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運

算中要注意整體思想和一些變形技巧的應用．

【變式2】1．已知雙曲線的方程是

x2

16

－

y2

8

＝1，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點F

1

的距離為10，點N是PF

1

的中點，求|ON|的大小(O為坐標原點)．

1．解：連接ON，ON是△PF

1

F

2

的中位線，

5

所以|ON|＝

1

2

|PF

2

|．

因為||PF1

|－|PF

2

||＝8，|PF

1

|＝10，

所以|PF2

|＝2或18，|ON|＝

1

2

|PF

2

|＝1或9．

2．設P為雙曲線

x2

16

－

y2

9

＝1上一點，F

1

，F

2

是該雙曲線的兩個焦點，若∠F

1

PF

2

＝60°，

求△PF

1

F

2

的面積．

解：由方程

x2

16

－

y2

9

＝1，得a＝4，b＝3，故c＝16＋9＝5，

所以|F1

F

2

|＝2c＝10．

又由雙曲線的定義，得||PF1

|－|PF

2

||＝8，兩邊平方，得|PF

1

|2＋|PF2

|2－2|PF1

||PF

2

|＝

64．①

在△PF1

F

2

中，由余弦定理，得

|F

1

F

2

|2＝|PF1

|2＋|PF2

|2－2|PF1

||PF

2

|cos60°，

即|PF1

|2＋|PF2

|2－|PF1

||PF

2

|＝100．②

①－②，得|PF1

||PF

2

|＝36，

所以

12

PFF

S

?

＝

1

2

|PF

1

||PF

2

|sin60°＝

1

2

×36×

3

2

＝93．

3.已知雙曲線

x2

9

－

y2

16

＝1的左、右焦點分別是F

1

、F

2

，若雙曲線上一點P使得∠F

1

PF

2

＝

60°，求△F

1

PF

2

的面積．

解由

x2

9

－

y2

16

＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.

由定義和余弦定理，得|PF

1

|－|PF

2

|＝±6，

|F

1

F

2

|2＝|PF

1

|2＋|PF

2

|2－2|PF

1

||PF

2

|cos60°，

所以102＝(|PF

1

|－|PF

2

|)2＋|PF

1

|·|PF

2

|，

所以|PF

1

|·|PF

2

|＝64，

∴S△F

1

PF

2

＝

1

2

|PF

1

|·|PF

2

|·sin∠F

1

PF

2

＝

1

2

×64×

3

2

＝163.

誤區警示忽略雙曲線焦點位置致誤

【示例】方程

x2

2－m

＋

y2

|m|－3

＝1表示雙曲線，那么m的取值范圍是________．

[錯解]由

?

?

?

?

?2－m>0，

|m|－3<0

解得－3

∴m的取值范圍是{m|－3

只考慮焦點在x軸上，忽視了焦點在y軸上的情況．

[正解]依題意有

?

?

?

?

?2－m>0

|m|－3<0

或

?

?

?

?

?2－m<0，

|m|－3>0，

解得－33.

∴m的取值范圍是{m|－33}．

答案{m|－33}

方程

x2

m

＋

y2

n

＝1既可以表示橢圓又可以表示雙曲線．當方程表示橢圓時，

6

m、n應滿足m>n>0或n>m>0，當m>n>0時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；當n>m>0時，

方程表示焦點在y軸上的橢圓．當方程表示雙曲線時，m、n應滿足mn<0，當m>0，n<0

時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n>0時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線.

當堂檢測

1．平面內有兩個定點F

1

(－5,0)和F

2

(5,0)，動點P滿足|PF

1

|－|PF

2

|＝6，則動點P的軌跡

方程是()

A．

22

=1

169

xy

?(x≤－4)B．

22

=1

916

xy

?(x≤－3)

C．

22

=1

169

xy

?(x≥4)D．

22

=1

916

xy

?(x≥3)

答案：D解析：由已知動點P的軌跡是以F

1

，F

2

為焦點的雙曲線的右支，且a＝3，c

＝5，b2＝c2－a2＝16，∴所求軌跡方程為

22

=1

916

xy

?(x≥3)．

2．已知雙曲線為

22

=1

2

xy

?

?，則此雙曲線的焦距為()

A．2??B．22??C．2??D．22??

答案：D解析：由已知λ＜0，a2＝2，b2＝－λ，c2＝2－λ，∴焦距222c???．

3．已知雙曲線

22

=1

169

xy

?上的點P到(5,0)的距離為15，則點P到點(－5,0)的距離為()

A．7B．23C．5或25D．7或23

答案：D解析：設F

1

(－5,0)，F

2

(5,0)，

則由雙曲線的定義知：||PF1

|－|PF

2

||＝2a＝8，

而|PF2

|＝15，解得|PF

1

|＝7或23．

4．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－6,0)和C(6,0)，頂點B在雙曲線

22

=1

2511

xy

?的左支上，則

sinsin

sin

AC

B

?

＝______．

答案：

5

6

解析：如圖，

||||

sinsin||||2105

22

||

sin||2126

2

BCAB

ACBCABa

RR

AC

BACc

R

?

??

?????．

5．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線

22

=1

412

xy

?上一點M的橫坐標為3，則點M

到此雙曲線的右焦點的距離為__________．

答案：4解析：設右焦點為F，則點F的坐標為(4,0)．

把x＝3代入雙曲線方程得y＝±15，即M點的坐標為(3，±15)．

7

由兩點間距離公式得|MF|＝?3－4?2＋?±15－0?2＝4．