根號的運算

22

根式的運算

平方根與立方根

一、知識要點

1、平方根：

⑴、定義：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“a?”（a稱為被開方數）。

⑵、性質：正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。

⑶、算術平方根：正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“

a

”。

2、立方根：

⑴、定義：如果x3=a，則x叫做a的立方根，記作“3a”（a稱為被開方數）。

⑵、性質：正數有一個正的立方根；0的立方根是0；負數有一個負的立方根。

3、開平方（開立方）：求一個數的平方根（立方根）的運算叫開平方（開立方）。

二、規律總結：

1、平方根是其本身的數是0；算術平方根是其本身的數是0和1；立方根是其本身的數

是0和±1。

2、每一個正數都有兩個互為相反數的平方根，其中正的那個是算術平方根；任何一個

數都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數相同。

3、a本身為非負數，即a≥0；a有意義的條件是a≥0。

4、公式：⑴(a)2=a（a≥0）；⑵3a?=3a?（a取任何數）。

5、非負數的重要性質：若幾個非負數之和等于0，則每一個非負數都為0（此性質應用

22

很廣，務必掌握）。

例1求下列各數的平方根和算術平方根

（1）64；（2）2)3(?；（3）

49

15

1；⑷

2

1

(3)?

例2求下列各式的值

（1）

81?

；（2）

16?

；（3）

25

9

；（4）2)4(?.

（5）

44.1

，（6）

36?

，（7）

49

25

?

（8）2)25(?

例3、求下列各數的立方根：

⑴343；⑵

10

2

27

?；⑶0.729

二、巧用被開方數的非負性求值.

大家知道，當a≥0時，a的平方根是±a，即a是非負數.

例4、若

,622?????yxx

求yx

的立方根.

22

練習：已知

,21221?????xxy

求yx的值.

三、巧用正數的兩平方根是互為相反數求值.

我們知道，當a≥0時，a的平方根是±a，而.0)()(????aa

例5、已知：一個正數的平方根是2a-1與2-a，求a的平方的相反數的立方根.

練習：若32?a和12?a是數

m

的平方根，求

m

的值.

四、巧解方程

例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64

五、巧用算術平方根的最小值求值.

我們已經知道

0?a

,即a=0時其值最小,換句話說

a

的最小值是零.

例4、已知：y=)1(32???ba,當a、b取不同的值時，y也有不同的值.當y最小

時,求ba

的非算術平方根.

練習：

22

1、若一個數的平方根是8?，則這個數的立方根是（）．

A．2B．?2C．4D．?4

2、144的算術平方根是，16的平方根是；

3、若m的平方根是51a?和19a?，則m=．

4、327=，64?的立方根是；

5、7的平方根為，21.1=；

6、一個數的平方是9，則這個數是，一個數的立方根是1，則這個數是；

7、平方數是它本身的數是；平方數是它的相反數的數是；

8、當x=時，13?x有意義；當x=時，325?x有意義；

9、若164?x，則x=；若813?n，則n=；

10、若3xx?，則x=；若xx??2，則x；

11、15的整數部分為a,小數部分為b,則a=____,b=____

12、解方程：0324)1(2???x（2）3125(2)343x???

（3）264(3)90x???（4）3

1

(1)80

2

x???

13、已知233(2)0xyz??????，求xyz的值。

14、若

2244

2

xx

y

x

???

?

?

，求2xy?的值．

22

15、已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．

16、若12112?????xxy，求xy的值。

二次根式

一、知識點

1.二次根式：式子a（

a

≥0）叫做二次根式。

2.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：

⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式；⑵被開方數中不含分母；⑶分母中

不含根式。

3.同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。

4.二次根式的性質：

（1）（

a

）2=

a

（

a

≥0）；（2）

5.二次根式的運算：

⑴二次根式的加減運算：

先把二次根式化成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可。

⑵二次根式的乘除運算：

a

（

a

＞

??aa2

a?（

a

0

22

①ab=ba?（

a

≥0,b≥0）；②??0,0???ba

b

a

b

a

【例題講解】

一、利用二次根式的雙重非負性來解題（

0?a

（a≥0），即一個非負數的算

術平方根是一個非負數。）

例1：x取何值時，下列各式在實數范圍內有意義。

（1）（2）

12

1

?

?

x

（3）

4

5

?

?

x

x

(4).

例2：若20042005aaa????，則22004a?=_____________；

若

433?????xxy

，則??yx

【基礎訓練】

1、下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、

3?

；B、

x

；C、12?x；D、

1?x

2、若1)1(???xxxx，則x的取值范圍是

3、若

1

3

1

3

?

?

?

?

?

x

x

x

x

，則x的取值范圍是。

4、若20m是一個正整數，則正整數m的最小值是________．

5、設m、n滿足

3

29922

?

????

?

m

mm

n，則

mn

=。

6、若三角形的三邊a、b、c滿足

3442????baa

=0，則第三邊c的取值范圍是

7、若0|84|?????myxx，且0?y時，則（）

22

A、10??mB、2?mC、2?mD、2?m

二、利用二次根式的性質2a=|a|=

?

?

?

?

?

??

?

?

)0(

)0(0

)(

aa

a

baa

(即一個數的平方的算術平方根等于

這個數的絕對值)來解題

【例題講解】

例1：已知233xx?

＝－x

3?x

，則（）

A.x≤0B.x≤－3Ｃ.x≥－3D.－3≤x≤0

例2：化簡

2

1

)2(

?

??

x

x

的結果為（）

A、

x?2

；B、

2?x

；C、2??xD、x??2

【基礎訓練】

1、已知a

A．aba??B．aba?C．abaD．aba?

2、若化簡|1-x|-

1682??xx

的結果為2x-5則（）

A、x為任意實數B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4

3、已知a，b，c為三角形的三邊，則222)()()(acbacbcba????????=

4、化簡)0(||2????yxxyx的結果是（）

A．xy2?B．yC．yx?2D．y?

5、已知：221aaa???=1，則a的取值范圍是（）。

A、0?a；B、1?a；C、0?a或1；D、1?a

22

三、二次根式的化簡與計算（主要依據是二次根式的性質：（

a

）2=a（a≥0），

即

||2aa?

以及混合運算法則）

【例題講解】

（一）化簡與求值

例1：把下列各式化成最簡二次根式：

（1）

8

3

3

（2）224041?（3）

2

255m（4）224yxx?

例二：計算：2

50

5

1

12

2

1

8

3

1

33????

【基礎訓練】

1、下列哪些是同類二次根式：（1）

75

，

27

1

，

12

，

2

，

50

1

，

3

，

10

1

；（2）

,533cba323cba

，

4c

ab

，a

bc

a

2、計算下列各題：

（1）6

)33(27??

（2）

4

9

12

3a

ab?；（3）

a

c

c

b

b

a

53

6

5

4

??

（4）

24

182

（5）

－

54

5

3

2

1?

22

3、已知

1018

2

2

2

???x

x

x

x

，則x等于（）A．4B．±2C．2D．±

4

4、

21

1

?

＋

32

1

?

＋

43

1

?

＋…＋

10099

1

?

（二）先化簡，后求值：

1.直接代入法：已知

),57(

2

1

??x),57(

2

1

??y

求(1)22yx?(2)

y

x

x

y

?

2.變形代入法：

（1）變條件：①已知：

13

2

?

?x，求12??xx的值。

②.已知:x=

23

23

,

23

23

?

?

?

?

?

y

，求3x2－5xy+3y2的值

22

（2）變結論：

1、設3=a，30=b，則0.9=。

2、已知12,12????yx，求

xyyxxy

yx

3

3

??

??

。

3、已知5??yx，3?xy，（1）求

x

y

y

x

?的值（2）求

yx

yx

?

?

的值

四、關于求二次根式的整數部分與小數部分的問題

1.估算31－2的值在哪兩個數之間（）A．1～2B.2～3C.3～4D.4～5

2．若3的整數部分是a，小數部分是b，則??ba3

3.已知9+13913?與的小數部分分別是a和b，求ab－3a+4b+8的值

4.若a，b為有理數，且

8

+

18

+

8

1=a+b2，則ba=.

五、二次根式的比較大小

（1）32200

5

1

和（2）－5

566?和

（3）

13151517??和

22

（4）設a=23?,

32??b

,25??c,則（）

????????

六、實數范圍內因式分解：

9x2－5y24x4－4x2＋1x4+x2－6

練習：

1、若baybax????,，則xy的值為（）

A．a2B．b2C．ba?D．ba?

2、若230ab????，則2ab??．

3、計算：

（1）（2

（3）．（4）．

22

4、先將

2

2

x

x

?

?

÷

322

x

xx?

化簡，然后自選一個合適的x值，代入化簡后的式子求值。

5、如圖，實數

a

、b在數軸上的位置，

化簡：222()abab???

6、若，則的取值范圍是

A．B．C．D．

7、如圖，數軸上兩點表示的數分別為1和，點關于點的對稱點為點

，則點所表示的數是

A．B．C．D．

8、已知：

1

110a

a

???

，求2

2

1

a

a

?

的值。

9、已知：,xy為實數，且113yxx????，化簡：23816yyy????

。

22

10、已知

??1

1

0

3

93

2

2

?

?

?

?

???

y

x

x

xyx

，求

11、先閱讀下列的解答過程，然后作答：

有這樣一類題目：將2ab?化簡，若你能找到兩個數

m

和

n

，使

22mna??且

mnb?

，

則

2ab?

可變為

222mnmn??，即變成

2()mn?開方，從而使得

2ab?化簡。

例如：

526?

=

3226??

=

222(3)(2)223(32)?????

，

∴

2526(32)32?????

請仿照上例解下列問題：

（1）526?

；（2）

423?

二次根式運算的技巧

二次根式的運算通常是根據其運算法則進行計算的，但在計算過程中若能巧妙地運用一

些數學思想方法，可使問題化繁為簡，易于計算。下面舉例說明二次根式的運算技巧：

22

一、巧移因式法

例1、計算

)3418)(4823(??

分析：將

3423、

根號外的因式移到根號內，然后用平方差公式計算比較簡便，

或先把

1848、

化簡，然后利用平方差公式計算

解：原式=)3418)(4823(22????

=)4818)(4818(??

=18-48

=-30

二、巧提公因數法

例2、計算

)3225)(65(??

分析：∵2=2)2(∴3225?中有公因數2，提出公因數2后，可用平方差

公式計算

解：原式=

]3)2(25)[65(2??

=)]65(2)[65(??

=)65)(65(2??

=2（25-6）

=192

三、公式法

例3、計算

)632)(632(????

22

分析：巧分組，出奇制勝，整式的乘法公式對二次根式的乘法也適用，本題用平方差公

式來計算很簡便

解：原式=

]3)62][(3)62[(????

=22)3()62(??

=366222???

=345?

四、因式分解法

例4、計算)()2(yxyxyx????

分析：本題若直接按乘除法則計算，顯然很麻煩，若適當分解因式約去公因式，則運算

很簡便

解：原式=)(])(2)[(22yxyxyx????

=)()(2yxyx???

=yx?

五、拆項法

例5、化簡

)23)(36(

23346

??

??

分析：本題若直接計算顯然很麻煩，若仔細觀察將分子拆項，則計算會很簡便

解：原式=

)23)(36(

)23(3)36(

??

???

=

36

3

23

1

?

?

?

22

=3623???

=26?

六、配方法

例6、計算3819625223?????

分析：此題是雙二次根式的加減，必須把復合二次根式化為一般二次根式，可將根號里

的式子化成完全平方式，使問題便于計算

解：原式=222)34()23()21(?????

=)34()23()12(?????

=-5

七、整體代入，別開生面

例5.已知，求下列各式的值。

（1）（2）

分析：根據x、y值的特點，可以求得，如果能將

所求的值的式子變形為關于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值簡單

得多。

解：因為

22

所以

（1）

（2）

（也可以將變為來求）

八、巧換元，干凈利索

例6.計算

分析：此算式中的兩個公式互為倒數，若設，

則原式

而

原式

解：設

則

22

所以原式

例7.計算

分析：有兩種方法，一種換元，一種配方。

解法1：設

兩邊平方

因為

所以

即

解法2：原式

22

所以遇到二次根式運算一定認真審題、仔細琢磨，能否找到運算技巧，達到事半功倍效

果

22

二次根式的運算測試題

姓名班級學號

一．選擇題（本題30分，每小題3分）：

1．化簡3－3(1－3)的結果是

()

A．3B．－3C.3D．－3

2．計算(28－23＋7)×7＋84的結果是

()

A．117B．153C．21D．24

3．計算(32＋53)×(32－53)的結果是

()

A．－57B．57C．－53D．53

4．計算

?

?

?

?

?

?

a＋

1

a

2

－

?

?

?

?

?

?

a－

1

a

2

的結果是

()

A．2B．4C．2aD．4a

5．2×(2－3)＋6的值是________；

6．化簡：3×(2－3)－24－|6－3|＝________．

22

7．計算()50－8

÷2的結果是________．

8、計算：

40＋5

5

＝________．

9、有下列計算：①(m2)3＝m6；②4a2－4a＋1＝2a－1；③m6÷m2＝

m3；④27×50÷6＝15；⑤212－23＋348＝143.其中正確的運算

有________．

10、計算：(2＋1)(2－1)＝________．

二、計算題（本題30分，每小題5分）：

(1)

?

?

?

?

?

?

8

27

－53

×6；(2)(5＋6)×(52－23)；

(3)945÷3

1

5

×

3

2

2

2

3

；(4)

1

3＋2

＋

1

2＋1

－

1

3－1

.

(5)38×(54－52－26)；(6)a(a＋2)－

a2b

b

；

二、解答題（本題40分，每小題10分）：

22

1、已知a＝5＋2，b＝5－2，求a2＋b2＋7的值？

2、已知x1＝3＋2，x2＝3－2，求x2

1＋x2

2？

3、已知x－y＝3，求代數式(x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．

4、先化簡，再求值：(a2b＋ab)÷

a2＋2a＋1

a＋1

，其中a＝3＋1，b＝3－1.