平面向量公式

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平面向量的所有公式

設(shè)a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運算xx：

交換律：

a+b=b+a；

結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=

0."0的反向量為0

AB-AC=

C

B.即“共同起點，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').

3、數(shù)乘向量

實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

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當λ＞0時，λa與a同方向；

當λ＜0時，λa與a反方向；

當λ=0時，λa=0，方向任意。

當a=0時，對于任意實數(shù)λ，都有λa=

0。"

注：

按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=

0。"

實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有

向線段伸長或壓縮。

當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜

0）上伸長為原來的∣λ∣倍；

當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜

0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算xx

結(jié)合律：

(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：

(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：

λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律：

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①如果實數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的數(shù)量積

定義：

已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾

角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：

兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點積）是一個數(shù)量，記作a?b。若a、b不共

線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標表示：

a?b=x?x'+y?y'。

向量的數(shù)量積的運算xx

a?b=b?a（交換律）；

(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)；

（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a?b=

0。"

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：

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(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：

(a?b)^2≠a^2?b^

2。"

12、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：

由a?b=a?c(a≠0)，推不出b=c。

3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|

4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量積

定義：

兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b

不共線，則a×b的模是：

∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：

垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則

a×b=

0。"

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=

0。"

a‖b〈=〉a×b=

0。"

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向量的向量積運算xx

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：

向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

6、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①當且僅當a、b反向時，左邊取等號；

②當且僅當a、b同向時，右邊取等號。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①當且僅當a、b同向時，左邊取等號；

②當且僅當a、b反向時，右邊取等號。

7、定比分點

定比分點公式（向量P1P=λ?向量PP2）

設(shè)P

1、"P2是直線上的兩點，P是l上不同于P

1、"P2的任意一點。則存在一個實數(shù)λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點

P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點向量公式）

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x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點坐標公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

8、三點共線定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,則

A、

B、C三點共線

9、三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,則G為△ABC的重心

10、"向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是xy'-x'y=

0。"

零向量0平行于任何向量。

1

1、"向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是a?b=

0。"

a⊥b的充要條件是xx'+yy'=

0。"

零向量0垂直于任何向量.2