高中向量公式大全

平面向量

1.兩個向量平行的充要條件,設a=(x1,y1),b=(x2,y2),

?

為實數。（1）向量式：a∥b(b

≠0)

?

a=

?

b;（2）坐標式：a∥b(b≠0)

?

x1y2－x2y1=0;

2.兩個向量垂直的充要條件,設a=(x1,y1),b=(x2,y2),（1）向量式：a⊥b(b≠

0)

?

ab=0;（2）坐標式：a⊥b

?

x1x2+y1y2=0;

3.設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=?cosba=x1x2+y1y2;其幾何意義是ab等于a的長

度與b在a的方向上的投影的乘積；

4.設A（x1,x2）、B(x2,y2)，則S⊿AOB＝

12212

1

yxyx?

；

5.平面向量數量積的坐標表示：

（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2;2

21

2

21

)()(yyxxAB????;

（2）若a=(x,y),則a2=aa=x2+y2,22yxa??

?

;

十、向量法

1、設直線、ml的方向向量分別是、ab，平面??、的法向量分別是、uv，則：

（1）線線平行：l∥m?a∥b??akb

（2）線面平行：l∥?

?a?u0??au

（3）面面平行：////?????uvukv

注意：這里的線線平行包括線線重合，線面平行包括線在面內，面面平行包括面面重合.

2、設直線、ml的方向向量分別是、ab，平面??、的法向量分別是、uv，則：

（1）線線垂直：??lma?b0??ab

（2）線面垂直：???la∥u??aku

（3）面面垂直：????

u?v0??uv

3、設直線、ml的方向向量分別是、ab，平面??、的法向量分別是、uv，則：

（1）直線、ml所成的角(0)

2

?

????，cos?

?

?

ab

ab

（2）直線l與平面?所成的角(0)

2

?

????，sin?

?

?

au

au

（3）平面?與平面?所成的二面角的平面角(0)?????，cos?

?

?

uv

uv

教學過程：

二、新課講授

1.定義：我們把空間中具有大小和方向的量叫做空間向量．向量的大小叫做向量

的長度或模.

3.空間向量的加法與數乘向量的運算律．

⑴加法交換律：a

?

+b

?

=b

?

+a

?

；

⑵加法結合律：(a

?

+b

?

)+c=a

?

+(b

?

+c)；

⑶數乘分配律：λ(a

?

+b

?

)=λa

?

+λb

?

；

⑶數乘結合律：λ(ua

?

)=(λu)a

?

．

4.推廣：⑴

12233411nnn

AAAAAAAAAA

?

?????；

⑵

12233411

0

nnn

AAAAAAAAAA

?

??????；

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一組平行向量都可以平移

到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量．

向量b

?

與非零向量a

?

共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使b

?

＝λa

?

.稱平面

向量共線定理，

二、新課講授

1.定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行

或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．a

?

平行于b

?

記作a

?

b

?

a

?

b

?

b

?

a

?

b

?

a

?

b

?

理解：

⑴上述定理包含兩個方面：①性質定理：若a

?

∥b

?

（a

?

≠0），則有b

?

＝

?a

?

，其中

?

是

唯一確定的實數。②判斷定理：若存在唯一實數?，使b

?

＝?a

?

（a

?

≠0），則有a

?

∥b

?

（若用此結論判斷a

?

、b

?

所在直線平行，還需a

?

（或b

?

）上有一點不在b

?

（或a

?

）上）.

⑵對于確定的?和a

?

，b

?

＝?a

?

表示空間與a

?

平行或共線，長度為|?a

?

|，當?>0

時與a

?

同向，當?<0時與a

?

反向的所有向量.

3.推論：如果l為經過已知點A且平行于已知非零向量a

?

的直線，那么對于任意一

點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t滿足等式OPOAt??a

?

．

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面

內的任意一個向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共線

向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．

1.定義：如果表示空間向量a的有向線段所在直線與已知平面α平行或在平面α

內，則稱向量a平行于平面α，記作a定義：平行于同一平面的向

量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面內的，但可以平移到

同一平面內．

5.得出共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向

量a、b共面的充要條件是存在實數對x，y，使得p=xa+yb．

證明：必要性：由已知，兩個向量a、b不共線．

∵向量p與向量a、b共面

∴由平面向量基本定理得：存在一對有序實數對x，y，使得p=xa+yb．

充分性：如圖，∵xa，yb分別與a、b共線，∴xa，yb都在a、b確定的平

面內．

又∵xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向

量，并且此平行四邊形在a、b確定的平面內，

∴p=xa+yb在a、b確定的平面內，即向量p與向量a、b共面．

說明：當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三

條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩

條直線所確定的平面內．

6.共面向量定理的推論是：空間一點P在平面MAB內的充要條件是存在有序實數

對x，y，使得MPxMAyMB??，①或對于空間任意一定點O，有

OPOMxMAyMB???．②

分析：⑴推論中的x、y是唯一的一對有序實數；⑵由OPOMxMAyMB???得：

()()OPOMxOAOMyOBOM?????，∴(1)OPxyOMxOAyOB?????③

1.兩個非零向量夾角的概念：已知兩個非零向量a與b，在空間中任取一點O，作

OA＝a，OB＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作＜a,b＞．

說明：⑴規定：0?＜a，b＞

??．當＜a、b＞＝０時，a與b同向；當＜a、b

＞＝π時，a與b反向；

當＜a、b＞＝

2

?

時，稱a與b垂直，記a⊥b．

⑵兩個向量的夾角唯一確定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶注意：①在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的．

②＜a,b＞?(a,b)

2.兩個向量的數量積：已知空間兩個向量a與b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、

b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.

說明：⑴零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝０；

⑵符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.

幾何意義：已知向量AB＝a和軸l，e是l上和l同方向的單位向量．作點A在l

上的射影A′，點B在l上的射影B′，則''AB叫做向量AB在軸l上或在e方向上

的正射影，簡稱射影．可以證明：

''AB

＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．說明：一個向

量在軸上的投影的概念，就是a·e的幾何意義．

3.空間數量積的性質：根據定義，空間向量的數量積和平面向量的數量積一樣，

具有以下性質：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；⑵a⊥b?a·b＝０

⑶當a與b同向時，a·b＝｜a｜·｜b｜；當a與b反向時，a·b＝－｜a｜·｜

b｜.

特別地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝2aaa??.

⑷cos＜a,b＞＝

ab

ab

?

?

;⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.

4.空間向量數量積的運算律：與平面向量的數量積一樣，空間向量的數量積有如

下運算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數乘結合律)；⑵a·b＝b·a(交換律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)

說明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有如下常用性質：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b

＋b2

3.空間向量的坐標表示：給定一個空間直角坐標系和向量a，且設i、j、k為坐標

向量，則存在唯一的有序實數組

123

(,,)aaa，使a＝

1

ai＋

2

aj＋

3

ak．

空間中相等的向量其坐標是相同的．→討論：向量坐標與點的坐標的關系

向量在空間直角坐標系中的坐標的求法：設A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，則AB＝OB－OA

＝

222

(,,)xyz－

111

(,,)xyz＝

212121

(,,)xxyyzz???．

5.兩個向量共線或垂直的判定：設a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb，則

⑴

a??

112233

,,ababab??????()R???3

12

123

a

aa

bbb

????

112233

0ababab???

123

(,,)aaa

123

(,,)bbb｜

a｜＝222

123

aaa??，｜b｜＝222

123

bbb??．這兩個式子我們稱為向量的長度公式．

這個公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度．

2.夾角公式推導：∵a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

∴

112233

ababab??＝222

123

aaa??·222

123

bbb??·cos＜a,b＞

由此可以得出：cos＜a,b＞＝112233

222222

123123

ababab

aaabbb

??

????

這個公式成為兩個向量的夾角公式．利用這個共識，我們可以求出兩個向量的

夾角，并可以進一步得出兩個向量的某些特殊位置關系：

當cos＜a、b＞＝1時，a與b同向；當cos＜a、b＞＝－1時，a與b反向；

當cos＜a、b＞＝0時，a⊥b．

3.兩點間距離共識：利用向量的長度公式，我們還可以得出空間兩點間的距離公

式：

在空間直角坐標系中，已知點

111

(,,)Axyz，

222

(,,)Bxyz，則

222

211212

()()()

AB

dxxyyzz??????

、

，其中

AB

d

、

表示A與B兩點間的距離．

5.用向量方法證明：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行．