賣報

關于報童賣報的問題

摘要

報童模型在1956年首次被提出來以后，就成為學術界

的關注焦點，有著大量的學者或經濟領域的人士對它進行研

究和分析，由于報童模型問題中涉及到很多不確定因素的影

響，人們為了研究和確定這些因素在模型中的量化，通過很

多不同的計算方法和理論方法來使這些非量化的因素最大

化的量化表達，使之趨近于理性決策，但是又不是完全能夠

明確和量化的，這些就是報童模型中的有限理性。報童模型

中關于有限理性涉及到的問題與方法到如今已將發展到很

多方面，在隨機因素方面首先就是不確定環境下的隨機需

求，還有庫存管理，供應鏈協調等，在做有限理性決策的時

候，人們盡量通過具體的推算方法來做出最優化決策，雖然

不是完全理性決策，但是確實使利潤接近最大化的有限理性

決策。

本論文討論的是報童賣報問題,報童賣報

問題實際上就是通過分析,找出幾種可能的方案,

通過求解,找出一個最優的方案來訂報,使得報童贏利取

得最大期望值或報童損失的最小期望值的臨界值,也就是使

報童獲得的利益最大。

本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后

分別用連續的方法和離散的方法求解，最后得出結論。盡管

報童贏利最大期望值和損失最小期望值是不相同的，但是確

定最佳訂購量的條件是相同的。

關鍵詞：報童模型、概率統計、概率分布建模、離散

關于報童賣報的問題

摘要

報童模型在1956年首次被提出來以后，就成為學術界

的關注焦點，有著大量的學者或經濟領域的人士對它進行研

究和分析，由于報童模型問題中涉及到很多不確定因素的影

響，人們為了研究和確定這些因素在模型中的量化，通過很

多不同的計算方法和理論方法來使這些非量化的因素最大

化的量化表達，使之趨近于理性決策，但是又不是完全能夠

明確和量化的，這些就是報童模型中的有限理性。報童模型

中關于有限理性涉及到的問題與方法到如今已將發展到很

多方面，在隨機因素方面首先就是不確定環境下的隨機需

求，還有庫存管理，供應鏈協調等，在做有限理性決策的時

候，人們盡量通過具體的推算方法來做出最優化決策，雖然

不是完全理性決策，但是確實使利潤接近最大化的有限理性

決策。

本論文討論的是報童賣報問題,報童賣報

問題實際上就是通過分析,找出幾種可能的方案,

通過求解,找出一個最優的方案來訂報,使得報童贏利取

得最大期望值或報童損失的最小期望值的臨界值,也就是使

報童獲得的利益最大。

本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后

分別用連續的方法和離散的方法求解，最后得出結論。盡管

報童贏利最大期望值和損失最小期望值是不相同的，但是確

定最佳訂購量的條件是相同的。

關鍵詞：報童模型、概率統計、概率分布建模、離散

引言

在報童模型中，有限理性決策主要面對的隨機性因素是

需求和時間，報童模型是典型的單價段，隨機需求模型，主

旨是尋找產品的最佳訂貨量，來最大化期望收益或最小化期

望損失。本文首先通過理論回顧解釋出什么是報童模型中的

有限理性，然后羅列了部分在報童模型中有限

理性問題上進行研究的部分文獻成果。再得出有

報童模型有限理性的發展。

一、問題重述

報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的

報紙退回。設報紙每份進購價為b,零售價為a,退回價為c,

自然地假設a>b>c.也就是說,報童售出一

份報紙賺a-b,退回一份賠b-c,。試為報童籌劃一下每

天購進報紙的數量，使得收入最大，那么報童每天要購進多

少份報紙？

二、模型分析

如果每天購進的報紙太少，不夠賣的，會少賺錢；如果

購進太多，賣不完，將要賠錢。因此，存在一個最優的購進量，使得

收益最大。故應當根據需求來確定購進量。然而，每天的需求是隨機的，

進而每天的收入也是隨機的。因此，優化問題的目標函數應是長期

日平均收入，等于每天收入的期望。假定報童已通過自己的

經驗或其他渠道掌握了需求量的隨機規律，在他的銷售范圍

內每天報紙的需求量為r份的概率是：

)(rf(r=0,1,2,?)

有了??rf

和

cba,,，就可以建立關于購進量的優化模型。

三、模型假設和符號說明

（1）假設報紙每天的訂購價格和出售價格不變；

（2）假設報紙的需求量不受天氣等其它自然環境的影

響；

(3）假設報童每天只能一次性從報社購進報紙；

（4）當天的報紙賣不出去，到第二天就沒有人再買，

每份的報紙在當天什么時候賣出去是無關緊要的；

（5）假設該報童購進報紙份數可以不受限制，以達

到最大利潤為目的，報童除了從報社訂購報紙所需費用以

外，其他費用一概不計；

(6)“最大利潤”理解為報童平均每天利潤達到最大；

（7）符號說明:b-----為每份報紙的訂購價；

a-----為每份報紙的零售價；

c-----為每份報紙的退回價；

r-----市場上每天報紙的需求量,且其分布律為

f(r)(r=0,1,2?).

四、模型的建立

設每天購進量為n份,因為需求量r是隨機的,所以r可

以小于n,等于n,或

大于n。所以報童每天的收入也是隨機的。那么，作為優化

模型的目標函數，不能取每天的收入，而取長期賣報（月，年）的日平

均收入。從概率論大數定律的觀點看，這相當于報童每天收入的

期望值，簡稱平均收入。這種單周期購入—售出（報紙、日

歷、雜志，各種季節性貨物、時裝），并且超出該購入—

售出周期商品就會嚴重貶值的存貯問題，存貯論中統稱為賣

報童問題。

這類問題的庫存控制策略是以利潤期望最大為目標，確

定一次購入的經濟訂貨批量。

記報童每天購進n份報紙時的平均收入為G(n),售出一

份賺a-b；退回一份賠b-c。

(1)如果這天需求量r≤n,則他售出r份,退回n-r份.

所以報童這天所得利益為(a-b)r，損失額為(b-c)(n-r);(2)

如果這天需求量r>n，則所進購報紙全部售出,即售出n份，

所以報童這天所得利益為(a-b)r。即利益為(a-b)n。

又需求量r的概率為f(r)，于是得到：

?????????????????????????????nrnrrnfbarfrncbrbanG01

問題歸結為在??cbarf,,,已知時,求n使G(n)最大,即所得n

就為報童最優的訂報份數.

五、模型的求解

通常需求量r和購進量n都相當大，所以

可以將r視為連續變量,便于分析和計算.此時概率

f(r)轉化為概率密度函數p(r),則上式變

成:??????????????????????????nndrrnpbadrrprncbrbanG0

對G(n)求倒數計算得

到:?????????????ndrrpcbnnpbadndG0????????drrpbannpban?????

??

????????drrpbadrrpcbnn????????0

令0?dndG，得到：

????cbbadrrpdrrpnn??????0

使報童日平均收入達到最大的購進量n應滿足上式.因

為??10???drrp,所以上式可表示為:??cabadrrpn????0

根據需求量的概率密度函數p(r)的圖形可以確定購進

量n.在下面的圖中用p1,p2別分表示曲線p(r)下的兩部分

面積,

則

cbbaPP???21

因為當購進n份報紙時??drrpPn??01是需求量r不超過

n的概率,即賣不完的概率;??drrpPn???2是需求量r超過n

的概率,即賣完的概率。所以從上式可以看出,購進的份數n

是賣不完與賣完的概率之比,恰好等于賣出一份賺的錢a-b

與退回一份賠的錢b-c之比.

顯然，當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠

錢之比越大時，報童購進的報紙份數就應該越大

1、若每份報紙的購進價為0.75元，售出價為1元，

退回價為0.6元，需求量服從均

值500份，

均方差50份的正態分布，

報童每天應購進多少份報紙才能使平均收入最高，

最高收入是多少？

由題設得a=1,b=0.75,c=0.6，E(r)=500,σ（r）=50，

不妨設報紙的需求量服從正態分布。

正態分布的密度函數為：

?????????22212)(exp)(???urrf

因為35)(0?????cbbadrfnr

解得：n≈

516?????????????????????????????nrnrrnfbarfrncbrbanG01=1

17

即報童獲得最大收入的進報量為516份，最大收入為117

元.2、假設已經得到159天報紙需求量的情況如下表：

表159天報紙需求量的分布情況