長方形特征

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長方形、正方形、平行四邊形的特征與知識

長方形性質

①對角線相等且互相平分

②有四條邊

③對邊平行且相等

④四個角都相等且都是直角

⑤四個角度數和為360°

⑥有2條對稱軸

⑦在沒有數據的情況下，水平的那一邊為長，垂直的那一邊為寬。

長方形判定

①有一個角是直角的平行四邊形是矩形

②對角線相等的平行四邊形是矩形

③有三個角是直角的四邊形是矩形

④對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

長方形面積計算公式

面積公式矩形面積公式：長×寬

長方形面積字母公式：S=ab

長方形周長計算公式

長方形周長文字公式：(長+寬)×2

長方形周長字母公式：C=(a+b)×2

正方形性質

邊：兩組對邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直

內角：四個角都是90°；

對角線：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角；

對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）。

判定方法

1：對角線相等的菱形是正方形。

2：對角線互相垂直的矩形是正方形，正方形是一種特殊的矩形。

3：四邊相等，有三個角是直角的四邊形是正方形。

4：一組鄰邊相等的矩形是正方形。

5：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

6：四邊均相等，對角線互相垂直平分且相等的平行四邊形是正方形。

7.有一個角為直角的菱形是正方形。

依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。不管原四邊形的形狀

怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。正方形的中點四邊形是正方形。

面積計算公式：S=a×a

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或：S=對角線×對角線÷2

周長計算公式:C=4a

正方形是特殊的矩形,菱形，平行四邊形，四邊形

平行四邊形特點

⑴如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等。

（簡述為“平行四邊形的對邊相等”）

⑵如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對角分別相等。

（簡述為“平行四邊形的對角相等”）

（3）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分。

（簡述為“平行四邊形的兩條對角線互相平分”）

（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點。

判定

1.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

2.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

5.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

性質

⑴連接平行四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。

⑵如果一個四邊形的對角線互相平分，

那么連接這個四邊形的中點所得圖形是平行四邊形。

⑶平行四邊形的對角相等，兩鄰角互補

⑷過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。

⑸平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交點。

⑹平行四邊形的面積等于底和高的積。（可視為矩形）

平行四邊形中常用輔助線的添法

一、連結角線或平移對角線

二、過頂點作對邊的垂線構造直角三角形

三、連結對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段

平行或中位線

四、連結頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三

角形。

五、過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等

平行四邊形對邊平行

平行四邊形的對角相等

平行四邊形的對邊相等

平行四邊形的對角線互相平分

平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心

面積與周長

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1.平行四邊形的面積可以底乘高（推導方法如圖）；如用“h”表示高，“a”表示

底，“s平“表示平行四邊形面積，

則S平=ah

2.平行四邊形周長可以二乘（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c

平“表示平行四邊形周長，

則C平=2（a+b）

三角形的性質

1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊，由此亦可證明得三角形的任意兩

邊的差一定小于第三邊。

2.三角形內角和等于180度

3.等腰三角形的頂角平分線，底邊的中線，底邊的高重合，即三線合一。

4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理。直角三角形

斜邊的中線等于斜邊的一半。

5.三角形共有六心：三角形的內心、外心、重心、垂心、歐拉線

內心：三條角平分線的交點，也是三角形內切圓的圓心。

性質：到三邊距離相等。

外心：三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。

性質：到三個頂點距離相等。

重心：三條中線的交點。

性質：三條中線的三等分點，到頂點距離為到對邊中點距離的2倍。

垂心：三條高所在直線的交點。

性質：此點分每條高線的兩部分乘積

旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點

性質：到三邊的距離相等。

界心：經過三角形一頂點的把三角形周長分成1：1的直線與三角形一邊的交

點。

性質：三角形共有3個界心，三個界心分別與其對應的三角形頂點相連而成的

三條直線交于一點。

歐拉線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這

條直線就叫三角形的歐拉線。

6.三角形的外角（三角形內角的一邊與其另一邊的延長線所組成的角）等于與

其不相鄰的內角之和。

7.一個三角形最少有2個銳角。

8.三角形的角平分線:三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的

頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線

9.等腰三角形中，等腰三角形頂角的平分線平分底邊并垂直于底邊。

10.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有下面關系那么a2+b2=c2

那么這個三角形就一定是直角三角形。

三角形的邊角之間的關系

（1）三角形三內角和等于180°；

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（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和；

（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；

（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊.

（6）三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.

（7）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，

它到各邊的距離相等.

（8）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它

到三個頂點的距離相等.

（9）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等于它

到對邊中點的距離的2倍。

（10）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。

（11）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的1/2。

（12）三角形的一邊與另一邊延長線的夾角叫做三角形的外角。

注意:①三角形的內心、重心都在三角形的內部

.②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。（直角三角形的垂心為直角頂點，

外心為斜邊中點。）

④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。

三角形的面積公式

(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所對應的高）

(2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三個角為∠A∠B∠C，對

邊分別為a,b,c，參見三角函數）

(3)S△=√〔s*（s-a）*（s-b）*（s-c）〕【s=1/2(a+b+c)】（海倫—秦九韶

公式）

(4)S△=abc/（4R）【R是外接圓半徑】

(5)S△=1/2*(a+b+c)*r【r是內切圓半徑】

等腰梯形的性質

1．等腰梯形的兩條腰相等

2．等腰梯形在同一底上的兩個底角相等

3．等腰梯形的兩條對角線相等

4．等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是上下底中點的連線所在直線

5．等腰梯形的中位線（兩腰中點相連的線叫做中位線）等于上下底和的二分

之一

[編輯本段]判定

1．一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形

2．兩腰相等的梯形是等腰梯形

3．同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

4．有一個角是直角的梯形是直角梯形

5．對角線相等的梯形是等腰梯形．

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[編輯本段]周長、面積

梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2。

用字母表示：（a+b）×h÷2

梯形的周長公式：上底+下底+腰+腰

用字母表示：a+b+c+d